Rotordynamik mit Berücksichtigung von Längskraft und Torsion im achsparallelen Schwerefeld

Übersicht Die gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen der Rotordynamik einer in axialer Richtung homogenen Welle werden mit den Voraussetzungen der Bernoullischen Balkentheorie mit innerer Dämpfung (Kelvin-Material) nach der Theorie zweiter Ordnung für Längskräfte und Torsionsmomente bereitgestellt. Belastungen sind verteilte und diskrete Längskräfte und Torsionsmomente sowie äußere Dämpfung. Die Wirkung von Flüssigkeit, die den Rotor in Achsrichtung durchströmt, wird berücksichtigt. Das Differentialgleichungssystem besitzt nicht-konstante Koeffizienten und ist im Vergleich zu den sonst verwendeten Differentialgleichungen der Rotordynamik erweitert, um die oben aufgeführten Einflüsse zu berücksichtigen. Nach der Linearisierung der Differentialgleichungen und der Abkopplung der Torsion werden Lösungen durch komplexe Potenzreihen in der Achskoordinatex dargestellt. Diese Lösungen sind so genau, wie die zu ihrer Berechnung verwendete Anlage es zuläßt. Eigenwerte und Eigenformen werden in herkömmlicher Weise ermittelt und durch Vergleich mit bekannten Ergebnissen überprüft. Für eine Turbinenwelle und ein Tiefbohrgestänge werden kritische Lastkombinationen aus Drehzahl und Belastungen exemplarisch untersucht.

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Rotor dynamics with regard to longitudinal forces and torsion in a gravity field parallel to the axis

Summary The coupled differential equations of a shaft, homogeneous in axial direction, are derived under the assumption of the Bernoulli beam hypothesis and internal damping (Kelvin material). Second order theory is applied. The loads are distributed and discrete longitudinal forces and torsional moments. External damping and the effect of flow in the rotor along the axis are taken into account. The derived system of differential equations has non-constant coefficients. Compared with the commonly used ones it is extended with regard to the named actions. After linearisation and separation of torsion solutions are described with complex series of the axis coordinatex. The accuracy of the solutions depends on computer and software. Eigenvalues and characteristic functions are calculated and compared with known results. For a turbine shaft and a drill pipe critical combinations of loads and rotational speeds are exemplarily investigated.

     

On self-excited whirl of rotors

Summary The paper presents a study of the non-synchronous, self-excited whirl of continuous rotors caused by internal damping forces and by hydrodynamic bearing-film forces. Taking into account gyroscopic effects, the effect of shear on bending, and external damping, the equations of motion are derived by the variational principle. By means of two mode expansions simple expressions are obtained for the limit of stability and the corresponding whirling frequency that are valid for small values of the velocity dependent forces.Numerical methods are used to obtain better approximations to the limits of stability and the whirling frequencies. The results show that for large values of internal and external damping forces and gyroscopic moments, the widely used two-mode approximation may be greatly in error. It is found that if the limit of stability is raised by adding external damping to the rotor system, then even a small amount of internal damping may considerably reduce the limit of stability. In accordance with experimental work done by other authors, it is found that for certain damping conditions a second stability region exists.

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Übersicht Der Artikel enthält eine Untersuchung von nicht synchronen selbsterregten Kreiselbewegungen eines kontinuierlichen Rotors, die durch innere Dämpfungskräfte und hydrodynamische Schmierfilmkräfte verursacht werden. Unter Berücksichtigung des Kreiseleffektes, des Einflusses der Schubspannung auf die Biegung und der äußeren Dämpfung werden die Bewegungsgleichungen nach dem Variationsprinzip abgeleitet. Mit Hilfe einer Annäherung mit zwei Koordinatenfunktionen erhält man einfache Ausdrücke für die Stabilitätsgrenze und für die entsprechende Kreiselfrequenz, die für kleine Werte der von der Geschwindigkeit abhängigen Kräfte gelten.Um bessere Näherungen für die Stabilitätsgrenzen und die Kreiselfrequenzen zu erhalten, werden numerische Methoden angewandt. Die Ergebnisse zeigen, daß die oft benutzte Annäherung mit zwei Koordinatenfunktionen für große Werte der inneren und äußeren Dämpfung sowie bei Gegenwart von Kreiselmomenten zu großen Fehlern führen kann. Es wird gezeigt, daß schon ein kleiner Beitrag an innerer Dämpfung die Stabilitätsgrenze merkbar reduzieren kann, wenn man die Stabilitätsgrenze durch Hinzufügung äußerer Dämpfung zum Rotorsystem hinauszuschieben sucht. In Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen anderer Autoren wird gezeigt, daß ein zweiter Stabilitätsbereich für gewisse Dämpfungsbedingungen existiert.

