On the solution of the sector problem

A rigorous study of the sector problem is presented by using the Mellin transform technique. The stress function is obtained as an asymptotic expansion of the complex inversion integral. The number of terms of this expansion, as well as the differentiability of the stress function, depend on the differential properties of boundary conditions on the radial edges. If these boundary conditions belong toC , this asymptotic expansion is transformed to a uniformly convergent infinite series. The coefficients of the series, which depend only on the boundary conditions along the circumferential edges, are calculated by applying a bi-orthogonality condition, or, by a technique based on the Betti formula.

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Résumé En utilisant la technique de la transformation de Mellin on présente une étude rigoureuse du problème d'un secteur. La fonction des contraintes est obtenue par un développement asymptotique de l'intégral complexe d'inversion. Le nombre de termes de ce développement, ainsi que la differentiabilité de la fonction des contraintes, dépendent de proprietés différentielles des conditions aux limites sur les bords radiaux. Si ces conditions aux limites sont dansC , ce développement asymptotique est transformé en série infinie uniformement convergente. Les coefficients de cette série, qui dépendent uniquement de conditions aux limites sur le bord circulaire, sont calculés à l'aide d'une condition de bi-orthogonalité que nous démontrons, ou, à l'aide d'une technique basée sur la formule de Betti.

     

On rheological relations

Summary A number of rheological relations are discussed with emphasis on non-linear visco-elastic behaviour and in particular the BKZ elastic fluid theory. Comparison with experimental data is discussed where possible and some examples of such comparison are given.

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Résumé Un nombre de relations rhéologiques sont analysées en mettant l'emphase sur le comportement viscoélastique non-linéaire et en particulier la théorie des fluides élastiques BKZ. Chaque fois qu'il est possible, une comparaison avec des résultats experimentaux est faite et discutée et quelques exemples de ces comparaisons sont donnés.

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With 2 figures     

Upper and lower bounds for the shear stress in the Saint-Venant theory of flexure

Upper and lower bounds are derived for the shear stress as it is determined by Saint-Venant's theory of flexure, and used to establish the asymptotic character of the classical Strength of Materials formula in the limit of vanishing thickness.

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Résumé On dérive des limites supérieures et inférieures des contraintes tangentielles suivant la théorie de la flexion de Saint-Venant, que l'on utilise aux fins d'établir le caractère asymptotique de la formule de la Résistance des Matériaux dans le cas limite d'une épaisseur extrêmement petite.

     

Line integral representations for the traction problem of the elastic halfspace and their application to a study of the singular effects of load jumps

Line-integral representations for the solution of the elastostatic traction boundary-value problem of the half space are derived for the case of polyharmonic surface loading. For load regions of essentially arbitrary shape, bearing uniform tractions, these line-integral representations are applied to the analysis of the stress singularities present at the edges of the load region.

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Resume On dérive des représentations par intégrales curvilignes de la solution du problème aux conditions limites de traction élasto-statique dans le demi espace.On applique, pour des régions de charge de forme essentiellement arbitraire, ces représentations par intégrales curvilignes à l'analyse des singularités de tension qui apparaissent aux bords de la région de charge.

     

General variational methods for waves in elastic composites

General variational theorems in which the displacement, the stress, and the strain in one case, and the displacement and the stress in another case, are given independent variations, and which include appropriate general bondary and discontinuity conditions, are developed with a view toward the application to harmonic waves in elastic composites with periodic structures. The one-dimensional case is first developed in detail, and in order to demonstrate the effectiveness of the results, especially their accuracy in providing the dispersion curve, waves propagating normal to layers in a layered composite are discussed, and numerical results are presented; see Tables I and II. Then the general three-dimensional case is considered, and the results are applied to waves propagating normal to the fibers in a fiber-reinforced composite.

