四边形中的趣味竞赛题(上)

<正>在平面上由首尾相连的四条线段组成的封闭图形,叫做四边形.四边形可以分为凸四边形,凹四边形和交叉四边形.四边形具有四个顶点和四条边,我们一般研究凸四边形,也就是将每条边延长为直线后,其余各边都在这条边所在直线的一侧,四边形中没有公共顶点的两条边叫做对边,没有公共边的两个角叫做对角,对角顶点的连接线段叫做四边形的对角线.没有特别声明,今后     

空间分割问题

空间分割问题梁伍德（北京市第二十二中学１００００９）１一维空间直线上的ｎ个点可以把直线分成ｎ＋１段２二维空间平面内的ｎ条直线最多可以把平面分成多少部分呢？平面内的１条直线把平面分成２部分．平面内的２条直线最多可以把平面分成２＋２＝４部分．平面内有３条...     

折线基本性质初探

为了从整体上掌握众多直线形的特征,应对折线的结构性质作一般考查,本文着重探讨平面折线的若干基本性质 1 折线的一般性质平面上一些线段顺次首尾相接构成的图形称为平面折线,我们约定,任何端点不在另外的线段上,构成折线的线段称为边,线段的端点称为顶点,共顶点的两边称为邻边,共边二顶点称为邻顶点,如果折线每条边都有两条邻边,就称为封闭折线,否则为开折线。定理1 n边封闭折线有n个顶点;n边开折线有n 1个顶点。边不相交的折线称为简单折线,简单封闭折线称为多边形,多边形划分平面的两部分,其中有限部分称为多边形内部,不难证明。定理2 n边形内部可用不相交的对角线划分为     

巴普定理的推广及其它

文［１］介绍了巴普定理：圆内接凸四边形所在圆周上任一点到一双对边的距离之积等于该点到另一双对边的距离之积． 本文将此定理推广到圆内接凸２ｎ边形,并自然得到西姆松定理在凸ｎ边形的推广． 为了表述方便,我们不妨作如下定义： 隔边２ｎ条线段首尾相连,任取定一条线段,标号为１,将其余线段按逆时针方向依次标号为２、３、…、２ｎ,则由标号为奇数（或偶数）的线段组成的一组线段叫这２ｎ条线段的一组隔边,且标号为奇数的一组隔边与标号为偶数的另一组隔边互称互补隔边组． 定理１ 圆内接凸２ｎ边形所在圆周上任一点到一组隔边…     

星形多边形初探

在日常生活中,我们经常看到如下图形（图１）：（ａ）　　　　（ｂ）　　　　（ｃ）　　　　（ｄ）图１我们把上述全由双折边组成的简单闭折线,称为星形多边形．在星形多边形中,由相邻两边组成的向外凸的内角叫做外齿角,向内凸的内角叫做内齿角．定理１　星形多边形的边数必为偶数,内、外齿角的数目各半且相间排列．该定理是文［１］定理“封闭折线若有双折边,则有偶数条,左、右旋边各半且相间排列”的直接推论．由于２ｍ边星形多边形有ｍ个外齿角（或内齿角）,于是我们又称之为ｍ齿齿形．在ｍ齿齿形Ａ１Ａ２…Ａ２ｍ中,延长Ａ１Ａ…     

组合数与空间的分割

一条直线上的n个点最多能把这条直线分成n+1个部分,这一点是很显然的。我们不禁要继续问:平面上n条直线最多能把这个平面分成多少部分呢?三维空间中的n个平面最多能把这个空间分成多少部分呢?     

理一理引一引练一练——"几何初步知识"总复习指导小学数学毕业复习指导系列之五

理一理 1.平面图形的认识 (1)直线、射线和线段有什么区别和联系?在同一平面内,两条直线在什么情况下互相平行,什么情况下互相垂直?     