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The author wish to thank Professor Frithiof I. Niordson, lic. techn. Pauli Pedersen and lic. techn. Viggo Tvergaard for their stimulating criticism of this work.     

Der Torsionsschwingungsdämpfer in einer Flüssigkeit zweiter Ordnung

Übersicht Es wird gezeigt, daß die optimale Dämpfung eines Dämpfers, dessen Dämpferflüssigkeit eine Flüssigkeit zweiter Ordnung ist, erheblich abweichen kann von der Dämpfung, die man unter Zugrundelegung einer Newtonschen Flüssigkeit berechnet. Es wird weiter gezeigt, daß durch geeignete Wahl konstruktiver Parameter eine frequenzunabhängige Abstimmung erzielt werden kann, die für alle Frequenzen die bestmögliche Dämpfung ergibt.

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Summary It is shown, that the optimal damping of a torsional damper using a second order fluid as damper liquid may differ substantially from the optimal damping computed on the basis of a Newtonian fluid. In addition one may achieve a frequency-independent tuning by proper selection of design parameters which gives the maximum damping for all frequencies.

     

The steady state in-plane response of a curved Timoshenko beam with internal damping

Summary The steady state in-plane response of a curved Timoshenko beam with internal damping to a sinusoidally varying point force or moment is determined by use of the transfer matrix approach. The method is applied to free-clamped non-uniform beams with circular, elliptical, catenary or parabolical neutral axis excited at the free end; the driving point impedance and force or moment transmissibility are calculated numerically and the influence of the varying cross-section and of the function expressing the neutral axis are studied.

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Übersicht Es werden ebene, stationäre Schwingungen eines gekrümmten Timoshenko-Balkens mit innerer Dämpfung, durch harmonische Punkt-Kräfte oder Punkt-Momente erregt, mit Hilfe von Übertragungsmatrizen berechnet. Diese Methode wird auf einseitig fest eingespannte, ungleichförmige Balken angewendet, deren neutrale Achse verschiedene Formen (Kreisbogen, Ellipsenbogen, Kettenlinie, Parabel) besitzt. Für den am freien Ende erregten Balken werden Erreger-Impedanz und Durchlässigkeit für Kraft und Moment ausgerechnet; die Einflüsse des veränderlichen Querschnittes und der Form der neutralen Linie werden diskutiert.

     

Linear response of an elastic plate to actual random load

Summary Generalized harmonic analysis was applied to solve the linear response problem of vibrating elastic plates with damping under stochastic pressure. The power spectral density of the external pressure was taken to be of a typical peaked shape resembling actual physical conditions. The spatial correlation of pressure over the plate area was taken to be unity. Results give the cross-correlation functions for the acceleration and stresses in terms of the mean-square value of the load and the characteristic constants used to describe the power spectral density curve. For the centres of rectangular plates with simply-supported and built-in edges dimensionless response autocorrelation functions are plotted.

