二次曲线定向切线

二次曲线定向切线刘士海（北京大学数学系９２级１００８７１）关于二次曲线：的平行于一非零向量的切线求解较为少见．这样的解是否存在？若存在，有多少解？鉴于切线的方向给定，我们不妨称为“定向切线”．为讨论方便，这里忽略了退化情形．若给走向量为，对切线上任一...     

二次曲线垂直切线的研究

用解析几何与射影几何的方法讨论二次曲线垂直切线交点的轨迹,重新证明了:椭圆、双曲线垂直切线交点的轨迹是圆;抛物线垂直切线的交点在准线上,且切点的连线过焦点.     

点P处的切线不同于过点P的切线

教材第三册 (选修Ⅱ )“导数的概念”一节 ,讲到导数的几何意义时 ,给出了两个例题 (例 3、例 4 ,P114— 115 ) ,都是利用导数求曲线上某一点P处的切线 ,也就是求以P为切点的切线 ,这样的切线只有一条 .如果求过点P的切线 ,就得另当别论 ,点P处的切线当然是过点P的切线 ,但过P点的切线却未必是点P处的切线 ,因为P点可能不是切点 ,从而这样的切线可能不只一条 .为了便于比较 ,我们把教材中例 3(P114)的 (2 )求点P处的切线 ,改为求过点P的切线作为例题 .图 1　例题图例题　如图 1,已知曲线 y =13x3 上一点P 2 ,83,求过点P的切线方程 .解…     

灵活应用切线不等式速解导数综合题

放缩法是处理函数与导数综合问题的重要工具,通过放缩可以将含有指数式、对数式或三角式的超越式化为一次式,从而简化问题的求解过程.利用曲线与其切线的位置关系进行放缩是常用的放缩方式,其中几种重要的切线不等式有指数函数的切线不等式、对数函数的切线不等式,以及三角函数的切线不等式.     

对抛物线切线性质的再研究

读了贵刊2005年第4期的《探讨抛物线切线的若干性质》(徐永忠)后,颇有收获,结合本人的教学经验,认为可对该文中的性质4、性质5进行更进一步的探讨.性质4过抛物线的准线上任一点所作抛物线的两条切线必互相垂直.性质4·1过抛物线上不同的两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直,则     

平面曲线的切线与渐近线

在本文中 ,我们得到了平面曲线的切线与渐近线之间的一些关系 .     

平面曲线的切线与渐近线

在本中，我们得到了平面曲线的切线与渐近线之间的一些关系。     

探讨抛物线切线的若干性质

抛物线的切线，总结了一系列性质，现给出其中的八条与大家共鉴赏．     

圆锥曲线切线的性质

文[1]给出了共焦点的圆锥曲线的切线性质,读后很受启发．本文对其进行了推广,并应用导数的相关知识给出证明,这个证明是非常自然也是容易接受的．     

谈常见曲线切线问题

导数进入中学数学教材之后，给传统的中学数学内容注入了生机与活力，为中学数学问题的研究提供了新的视角、新的方法，拓宽了高考的命题空间．曲线的切线问题是导数的重要应用之一，本文就谈一下与曲线切线有关的问题，供参考．     

圆锥曲线的一类切线的几何画法

下面是一个关于圆的切线判定的平面几何命题 :如图1所示 ,AB是⊙O的直径 ,EB是⊙O的切线 ,直线EA交⊙O于点D ,A ,点C是线段BE的中点 ,那么 :DC是⊙O的切线 .这个命题不仅给出了圆切线的一个几何画法 .而且可引伸出圆锥曲线的一类切线的几何画法 .本文以命题的形式介绍这种方法 .图 21　椭圆切线的一个几何画法命题 1　如图 2所示 ,AB是椭圆的长轴 ,过B的直线l⊥AB ,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点 ,直线AD交直线l于点E ,点C是线段BE的中点 .则DC是椭圆的切线 .证明　如图 2 ,建立直角坐标系 ,设椭圆图方程是x2a2 + y2b2 =1…     

关于二次曲线的切线及奇异点的探讨

利用二次曲线的切线的定义,分别讨论过二次曲线上的一点的切线的求法及过二次曲线外的一点的切线的两种求法,并且得到了存在奇异点的二次曲线的具体类型.     