空间分割问题的注记

空间分割问题的注记谷海伟，段来华（山东曲阜师大数学系２７３１６５）（山东惠民一中２５１７００）一个平面最多能被ｎ条直线分割成多少个区域？或更一般地，一个ｍ维空间最多能被。个。一１维子空间分割成多少个区域？这一有趣的问题就是所谓的空间分割问题．它引起了...     

Steiner分割问题的进一步探讨

Ｓｔｅｉｎｅｒ分割问题的进一步探讨徐道（江苏如皋市教师进修学校２２６５００）ｎ条直线最多可将一个平面分割成多少区域？ｎ个平面最多可将整个空间分割成多少个区域？这就是著名的Ｓｔｅｉｎｅｒ直线分割平面及平面分割空间问题．关于这一问题的推广与探讨，已有好多...     

对凸形内部一类特殊点的研究

1 简介对于一个凸形,其内部任一点都能表示为凸形的某条弦的中点,但是对于一般的凸形,什么样的点能表示为凸形的某个内接中心对称凸多边形的中心?本文将对这个命题的推广进行讨论.以下为本文的主要结论.定理 设Ω为平面上的凸形,定义T为Ω的所有内接中心对称凸多边形中心构成的集合,则图形T的面积S(T)满足0≤S(T)≤1/4S(Ω)不等式左端等号成立当且仅当Ω为中心对称图形,不等式右端等号成立当且仅当Ω为三角形.(以下如无特殊说明,“凸形”,“中心对称图形”均指平面上的图形,且不包括直线或直线的一部分.)     

类比学习线段和角

<正>线段和角是两个基本的几何图形,在几何入门学习中的作用和地位不言而喻,它们之间联系密切,但又有区别,这里类比如下,以供参考.1.概念不同计数类似直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;或者看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.     

应用物理知识解两类数学题

1　应用物体的重心公式求值　　物理学告诉我们 :1)　对于均匀分布的凸ｎ边形 ,若其ｎ个顶点坐标是 (ｘｋ,ｙｋ) (ｋ =1,2 ,… ,ｎ) ,则其重心Ｇ(ｘ ,ｙ) :ｘ =1ｎ ∑ｎｋ =1ｘｋ,　 ｙ =1ｎ ∑ｎｋ =1ｙｋ;2 )　如果在线段ＡＢ的端点处分别放置质量为ｍ1 ,ｍ2 的两个质点 ,则其重心Ｇ在线段ＡＢ上 ,且质量为ｍ1 ｍ2 ,根据杠杆原理可得ｍ1 ·ＡＧ =ｍ2·ＧＢ ,或ＡＧ∶ＧＢ =ｍ2 ∶ｍ1 ,即重心到两质点的距离与这两质点的质量成反比 ,反之也成立 .图 1　例 1图例 1　求值 :ｓｉｎ 25π ｓｉｎ 45π ｓｉｎ 65π ｓｉｎ 85π .分析　注意…     

分类讨论思想在三角形分割线中应用

<正>三角形的分割是指从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.由于分割后的图形位置与形状的不确定性而需要加以分类讨论,纵观近年中考试题,涉及三角形分割线的试题屡见不鲜,解答此类问题,一定要注意正确的分类讨论,谨防以偏概全的漏解错误.例1已知△ABC中,∠C是其最小的内角,如果过顶点B的一条直线把这个三     

第3届女子数学奥林匹克(5—8题)

5　设u ,v ,w为正实数 ,满足条件uvw +vwu +wuv≥ 1,试求u +v +w的最小值 .　 (陈永高　供题 )6　给定锐角三角形ABC ,点O为其外心 ,直线AO交边BC于点D .动点E ,F分别位于边AB ,AC上 ,使得A ,E ,D ,F四点共圆 .求证 :线段EF在边BC上的投影的长度为定值 .(熊斌供题 )7　已知 p ,q为互质的正整数 ,n为非负整数 .问 :有多少不同的整数可以表示为ip +jq的形式 ,其中i,j为非负整数 ,且i+j≤n .(李伟固　供题 )8　将一个 3× 3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形” .在一个 10× 11的棋盘上 ,最多可以放置…     