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Résumé Les théorèmes généraux variationels, dans lesquels on varie indépendemment le déplacement, la contrainte et la déformation, dans le premier cas, et le déplacement et la contrainte, dans le second cas, et qui fournissent de même les conditions aux limites et les conditions de discontinuité, sont dévelopés dans le but d'application aux ondes harmoniques dans les matériaux composites à structure périodique. Le cas d'une seule dimension est d'abord exposé en détail, et pour démontrer l'efficacité des résultats, en particulier la précision avec laquelle la courbe de dispersion peut être determinée, le cas d'ondes se propageant normalement aux couches du matériel composite est discuté et des résultats numériques sont présentés (voir Tables I et II). Par suite, le cas géneral en trois dimensions est considéré et les résultats sont appliqués aux ondes qui se propagent normalement aux fibres dans un matériel renforcé par fibres.

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This work was partly completed while the author was at the University of California, San Diego, La Jolla, California, as a consultant to Grant AF-AFOSR 70-1957, sponsored by the Air Force Office of Aerospace Research, United States Air Force, Washington, D.C.     

An explicit method to determine response coefficients in finite elasticity

Some classical solutions to problems involving controllable deformations of isotropic incompressible elastic solids are recapitulated. It is shown that, when only one deformation mechanism is inhomogeneous, a parametric differentiation of the load-deformation relations yields a possibility to determine explicitly the material response coefficients from data conveniently measurable at tests. The method is illustrated for two cases; extension, inflation and torsion of a tube and inflation of a spherical shell.

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Résumé Quelques solutions classiques de problèmes en déformation pour des solides élastiques isotropes incompressibles sont rappelies. On montre que, quand un seul mécanisme est nonhomogène, une dérivation parametrique des relations force-déformation rend possible la détermination explicite des coefficients characteristiques du solide à partir de données expérimentales facilement accessibles.Deux examples illustrent la méthode: cas d'un tube soumis à une extension, une expansion et une torsion et cas d'une coque sphérique en expansion.

     

Maximum principles and pointwise error estimates for torsion of shells of revolution

This paper is concerned with the question of assessing the quality of approximate thin shell solutions for the problem of axisymmetric torsion of elastic shells of revolution, an issue previously considered by Ho and Knowles [1]. In both works, the objective is to obtain pointwise estimates, based on the three-dimensional theory of elasticity, for the errors involved in using an approximate shell theory.The mathematical problem is that of obtaining explicit pointwise gradient estimates for the solutions of homogeneous and nonhomogeneous second-order uniformly elliptic equations, an issue of interest beyond the present context. In contrast to arguments using energy inequalities, here we apply a technique based on maximum principles for such equations.The particular examples of cylindrical, spherical and conical shells of revolution are discussed in detail. In the former two cases, it is shown that the shell theory solution is in fact an exact elasticity solution in the Saint-Venant sense. Asymptotic error estimates for general shells of revolution are also given.

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Résumé L'étude çi-dessous traite de la qualité de l'approximation des coques minces appliquée aux problèmes de torsion asymétrique des coques élastiques de révolution, problème déjà considéré par Ho et Knowles [1].L'objectif des deux études est d'évaluer en chaque point, par la théorie de l'élasticité en trois limensions, les erreurs conséquentes à l'utilisation de la théorie de l'approximation des coques.Le problème mathématique consiste à obtenir une estimation explicite en chaque point des gradients pour les solutions d'équations elliptiques uniformes du deuxième ordre, homogènes et non-homogènes, problème d'un interêt qui dépasse le présent contexte. Nous utilisons ici une technique basée sur le principe du maximum pour de telles équations, par contraste avec les raissonnements utilisant des thegalités énergétiques.Les exemples particuliers des coques de révolution cylindriques, sphériques et coniques sont discutés en détail. Dans les deux premiers cas, nous montrons que la solution par la théorie des coques est en fait une solution exacte dans le sens de Saint-Venant. Des estimations asymptotiques des erreurs dans le cas de coques de révolution plus générales sont également données.

