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对一个猜测推广的证明 总被引:1,自引:0,他引:1
文 [1 ]对W .Janous猜测推广成如下命题 :设xi >0 (i=1 ,2 ,… ,n) ,记S=x1 +x2 +… +xn,则x22 -x21 S-x2 + x23 -x22S-x3+… + x21 -x2 nS-x1 ≥ 0 ( 1 )文 [2 ]指出文 [1 ]对式 ( 1 )的证明是错误的 ,但未给出式 ( 1 )的正确证明 ,最后又提出了更一般的下述问题 :设xi>0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,n≥ 3,记S=x1+x2 +… +xn,能否取适当的k ,有 x2 k-x1 kS-x2 +x3k-x2 kS-x3 +… + x1 k-xnkS-x1 ≥ 0 ( 2 )本文证明 ,当k∈R+时 ,式 ( 2 )成立 .证明 对于 (x1 ,x2 ,… ,xn)的所有互异的n !个排列中 ,必然存在一个排列 (y1 ,y2 ,… ,yn)满足y1 … 相似文献
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数列是高考的热点 ,是学生进一步学习的基础 .数列与函数知识的综合应用是学生学习的难点 ,下面列举这方面的例子进行分析 .例 1 已知函数f(x)在 ( - 1,1)上有定义 ,f 12 =- 1,且满足x ,y∈ ( - 1,1)有 f(x) +f(y) =f x + y1+xy .1)证明 :f(x)在 ( - 1,1)上为奇函数 ;2 )对数列x1 =12 ,xn + 1 =2xn1+x2 n,求 f(xn) ;3)求证 1f(x1 ) + 1f(x2 ) +… + 1f(xn) >- 2n + 5n + 2 .解 1)令x =y =0 ,则 2 f( 0 ) =f( 0 ) ,∴ f( 0 )= 0 .令 y =-x∈ ( - 1,1) ,则f(x) + f( -x) =f( 0 ) =0 ,∴ f( -x) =- f(x) ,即f(x)为 ( - 1,1)上的奇函数 .( 2 … 相似文献
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杨克昌、陈培德两老师在贵刊文[1]给出如下:定理1 设0≤d≤2,xi>0,1≤i≤n,则max1≤i≤n{xi}(x1 (1 d)x2 … (1 (n-1)d)xn)≥(n-1)d 22n(x1 x2 … xn)2等号成立当且仅当x1=x2=…=xn.笔者读后深感此不等式很奇妙,并思之此定理有其对偶的形式,即有定理2 设0≤d≤2,xi>0,1≤i≤n,则min1≤i≤n{xi}(x1 (1 d)x2 … (1 (n-1)d)xn)≤(n-1)d 22n(x1 x2 … xn)2(1)等号成立当且仅当x1=x2=…=xn.证明的方法同文[1]证 视(1)式左边减去右边所得的差为d的函数,记作g(d).显见g(d)是一个线性函数.所以为证g(d)在整个区间[0,2]上非正,只要证g(d)在区间端… 相似文献
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杨学枝老师在文[1]中提出的猜想21如下:
设xi∈-R,i=1,2,…,n,记s1=η∑xi=1,sn-1=x2x3…xn+x1x3…xn+…+x1x2…xn-1,sn=x1x2…xn,则
sn1-(n-1)n-1 s1 sn-1+n2[(n-1)n-1-nn-2]Sn≥0,①
当且仅当x1=x2-…=xn时取等号.
笔者探究发现①式取等号成立的充要条件应该是:x1=x2=…=xn,或x1=x2=…=xn-1,xn=0. 相似文献
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用初等方法证明了不等式:设xi>0,i=1,2,…,n(n≥3),则x2/x1(x3 x4 … xn) x3/x2(x4 x5 … x1) … x1/xn(x2 x3 … xn-1)≥(n-2)(x1 x2 … xn) 相似文献
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文 [1 ]提出了一个猜想 :设xi>0 ,i=1 ,2 ,… ,n ,且 ∑ni=1xi=1 ,n≥ 3,则 ∏ni=11xi-xi ≥n - 1nn ( 1 )文 [2 ]利用下述引理“设a相似文献
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在一元函数里 ,函数与它的反函数的导数互为倒数关系。多元函数也有类似的性质。下面介绍之。定理 如果多元函数 z =f ( x1,x2 ,… ,xn)的反函数存在且偏导数不为零 ,那么 z x1=( -1 ) n+ 1 x1 x2 x2 x3… xn z( 1 ) 证明 设 F( x1,x2 ,… ,xn,z) =z -f ( x1,x2 ,… ,xn) =0 ,则 z x1=-Fx1Fz, x1 x2=-Fx2Fx1,…… , xn z=-Fz Fxn因此 z x1 x1 x2… xn z =( -Fx1Fz) ( -Fx2Fx1)… ( -Fz Fxn) =( -1 ) n+ 1即 z x1=( -1 ) n+ 1 x1 x2 x2 x3… xn z 上面的恒等式可推广为 z xi=( -1 ) n+ 1 xi xi+ 1 xi+ 1 xi+ 2… xn- 1 x… 相似文献