趣谈任意角和弧度制

在义务教育阶段用静止的观点刻画角，把角看成是由一点引出的两条射线所组成的图形，这种角的定义在实际应用时有很大的局限性．例如：地球自转和机器轮子绕轴旋转一周后继续旋转，这些都不能用两条射线表示，而任意角可以说是刻画这类事物的数学模型，是用运动变化的观点重新定义了角的概念．在三角中把角看作平面上的一条射线绕着某一点旋转所成的图形，由于线段的旋转有方向性，任意角也就有了正负之分；当射线静止不动时，就称为零角．     

七、直线和平面

知识要点］本章共涉及平面、平面的基本性质、平面图形直观图的画法；两条直线的位置关系、平行于同一直线的两直线互相平行、对应边分别平行的角、异面直线所成的角、两条异面直线互相垂直的概念、异面直线的公垂线及距离；直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与...     

线画

一.什么叫做线画线画是由有限个点和有限条线所组成的图形,图形中的点叫做线画的顶点,线叫做线画的边;作为线画,则图形还必须满足这样几个条件:1)每个顶点至少是一条边的端点,2)每条边都有两个顶点(可以重合)作为端点(因此每条边都是直线段或者曲线段,3)各条边都不自行相交也不彼此相交。平面几何和立体几何中所遇到的很多由点和线组成的图形都是线画,但是上述三个条件把某些图形排除了出去。条件1)是说线面中不能有孤立的顶点;条件2)是说线画中的边必须有端点(因此直线或者圆都不是线画),也不能只有一个端点(因此射线也不是线画),这时必须注者,两个端点可以重合(因此圆和圆     

长方形,长方体被分割的正块数

文 [1]中利用递推法给出了正方形、正方体被分割的块数的计算公式 .本文将此推广到长方形与长方体 ,并给出一种较为简单的求法 .问题 1　长方形的长为ｎ ,宽为ｍ(ｍ ,ｎ∈ｎ ,且ｍ≤ｎ) ,过长的ｎ等分点 ,宽的ｍ等分点分别作边的平行线 ,求这些直线 (连同长方形四边 )所构成的正方形的个数 .图 1　问题 1图解　如图 1.设长方形ＡＢＣＤ中长ＡＢ =ｎ ,宽ＡＤ =ｍ ,分割后构成的所有边长为ｒ(1≤ｒ≤ｍ ,ｒ∈Ｎ)的正方形个数为ａｒ.在边ＡＢ上 ,由Ａ ,Ｂ及ＡＢ的ｎ等分点共ｎ 1个点所构成的长为ｒ的线段有ｎ -ｒ 1条 ,即在与ＡＤ平行连同Ａ…     

构造抽屉妙证一道竞赛题

题目平面上给定五点A、B、C、D、E,其中任何三点不在一直线上.试证:任意地用线段连结某些点(这些线段称为边),若所得到的图形中不出现以这五点中的任何三点为顶点的三角形,则这个图形不可能有7条或更多条边.     

一类内接三角形的面积的统一公式

设P是△ABC所在平面内任意一点，AP，BP，CP交直线BC，CA，AB分别于D，E，F，则称△DEF为点P关联△ABC的内接三角形．本文得到了此类内接△DEF与△ABC面积关系的统一公式．即定理设P是△ABC所在平面内的一点，△DEF是P关联△ABC的内接三角形，若有向线段的比，则有Ceva定理知2lA人一1．先证P在凸ABC内的情形．如图1，由于次证P在凸ABC外的情形．如图2，因凸ABC三边所在直线以及过凸ABC三顶点与三边的平行线，六条直线将凸ABC外面的部分划分为15个不同的区域U中一1．2，…，15）．这些区域可归结为四类：UI－U3为…