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Paper presented at the 6th Canadian Congress of Applied Mechanics (CANCAM 77), The University British Columbia, Vancouver, May 30–June 3, 1977.     

Dynamic-mechanical properties of a bitumen-silica composite III. Modelling of the behaviour of bitumen-silica composites and confirmation of the equivalence principles

Summary The experimental results were analysed in the space of the complex modulus and the limit of the triple equivalence (time-temperature-filler content) principle was ascertained. A rheological model, consisting of a spring and two dashpots arranged in series, describes the behaviour of the bitumen-silica composites.

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Zusammenfassung Die experimentellen Ergebnisse werden im Raum des komplexen Moduls analysiert, und die Anwendbarkeitsgrenzen des Dreifach-Superpositionsprinzips (Zeit-Temperatur-Füllstoffgehalt) werden festgelegt. Ein aus einer Feder und zwei in Reihe geschalteten Dämpfern gebildetes rheologisches Modell beschreibt das Verhalten der Bitumen-Silizium-Zusammensetzungen.

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Résumé Les résultats expérimentaux ont été exploités dans l'espace du module complexe et les limites de validité de la triple équivalence temps-température-concentration en charge ont été établies. Un modèle rhéologique, constitué d'un ressort et de deux amortisseurs en série permet de rendre compte du comportement des composites à base de bitume et de silices.

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With 13 figures and 2 tables     

Loss of contact between an elastic layer and half-space

The plane problem of smooth contact between an elastic layer and a half-space is analyzed. The layer is pressed against the half-space by a uniform load applied over its entire surface except for one region of finite length. The solution is given as the sum of solutions to two plane problems, one of which is known a priori. The analysis of the other problem leads to an inhomogeneous Fredholm integral equation for an auxiliary function that is related to the contact pressure. The boundedness of the contact stress at the end of the contact is used to determine the region of separation. The integral equation is solved numerically and the relevant physical quantities are computed and presented in the form of curves.

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Résumé On analyse le problème du contact glissant entre une couche élastique et un demi-espace. La couche est pressée sur le demi-espace par une charge uniforme appliquée à sa surface entière, à l'exception d'une région de longueur finie. La solution est donnée comme une somme des solutions de deux problèmes plans, dont l'une est connue à priori. L'analyse de l'autre est amené à une équation intégrale non-homogène de Fredholm pour une fonction auxiliaire qui dépend de la pression de contact. Le fait que la pression du contact ne peu pas être infinie aux extrémités du contact est utilisé pour déterminer la région de séparation. L'équation intégrale est résolue de façon numérique et les quantités physiques importantes sont calculées et présentées en forme des courbes.

     

Spannung und Deformation beim nichtlinearen Kriechen künstlich gefrorener Erdstoffe

Zusammenfassung Im Hinblick auf die ingenieurmäßige Anwendung der künstlichen Bodenvereisung wird zu experimentellen Untersuchungen des zeitabhängigen Materialverhaltens gefrorener Erdstoffe Stellung genommen. Die Möglichkeit der Generalisierung vom einaxialen Druckzustand auf mehrachsige Spannungszustände hinsichtlich des Kriechens wird aufgezeigt. Neben einem numerischen Beispiel wird die Bedeutung und Aussagekraft triaxialer Kriechversuche mit gefrorenem Boden diskutiert.

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Summary In regard to ground freezing technology experimental work about the time dependent stress-strain characteristics of artificially frozen soils is discussed. The paper represents the generalization of uniaxial test information to include the multiaxial stress state. The non-linear effects arising from creep and the significance of triaxial compression tests with frozen soils are shown by one example.

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Résumé En vue de la pratique de génie civil comme la congélation artificielle des sols, les contraintes et les déformations dépendant de temps sont mis en discussion. La généralisation d'information des tests expérimentals avec une compression uniaxiale pour la situation multiaxiale est développée dans le report. Un exemple basé sur l'application des éléments finis est donné de plus la fluage des sols gelés par de test triaxial qui mérite d'être mentionnée.

