正余弦定理及其应用

在三角形中,由正弦定理和余弦定理可得出一个有用的结论,不妨称之为正余弦定理．     

余弦、正弦定理在四面体中的推广

高中代数课本上册(P240,P2431998年出版)解斜三角形部分给出了余弦定理的内容及表达式．下面把余弦定理推广到四面体中,不妨称为“四面体余弦定理”．     

正、余弦定理在三棱柱中的拓展

正、余弦定理是中学数学中应用最广泛的公式之一，若将它拓展到空间三棱柱，则可得到类似的正、余弦定理．     

再谈“广义三角形角的关系及应用”

文 [1]从三角形中的正、余弦定理的角度出发 ,将余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ和正弦定理 ａｓｉｎＡ= ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ=2Ｒ结合得 :定理 1　在△ＡＢＣ中 ,ｓｉｎ2 Ａ =ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ -2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ .并将其推广到广义三角形中 ,即得 :定理 1′　若∠Ａ +∠Ｂ +∠Ｃ =π ,则ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ - 2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ =ｓｉｎ2 Ａ .定理 1称为三角函数形式余弦定理 ,它揭示了三角形内角的关系 .定理 1′称为广义三角函数形式余弦定理 ,它揭示了广义三角形内角的关系 .在教学中 ,笔者曾对课…     

正余弦定理相结合的一个妙用

在ΔABC中，由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为外接圆的半径)，得a=2RsinA，b=2RsinB，C=2RsinC．又由余弦定理得a^2=b^2 c^2-2bc cosA，故有sin^2A=sin^2B sin^2C-2sinBsinC cosA，同理有sin^2B=sin^2A sin^2C-2sinAsinCcosB,sin^2C=sin^2A sin^2B-2sinAsinBcosC．这三个式子在解题中有很大的作用．     

条条大路通罗马,一题多解辨最优——解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题是高一数学教学的重难点.本文以学生的认知经验为教学起点,以分类型例题为载体,通过条件与问题的多重变式进行探究,层层深入,引导学生积极思考,迁移探究三角形中面积、周长、重要线段的最值问题,并总结出综合运用正余弦定理求解此类最值问题的方法策略.同时通过一题多解的方式进行拓展教学,开阔学生的思维,引导学生感悟函数与方程、转化与化归、直观想象等思想方法的深刻本质与实用魅力,真正提升学生的思维品质.     

合理选择正余弦定理解题

学完《解三角形》这章内容后,发现正余弦定理是解三角形的两大工具,它是勾股定理解直角三角形的工具的一种推广,并在测量距离、高度、长度等问题中有着广泛的应用.利用正余弦定理可以解一些三角形中的有关边与角的问题,实现边与角的转化.但如何灵活地     

强化“三思维”,破解三角形

解三角形问题可以有效沟通初中平面几何与高中相关知识,实现知识的交汇与融合,一直是高考中的基本考点,本文中结合高考真题加以实例分析,从不同思维视角切入,强化破解三角形问题的“三思维”,总结规律,启示教学,指导数学教学与解题研究.     

三角形中的边角关系问题

三角形中的边角关系是各类竞赛的一个重要考点，在三角形中，经常遇到有关边、角关系的问题，除了运用三角形中的恒等变形外，正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式也是证明过程中常用的．此外，熟悉以下基本知识是必要的：     

会当凌绝顶,一览众山小——谈正、余弦定理统一证明的教学设计

当你初次登上讲台时,你是怎么备课的?不熟悉教材内容以及内部的组织结构,不明白编写者的意图……这些都将导致你只能被教材牵着鼻子走,处于被动.一味地照搬,你永远无法品鉴到教学设计这壶茶里的那股茗香,永远走进不了学生的思维世界.我们的教材往往是按照章节的次序编写的.这样的一种人为分割的编排思路长期不衰,有着它自身的     

高中数学教科书“正、余弦定理”内容的比较研究——以现行六版教科书为例

正、余弦定理是平面三角学中刻画三角形边角关系的基本定理,有丰富的教育价值.而教科书是实现课程目标的重要教学资源,在新课程“一纲多本”教育背景下,我国教科书百花齐放、各具特色.故选取现行六版高中数学教科书,比较其“正、余弦定理”内容的呈现方式,整合教学资源,博采众长,提出教学建议;联系现实融合史料,丰富问题情境创设;促进关键知识生长,构建数学知识网络;聚焦探究启发思考,落实核心素养导向.     