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Übersicht Mit Hilfe der verallgemeinerten Fourier-Analyse werden lineare Plattenschwingungen mit Dämpfung bei stochastischer Erregung behandelt. Die Spektraldichte der Druckerregung wird dabei in einer besonderen Form (mit ausgeprägtem Maximum) angenommen, wie sie oft bei tatsächlichen technischen Problemen vorhanden ist. Die Raumkorrelation des Drucks über die Plattenoberfläche sei Eins. Lösungen des Problems werden numerisch ausgearbeitet bis zu den Kreuzkorrelationsfunktionen für die Beschleunigung und die Biegespannungen, wobei der quadratische Mittelwert des Erregerdrucks und einige zur Beschreibung der speziellen Spektraldichte nötigen Kennwerte verwendet werden. Für die Mittelpunkte von Rechteckplatten mit allseitig-drehbaren und allseitig-eingespannten Rändern sind die Autokorrelationsfunktionen dimensionslos in Diagrammen dargestellt.

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On leave from Staatliche Ingenieurschule Karlsruhe, Germany.

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Paper presented at the 21st Annual General Meeting of the Aeronautical Society of India, Madras, April 1969.     

Dynamic investigations of single gear transmission taking into account microcracks

Summary The paper concerns dynamic investigations of the model of gear transmission consisting of four rigid bodies and two torsion shafts. The shafts are assumed to contain microcracks which are taken into account by means of the equivalent shear modulus in accordance with the results of the papers [2, 3]. The influence of microcracks on the behaviour of the gear transmission in dynamic conditions is investigated for the first two frequencies of free vibrations and suitable amplitude-frequency curves. The investigations are carried out by means of two methods: the wave method which takes into account all the reflections of waves and the multibody system approach.

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Dynamische Untersuchungen eines einstufigen Getriebes mit Mikrorissen

Übersicht Vorgestellt werden dynamische Untersuchungen an einem Getriebemodell aus vier Starrkörpern und zwei Torsionswellen. Es wird angenommen, daß die Wellen Mikrorisse enthalten, die über einen äquivalenten Schubmodul nach [2, 3] berücksichtigt werden. Der Einfluß der Mikrorisse auf das dynamische Verhalten des Getriebes wird anhand der beiden ersten Eigenfrequenzen und der Amplituden-Erregerfrequenz-Beziehung untersucht. Benutzt werden zwei Methoden: die Methode der Wellenausbreitung, die alle Reflektionen berücksichtigt, und die Behandlung als Mehrkörpersystem.

     

Eine Methode zur direkten Berechnung von Gleichgewichtslagen im Nachbeulbereich

Übersicht Es wird eine Methode vorgeschlagen, mit der durch Auffassung des Beulens als quasi viskosen Prozeß Gleichgewichtszustände im Nachbeulbereich ohne inkrementelles Vorgehen und unbeeinträchtigt von Durchschlags- oder Verzweigungspunkten berechnet werden können. Für die Anwendung auf Platten und Zylinderschalen werden Beispiele gegebenZusammenfassung Das Verfahren der quasi viskosen Dämpfung ermöglicht die direkte Berechnung von Gleichgewichtszuständen im Vor- und Nachbeulbereich von elastischen Konstruktionen.Der Berechnungsprozeß wird von örtlichen Durchschlags- oder Verzweigungspunkten nicht beeinträchtigt. Bei entsprechender Wahl der Dämpfung kann auf das schrittweise Aufbringen der Last, wie in inkrementellen Verfahren üblich, verzichtet werden.

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A method for direct calculation of equilibrium states in the post buckling range

Summary The common incremental procedure is replaced by a quasi viscous method, which allows stable equilibrium states in the post buckling range to be found unaffected by limit points or bifurcations of the solution path. Examples are given for the buckling of plates and shells.

     

Dynamic investigations of loads on gear teeth in single gear transmission

Summary In the paper a discrete-continuous model for the analysis of dynamic loads on gear teeth of a single gear transmission is proposed. In this model a constant equivalent mesh stiffness and ponderable shafts deformed by torsion are taken into account. In the discussion a wave method is applied which utilizes the wave solution of the equations of motion. Numerical calculations are concentrated on the determination of amplitudes for dynamic loads on gear teeth with respect to frequencies of external excitation in the first and second resonant regions.