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Mit 15 Abbildungen     

Wave propagation in elastic plates

The problem of wave propagation within the framework of a complete linear theory of elastic plates is treated using the method of wave curves. A complete classification of the various extensional and bending waves is obtained, along with the corresponding speeds of propagation. These are shown to correspond to the phase velocities of harmonic waves for infinite wave number. The decay and coupling equations are found, and the problem of waves due to a punch applied to the plate surface is treated.

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Résumé On a étudié le problème de la propagation des ondes en utilisant la méthode des courbes ondiales et assumant la théorie linéaire et complète des plaques minces. On obtient une classification totale des ondes diverses, de l'extension et de la flexion, avec des vitesses de la propagation. On prouve aussi, que celles-ci correspondent avec des vitesses des phases de la propagation, en cas de nombre infinite des ondes. Les équations de la décadence et de l'accouplement sont derivées, et on a étudié le problème d'une onde, qui est produite par une emporte-pièce appliquée sur la surface d'une plaque.

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This work was supported in part by funds from the National Research Council of Canada, under Grant Number A3805.     

Formation des gels d'agar et seuil d'écoulement

Résumé Les seuils de plasticité de gels d'agar a différentes concentrations ont été déterminés par différentes méthodes et comparé entre eux. Le seuil de contrainte qui apparaît au cours du refroidissement de la solution indique le début de la formation du réseau gélifié. II définit une température d'apparition du seuil de plasticite. La determination de cette temp6rature critique montre que la formation du gel est soumis aux conditions de refroidissement de la solution: le processus de gelification est accéléré par un refroidissement rapide des solutions et débute à une température plus basse. La formation du gel peut être suivie dans des conditions plus proches des réalités industrielles de fabrication de ces milieux.

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The yield stress of agar gels has been measured by different methods and the results compared. The yield stress which occurs during cooling of polymer solutions indicates the beginning of crystalline network formation. This point defines the temperature of plastic flow; its determination shows that the gel formation is subordinated to cooling conditions of the solution: the process of gelification is retarded by very fast cooling, and is induced at a lower temperature than occurs with slow cooling. We follow the formation of gels in conditions similar to those used in manufacturing processes.

     

Abaissement différé de la limite apparente d'élasticité des aciers après une déformation sous une tension atteignant cette limite

Résumé Le fluage des aciers doux, demi-durs et durs possédant une limite apparente d'élasticité se présente sous la forme particulière d'un écoulement rapide et différé, lorsque ces aciers ont été d'abord soumis à un étirage sous une tension atteignant la limite apparente d'élasticité et lorsqu'ils ont été soumis immédiatement après décharge à l'effet d'une charge permanente de fluage réalisant une tension inférieure à la limite apparente d'élasticité.Plusieurs essais de fluage et de relaxation ont été réalisés dans ces conditions pour déterminer l'ordre de grandeur de la tension la plus basse susceptible de provoquer cet écoulement caractéristique.

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Summary The creep of different kinds of steels with a yield point has the particular form of a delayed yield when the bars have previously been strained at a stress equal to the yield point and afterwards submitted to creep under a constant stress lower than the yield point.Several creep and relaxation tests have been performed under these conditions in order to appreciate the lower stress which is able to produce the delayed yield.

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Zusammenfassung Das Kriechen der Stähle von verschiedener Güte mit natürlicher Streckgrenze stellt sich dar in charakteristischer Form eines verspäteten Fließens, wenn diese Stähle zuerst beim Zuge bis zur Streckgrenze verformt werden und dann nach Entspannung dem Kriechversuch übergeben werden unter eine Zugspannung kleiner als die Streckgrenze.Mehrere Kriech- und Relaxationsversuche wurden in diesen Angelegenheiten durchgeführt, um die kleinste Zugspannung zu bestimmen, welche noch geeignet ist, das verspätete Fließen zu bewirken.