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2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是:设a,b,c是正数,求证:a2b b2c c2a≥a b c 4(a-b)2a b c(1)文[1]从变量的个数方面给出了一个推广:已知x1,x2,…,xn∈R ,求证:x12x2 x22x3 … xn2x1≥x1 x2 … xn 4(x1-x2)2x1 x2 … xn(2)本文将从变量的个数,指数两方面给出(1)的一个更一 相似文献
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设φ( x)与ψ( x)均为区间 X上的单调函数 ,对任意 x1、x2 、…、xn ∈ X( n≥ 2 ) ,记Sn( x1,x2 ,… ,xn) =φ ( x1)ψ ( x2 ) φ( x2 )ψ( x3) … φ ( xn-1)ψ ( xn) φ ( xn)ψ( x1) .本文讨论其最值 ,并证明文 [1 ]文 [2 ]的猜想成立 .定理 若 p、q∈ R使一切 x、y、z∈ X满足 S2 ( x,y)≤ p,S3( x,y,z)≤ q,( 1 )则对任意 x1、x2 、…、xn ∈ X ( n≥ 2 )有Sn( x1,x2 ,… ,xn)≤ Mn( p,q) ,( 2 )其中Mn( p,q) =12 np,12 ( n - 3) p q, n为偶数 ;n为奇数 .证明 (用数学归纳法 )1° 当 n =2 ,3时 ,由 M2 ( p,q) =p,… 相似文献
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在本刊2005年第19期P48上,刊登了2005年巴尔干数学奥林匹克试题,当中的第3题为:设a,b,c是正数,求证:2ab 2bc 2ca≥a b c 4(a-b)2a b c.经过探索,我们从变量的个数方面,给出了上述不等式的一个推广.结论1已知x1,x2,…,xn∈R ,求证:x12x2 x22x3 … xn2x1≥x1 x2 … xn 4(x1-x2)2x 相似文献
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若一组数据的个数是 n,则它们的方差是S2 =1n[(x21 x22 … x2n) - nx2 ],其中 x =1n(x1 x2 … xn) ,这是众所周知的 ,由它易得推论 n(x21 x22 … x2n)≥ (x1 x2 … xn) 2 .证明 ∵ S2 ≥ 0 ,故有 (x21 x22 … x2n) -n(x1 x2 … xnn ) 2≥ 0 ,即 相似文献
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一组数x1,x2,x3,…xn的平均数为-x,其方差是S^2=1/n[(x1^2+x2^3+…+xn^2)-n-x^2]. 相似文献
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一个猜想不等式的加细与推广 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [1 ]提出如下猜想 设 x1,x2 ,… ,xn ∈ R+ ,x1+ x2 +… + xn =1 ,n≥ 3,n∈ N,则 ∏ni=1( 1xi- xi)≥ ( n - 1n) n. ( 1 )戴承鸿、刘兵华在文 [2 ]中证明了上述猜想不等式成立 .本文给出该不等式的一个加细及推广形式 .定理 设 x1+ x2 +… + xn=k,n≥ 3,n∈ N;若 k≤ 1 ,x1,x2 ,… ,xn ∈ R+ ,则 ∏ni=1( 1xi- xi)≥ ( nk - kn) n ( ∏ni=1nxik) 1n-13≥ ( nk - kn) n ( 2 )若 k≥ n - 1 ,x1,x2 ,… ,xn ∈ ( 0 ,1 ) ,则∏ni=1( 1xi- xi)≤ ( nk - kn) n . ( ∏ni=1n - nxin - k) 13 -1n ≤ ( nk - kn) n. ( 3)为证定理 ,先… 相似文献
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(2010年浙江大学自主招生试题)有小于1的正数:x1,x2,…,xn且x1+x2+…+xn=1.求证:1/x1-x2^3+1/x2-x2^3+…+1/xn-xn^3〉4. 相似文献
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设 n个数据 x1,x2 ,… ,xn 的平均数为 x,则其方差为S2 =1n[( x1- x) 2 ( x2 - x) 2 … ( xn - x) 2 ]=1n[( x21 x22 … x2n) - 1n .( x1 x2 … xn) 2 ].显然 S2 ≥ 0 (当且仅当 x1=x2 =… =xn= x时取等号 ) .合理地灵活应用这一公式 ,可简捷、巧妙地解方程组 ,其思路独特 ,功效奇妙 .例 1 解方程组x 1 y - 1 =6 ,x y =1 8.解 ∵ x 1 ,y - 1的方差是S2 =12 [( x 1 ) 2 ( y - 1 ) 2 -12 ( x 1 y - 1 ) 2 ]=0 ,∴ x 1 =y - 1 =3.解此方程 ,并检验 ,得方程组的解为x =8, y =1 0 .例 2 求方… 相似文献