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Untersuchung der dynanischen Zahnbelastung in einstufigen Getrieben

Übersicht Zur Untersuchung der dynamischen Zahnbeanspruchung in einstufigen Getrieben wird ein Modell aus diskreten und kontinuierlichen Massen mit einer konstanten, äquivalenten Zahneingriffssteifigkeit und massebehafteten, tordierbaren Wellen vorgeschlagen. Die Bewegungsgleichungen werden durch einen Wellenfunktionsansatz gelöst. Numerische Berechnungen werden vorwiegend für die Amplituden der Zahnbelastung bei einer äußeren Erregung im Bereich der ersten und zweiten Resonanz durchgeführt.

     

Die Stabilität rotierender Wellen infolge innerer und äußerer Dämpfung

Zusammenfassung Es wurde das Stabilitätsverhalten einer rotierenden Welle bei gleichzeitigem Vorhandensein von äußerer und innerer Dämpfung untersucht. Die äußere Dämpfungskraft wurde proportional der Absolutgeschwindigkeit vorausgesetzt, während für die innere Reibungskraft zwei verschiedene Gesetze unterschieden wurden, einerseits ein viskoses nach Voigt-Kelvin mit einer Reibungskraft proportional der Verformungsgeschwindigkeit und andererseits ein von Kimball-Lovell experimentell gefundenes Gesetz für Materialdämpfung. Obschon die Stabilitätsbedingungen für die Welle mit einem Freiheitsgrad bekannt sind, wurde in einem ersten Teil eine solche sog. Lavalwelle untersucht, um in einem zweiten Teil, der den Schwerpunkt der Untersuchung darstellt, den Vergleich mit der sog. glatten Welle, also einer Welle mit mehreren Freiheitsgraden im Sinne der Kontinuumsmechanik, zu ermöglichen.Die untersuchten Arten der inneren Reibung liefern bekanntlich für die Lavalwelle zwei grundsätzlich verschiedene Stabilitätsbedingungen: Während für die innere Dämpfung nach Kimball-Lovell ein Minimalverhältnis äußerer zu innerer Reibung genügt, um im ganzen Drehzahlbereich ein stabiles Verhalten zu gewährleisten, ist bei Voraussetzung einer viskosen inneren Dämpfung nach Voigt-Kelvin das nötige Minimalverhältnis im überkritischen Bereich von der Drehzahl linear abhängig.Es wurde gezeigt, daß bei der glatten Welle dieser Unterschied der beiden inneren Dämpfungsarten bezüglich des Stabilitätsverhaltens mindestens bei höheren Drehzahlen grundsätzlich verschwindet. Bei schwacher Dämpfung steigt das notwendige Minimalverhältnis der äußeren zur inneren Dämpfung für den stabilen Lauf mit zunehmenden Drehzahlen progressiv an. Bei größeren Dämpfungswerten hingegen ist die Stabilität von drei Parametern, nämlich der äußeren Dämpfung, die inneren Dämpfung und der Drehzahl, abhängig. Man kann die Parameter als Koordinaten eines räumlichen Koordinatenkreuzes auffassen und das Stabilitätsverhalten durch Aufspannen eines Stabilitätskörpers darstellen; der bei schwacher Dämpfung zu einer Stabilitätskarte degeneriert. Stabilitätskörper und -Karten wurden mitgeteilt und diskutiert. Danach läßt sich das Stabilitätsverhalten der Lavalwelle mindestens im Bereich höherer Drehzahlen nicht auf die glatte Welle übertragen.     

Kreiselverhalten eines elastisch gelagerten Rotors

Übersicht Schnelle'Rotoren besitzen eine große technische Bedeutung. Ihr Bewegungsverhalten wird durch die Kreiselkräfte und die Elastizität und Dämpfung der Lagerung beeinflußt. Ausgehend von den Bewegungs-gleichungen wird das Eigenverhalten und das Störverhalten eines Rotors untersucht. Das Durchfahren der kritischen Drehzahlen ergibt instationäre Bewegungen, während axiale Erregerkräfte auf parametererregte Schwingungen führen. Die optimalen Parameter eines Rotors werden bestimmt. Experimentelle Untersuchungen bestätigen die Gültigkeit der theoretischen Ergebnisse.