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Professeur à l'Université de Liège, directeur des Laboratoires d'Essais des Constructions du Génie Civil.

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Agrégé à l'Université de Liège, chef de section aux Laboratoires d'Essais des Constructions du Génie Civil.     

A uniqueness theorem in the theory of Cosserat surface

Within the scope of the non-isothermal theory of an elastic Cosserat surface and for a system of linear equations characterizing the initial mixed boundary-value problems of thermoelastic shells, a uniqueness theorem is obtained without the use of definiteness assumption for the free energy. The theorem holds for nonhomogeneous and anisotropic shells undergoing small motions (and small temperature change) superposed on a large deformation.

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Résumé Dans le cadre de la théorie d'une surface élastique de Cosserat et pour un système d'équations linéaires décrivant les problèmes à conditions initiales et à conditions aux frontières mixtes de coques thermoélastiques, on obtient un théorème d'unicité sans faire appel à une hypothèse de définition pour l'énergie libre. Le théorème est valable pour des coques non-homogènes et anisotropes soumises à de petits mouvements (et petits changements de température) superposés à une grande déformation.

     

Singularity methods for elastostatics

By distributing the concentrated singularities such as a Kelvin doublet along the axis of symmetry we describe the displacement field, in an elastic medium, for various modes of rotation and translation for a rigid prolate and oblate spheroid. The limiting cases of a sphere, a slender body and a thin circular disk are also discussed. All the solutions are presented in a closed form.

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Résumé En distribuant les singularitées concentrées, comme par exemple un doublet de Kelvin, le long des axes de symetrie, nous décrivons le champs de déplacement en milieu élastique, pour divers modes de rotation et de translation d'un ellipsoide rigide, oblong ou prolong. Les cas limites d'une sphère, d'une aiguille et d'un disque circulaire mince sont aussi discutés. Toutes les solutions sont presentées sous une forme fermée.

     

Une nouvelle définition des volumes libres dans les liquides non associés: application à la détermination des diamètres moléculaires

Résumé Une étude systématique des volumes libres extrapolés à fluidité nulle a été menée sur une vingtaine de liquides. Une nouvelle équation est proposée pour ce volume libre limite, noté «V.L.L.» et nous la comparons à celle déduite des calculs de l'Hydrodynamique classique; elle permet de déterminer les valeurs de diamètres moléculaires; ces dernières sont en bon accord avec celles obtenues de la viscosité des gaz, de la diffusion Raman ou Rayleigh. En outre, et aux erreurs expérimentales près, les valeurs des diamètres moléculaires sont données pour 10 dérivés du benzène, valeurs qui ne se trouvent pas, à notre connaissance, dans la littérature, exception faite du benzène pur.

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Summary A systematic study of free volumes extrapolated at zero fluidity is executed for 20 liquids. A new equation for this Limit Free Volume (V.L.L.) is proposed and compared with the theoretically calculated free volume; values of molecular diameters are determined and found to be in good agreement with values obtained from gas viscosity, Raman and Rayleigh scattering, respectively. Moreover, within experimental error, values of molecular diameters are found for 10 benzene derivatives which are not, at our knowledge, available in the literature, except for pure benzene.

Avec 1 figure et 3 tableaux     

Effets d'entrée en écoulements pulsés non-newtoniens

Sommaire Le présent travail concerne l'étude des champs de vitesse dans la région d'entrée dans un écoulement pulsé, newtonien et pseudoplastique en conduites cylindriques circulaires. Trois méthodes d'étude ont été utilisées: une méthode analytique, une méthode aux différences finies et une méthode expérimentale basée sur la vélocimétrie à laser. Les résultats obtenus à l'aide de ces méthodes sont confrontés entre eux. Les influences des paramètres rhéologiques et hydrodynamiques sur ces écoulements sont également analysées.