“七彩阳光”2022届新高考研究联盟一道试题的探究

解三角形问题是历年高考、高中数学联赛中的常见题型之一,以在“知识点交汇处”命题为引领,充分融合初中平面几何与高中解三角形知识,题型新颖,思维多样,抓住实质,多视角多方法破解,多角度多思维拓展,给考生提供更多的机会,总结规律,指导数学教学与复习备考.     

“新教材解读”之（12）——解三角形

高中数学新课程必修模块《数学5》中的第一章“解三角形”包括正弦定理、余弦定理及解三角形应用举例,共有8课时的内容．     

对“边边角”的深入探究

八年级三角形全等的判定方法,课本中介绍了四种:边边边(SSS)公理、边角边(SAS)公理、角边角(ASA)公理和角角边(AAS)定理,对特殊的直角三角形在判定全等时,除了以上四种方法外,还有"斜边、直角边"(HL)定理.而众所周知,"SSA"是不能用来作为判定任意两个三角     

“余弦定理和正弦定理”的数学思想史略

新编《普通高中数学课程标准》的数学5要求掌握平面的正、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；且选修3-3新增球面上的几何的简单知识，要求探索并证明球面余弦定理和正弦定理．正、余弦定理在中学数学中是十分重要的内容，是中学重要的数学思想方法，也是实际应用中十分重要的工具之一，有必要知道其历史发展过程．     

一类解三角形问题的再一解法

在历年高考中，解三角形是考查的重点，教材上归纳的已知两角及任一边利用正弦定理解三角形，以及利用余弦定理解三角形，解均唯一，学生不难掌握．而对于已知三角形的两边和其中一边的对角，判断三角形解的个数却是学生学习中的难点．教材先通过三个例题的学习，再利用图解法进行总结与归纳，笔者通过四年对该内容的教学发现，虽然图解法比较直观，但实际上部分学生感到很抽象，求解时可操作性不强．     

巧思维视角,妙方法策略——一道高中数学联赛题的探究

解三角形问题是高中数学联赛中的常见考查题型之一,常常以“知识点交汇处”命题为引领,充分融合初中平面几何与高中解三角形知识,教学可以从解三角形思维、平面几何思维、坐标思维引导学生寻找解题切入点,实现三角形问题的破解.     

构建“平面向量”与“正弦定理、余弦定理”的多重联系

新教材把"正弦定理、余弦定理"从"三角函数"中分离出来,纳入到"平面向量"中,如此处理既尊重数学史实,又能凸显章节主题.但新教材在"正弦定理、余弦定理"的结构与内容设计上与"平面向量"的联系还不够紧密,广大教师可以从定理的发现与证明上来建立它们之间的多重联系,从而弥补新教材这一不足.     

正、余弦定理的联用

正、余弦定理是解决三角形问题的重要工具,既可以单独运用其解决有关三角形问题,也有不少与三角形有关的问题需要正、余弦定理的综合运用、协同作战才能解决.     

值得重视的一个定理

在△ABC中,三条边口、b、C所对的角分别是A、B、C,我们有：a=bcosC＋ccosB。b=cosA＋acosC,C=acosB＋bcosA．这就是解三角形中的射影定理,它与正弦定理、余弦定理并称为三角形中的三大定理．这三条定理之间是等价的（即可互相推出）,而射影定理在解决问题中也有其独到的优势．