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Summary High-speed rotors are of increasing technical interest. Their motion is influenced by gyroscopic forces and by the elasticity and damping of their suspension. Starting with the equations of motion the rotor's natural behaviour and disturbance behaviour is investigated. Running through the critical speeds instationary motions appear. Axial forces are leading to parametric excited vibrations. Optimal parameters of a rotor are determined. Experiments verify the validity of the theoretical results.

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Die Arbeit entstand als Gemeinschaftsarbeit am Institut B für Mechanik der TU München. Die Hauptbearbeiter der einzelnen Teilaufgaben sind in Fußnoten genannt. Die Untersuchungen wurden mit Mitteln des Ministeriums für Bildung und Wissenschaft gefördert.     

Stiffness and damping coefficients of rubber

Summary An analytical-experimental study has been carried out for the estimation of the stiffness and damping coefficients of rubber. A given specimen of a rubber pad (Neoprene GN) in the shape of a solid circular cylinder is subjected to a vibrating force created by an electrodynamic shaker together with a vibration exciter.In the analytical investigation, a mathematical model is developed from which the stiffness and damping coefficients for rubber as well as the damped energy can be evaluated. From the stimulated mathematical model together with the experimental data, the stiffness and damping coefficients could be estimated. Subsequently, the solution for the heat conduction equation describing the temperature field in the rubber speciemen can be formulated. The analytical behaviour of the temperature is found to agree fairly well with the measured temperatures at various locations inside the rubber specimen. This renders the simulating model to be significant with potential for further extension.

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Steiügkeits- und Dämpfungskoeffizienten von Gummi

Übersicht In einer analytisch-experimentellen Arbeit wird das Verhalten einer zylindrischen Probe aus Gummi unter pulsierender Belastung untersucht. Mit Hilfe eines mathematischen Modells und experimenteller Daten können die Steifigkeits- und Dämpfungsparameter von Gummi bestimmt werden. Anschließend wird die Lösung der Wärmeleitungsgleichung für das Temperaturfeld in der Probe angegeben. Die analytische Lösung stimmt mit den Meßwerten gut überein.

     

Eine Anmerkung zur Stabilität linear-viskoelastischer rotierender Wellen

Übersicht Die Stabilität rotierender Wellen wird mit einer Störungsrechnung untersucht und die Ergebnisse für ein Voigt-Kelvin-Material und einen linear-viskoelastischen Werkstoff miteinander verglichen.Zusammenfassung Die Stabilitätsaussagen für Rotoren mit linearer innerer und äußerer Dämpfung hängen vom zugrunde gelegten Werkstoffgesetz ab. In dieser Arbeit werden für Wellen aus linear-viskoelastischem Werkstoff nach Einführung von inneren Variablen mit einer Störungsrechnung Stabilitätskriterien abgeleitet. Sie verhalten sich stabiler als Wellen aus viskos gedämpftem Material. Zwei Beispiele demonstrieren die durch das Werkstoffgesetz bedingten Unterschiede.

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A remark on the stability of linear-viscoelastic rotating shafts

Summary The stability of rotating shafts is investigated by means of a perturbation technique and the results assuming a Voigt-Kelvin-material and a linear-viscoelastic material compared.

     

Dämpfung von Spannungs- und Geschwindigkeitssprüngen in vorgespannten thermoelastischen Medien

Übersicht In Verallgemeinerung einer Arbeit von Achenbach [1] wird die Charakteristikenmethode benutzt, um die Dämpfung von Unstetigkeiten an Wellenfronten in einem vorgespannten thermoelastischen Medium zu untersuchen. Das Ergebnis wird angewandt auf den Mooney-Rivlin-Besseling-Körper. Für die Vorverformungen der reinen Volumsänderung, der reinen Gestaltänderung und der Streckung mit konstantem Querschnitt sind die Ergebnisse graphisch dargestellt.

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Summary Generalizing a paper of Achenbach [1] the method of the characteristics is used to investigate the damping of discontinuities at wavefronts in a prestressed thermoelastic medium. The result is applied to the Mooney-Rivlin-Besseling body. For the initial deformations of pure volume strain, of pure change of shape, and of stretching with constant cross section the results are represented graphically.