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Summary The purpose of this work is the study of the entrance effects for pulsating flow of inelastic non-newtonian fluids in cylindrical tubes. Founding upon classic methods relating to steady flows, we consider this problem as development of hydrodynamic boundary layer. The evolutions of velocity profiles have been obtained on the one hand by laser velocimetry on aqueous solutions of high polymers and, on the other hand, by numerical resolution of non-linear equations relating to such flows. The relative influences of rheological and hydrodynamical parameters have been analysed and compared.

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Zusammenfassung Die vorliegende Veröffentlichung befaßt sich mit der Einlaufströmung in zylindrische Rohre für den Fall pulsierender Strömungen newtonscher und unelastischer nicht-newtonscher Flüssigkeiten. Dabei werden drei Untersuchungsmethoden verwendet: eine analytische Methode, eine numerische Methode auf der Basis der Finiten Differenzen und eine experimentelle Methode unter Einsatz eines Laser-Doppler-Anemometers. Die mit Hilfe dieser Methoden gewonnenen Ergebnisse werden miteinander verglichen und der Einfluß der verschiedenen rheologischen und hydrodynamischen Parameter auf die Strömungsform wird analysiert.

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Avec 9 figures et 3 tableaux     

Dependence of linear elasticity solutions on the elastic constants

Necessary and sufficient conditions on the dilatation for the displacement and/or the stress to be independent of Poisson's ratio in the standard boundary-value problems of three-dimensional classical elastostatics are determined. Formulas for the volume averages of the changes induced in the stress and strain by a variation of Poisson's ratio are also given.

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Résumé On détermine des conditions nécessaires et suffisantes sur le changement de volume pour que les déplacements et (ou) les contraintes soient indépendants du coefficient de Poisson dans les problèmes des conditions des limites classiques de l'élasticité tri-dimensionnelle. On donne également des formules pour les moyennes voluminiques des changements subis par les contraintes et les déformations lors d'une variation du coefficient de Poisson.

     

Energy flux into the tip of an extending crack in an elastic solid

Summary An expression for the energy flux into the tip of an extending crack in terms of the dynamic elastic field of the crack is derived on the basis of an overall energy rate balance. It is shown that the energy flux depends only on the near-tip elastic field. The expression is compared to other expressions for this dependence which have been proposed by Atkinson and Eshelby, by Achenbach and by Erdogan. The energy flux is calculated in terms of the stress intensity factor for a particular plane strain problem and an antiplane strain problem.

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Résumé Sur la base d'un équilibre énergétique dynamique global, le flux d'énergie convergeant vers l'extrémité d'une tissure en propagation est exprimé en fonction du champ élastique dynamique de la fissure. II est démontré que ce flux d'énergie ne dépend que du champ élastique au voisinage immédiat de l'extremité de la fissure, L'expression obtenue est comparée aux expressions précédemment proposées par MM. Atkinson et Eshelby, Mr. Achenbach, et Mr. Erdogan. Le flux d'énergie est évalué en fonction du facteur d'intensité des contraintes dans les cas particuliers d'un problème de déformation plane et d'un problème dans lequel la direction du cisaillement est horizontale.

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Supported by the United States Atomic Energy Commission through Contract AT (11-1)-3084 with Brown University.     

On superposed small deformations on a large deformation of an elastic Cosserat surface

Within the scope of the theory of a Cosserat surface, this paper is concerned with small deformations superposed on a large deformation in elastic shells and plates together with some related aspects of the subject. Special attention is given to problems of stability and vibrations of initially stressed isotropic plates.

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Résumé Dans le cadre de la théorie d'une surface de Cosserat, le présent rapport étudic, pour des plaques et coques élastiques, de petites déformations superposées à une grande déformation, ainsi que certains aspects connexes du sujet. Une attention particulière est accordée aux problèmes de stabilité et de vibrations de plaques isotropiques initialement sous tension.