直线为二次曲线切线的充要条件

过一点求二次曲线的切线的方法是大家所熟知的，但对于判别一条直线是否为一般二次曲线的切线，目前尚没有一种直接而且统一可行的方法．本文将探讨这一问题，给出判别一条直线是二次曲线切线的充要条件．     

为何少了一条切线

两道题都是巩固和考查切线与导数知识的好题，十分可惜的是课本的解答及高考试题的答案都少了一条切线，对学生学习切线概念上容易引起误导，在此给出辨析．     

圆锥曲线切线性质的拓展探究

由圆的切线到椭圆、双曲线、抛物线的切线都有诸多性质,这些性质都有着广泛的应用.本文就圆锥曲线切线的性质做进一步的探讨.性质1:过抛物线外一点向抛物线引两条切线,给出三个条件:①互相垂直;②交点在准线上;③切点连线     

与双曲线的切线有关的若干结论

首先探究双曲线的切线方程,以双曲线切线为载体,进一步探究与双曲线的切线有关的性质,得到涉及定值问题、动点轨迹方程、角平分线以及三点共线等相关的一系列结论.     

对三次函数图象的切线的探究

人教社高中数学第三册(选修Ⅱ)第112页例3是:例如图1,已知曲线y=1/3x3上一点P[2,8/3],求(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线的方程.问题展示后,学生大多能迅速找到解题思路,并得到正确结果:(1)4;(2)12x-3y-16=0.接着笔者给出了如下变式,请同学们继续思考.变式已知曲线y=13x3上一点P(2,38),求过点P的切线的方程.经过讨论,我们对“曲线过点P的切线”和“曲线在点P处的切线”进行了区别,并求得变式题的切线有两条(如图2),方程分别为12x-3y-16=0与3x-3y 2=0.图2中,切线3x-3y 2=0与曲线有两个交点,过曲线上一点P可以作两条直线与曲线相切,…     

利用切线方程证明一类不等式

对一类具某种约束条件的不等式,利用切线方程是一次函数的特点,给出了这类不等式的一种证明方法.     

圆锥曲线切线的一个有趣的性质

笔者近期研究圆锥曲线切线时 ,发现了一个有趣性质 .定理 1　过圆x2 +y2 =r2 上一点引圆的切线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是 1x2 + 1y2 =1r2 .定理 2　过椭圆 x2a2 + y2b2 =1上一点引椭圆的切线和法线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,法线与x轴 ,y轴分别相交于点M ,N .　 ( 1 )以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是a2x2 + b2y2 =1 ;( 2 )以原点O和M ,N为顶点构成的矩形的另一顶点D的轨迹方程是x2c4a2+ y2c4b2=1 ,其中C2 =a2 -b2 .定理 3　过双曲线…     

关于圆锥曲线的切线性质的一组定理

本文将应用如下两条熟知的引理及相关的平面几何知识 ,推导出关于椭圆、双曲线、抛物线的切线性质的一组定理 .引理 1　椭圆 (或双曲线 )上任一点的切线与该点的两条焦半径成等角 .引理 2　抛物线上任一点的切线与该点的焦半径及其对称轴成等角 .定理 1　过椭圆 (或双曲线 )上任一点作切线 ,则两焦点到此切线的距离之积为定值 .证明　 (仅以双曲线为例 ,椭圆类似 ,从略 )如图 ,设双曲线的方程为ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 ,ａ、ｂ ∈Ｒ+,Ｐ为双曲线上任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,Ｆ1、Ｆ2 为两焦点 ,Ｆ1Ａ⊥ｌ于Ａ ,Ｆ2 Ｂ⊥ｌ于Ｂ ,由引理 1可知 ,∠…