     

Modalsynthese — Viskoelastische Kopplung von nichtproportional gedämpften Substrukturen

Übersicht Es wird eine Methode für die viskoelastische Kopplung von Substrukturen mit nichtproportionaler Dämpfung vorgestellt, bei der die Modalparameter der Substrukturen im Zustandsraum berechnet und das Kopplungsverfahren direkt im Zustandsraum durchgeführt wird. Das Verfahren beinhaltet im wesentlichen zwei Transformationen. Durch die erste werden mit einer reellen Modalmatrix die Bewegungsgleichungen in Modalkoordinaten in reeller Form transformiert. Durch die zweite Transformation mit einer komplexen Modalmatrix werden die Gleichungen des gekoppelten Systems vollständig entkoppelt. Die Modalparameter des Gesamtsystems sind dann komplex, können aber so direkt für die Berechnung der Übertragungsfunktion und von erzwungenen Schwingungen verwendet werden. Anhand eines Beispieles wird die relativ hohe Genauigkeit der vorgestellten Methode gezeigt.

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Modal synthesis — Viscoelastic coupling procedure for non-proportionally damped substructures

Summary A method for the viscoelastic coupling of non-proportionally damped substructures is introduced in which the modal parameters of the substructures are determined in the state space and the coupling process is directly made in the state space. The approach consists of two transformations. The first is made with a real modal matrix and transform the equations into modal coordinates in a real form. The second is with a complex modal matrix and discouples the equations of coupled systems. Then the modal parameters are complex, but they can be directly used for the calculation of the frequency response function and forced response function. An example demonstrates that this method give a relativ good approximation.

     

Dynamic analysis of a multi-mass discrete-continuous layered system

Summary In the paper a one-dimensional discrete-continuous multi-mass layered system subject to an axial indirect kinematic excitation using the wave method is considered. Damping is taken into account by means of equivalent external and internal damping. The numerical analysis for specific cases of the discussed system mainly focusses on the determination of resonant displacements for the first and second frequency of free vibration in selected cross-sections of the system in dependence on the relative location of layers with various mechanical properties.

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Dynamische analyse eines geschichteten Körpers aus einzelmassen und massebehafteten Kontinua

Übersieht In diesem Beitrag wird ein eindimensionales Vielschichten-System aus Einzelmassen und massebehafteten Kontinua unter axialer, indirekter kinematischer Erregung mit der Wellengleichungsmethode untersucht. Dämpfung wird durch äquivalente äußere und innere Dämpfung berücksichtigt. Die numerische Behandlung spezieller Systeme konzentriert sieh auf die Bestimmung der Verschiebungen in ausgesuchten Querschnitten bei Resonanz mit der ersten und zweiten Eigenfrequenz, und zwar in Abhängigkeit von der relativen Anordnung von Schichten mit verschiedenen Materialeigenschaften.

     

Induced drag of a straight wing in a wind tunnel of circular cross section

Summary The Induced drag of a wing with optimum lift distributions is studied, which lies on a diameter of a closed wind tunnel of circular cross section. Exact expressions of the spanwise lift distribution and the induced drag are obtained from the Trefftz plane flow field. When the ratio b/d of wing span to tunnel diameter increases, the lift distribution changes gradually from elliptic to uniform ones, and the induced drag also gradually decreases until it becomes zero. An alternative solution based on the method of matched asymptotic expansions confirms the exact theory to be valid. Throughout this paper the flow is assumed inviscid and incompressible, whereas the viscous effect are briefly descirbed.

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Übersicht Es wird der induzierte Widerstand eines Tragflügels mit optimaler Auftriebsverteilung untersucht. Der Tragflügel Hegt diametral in einem geschlossenen Windkanal mit Kreisquerschnitt. Aus einer Betrachtung des Strömungsfeldes in der Trefftz-Ebene werden exakte Ausdrücke für die Auftriebs- und Widerstandsverteilung abgeleitet. Wenn das Verhältnis b/d von Flügelspannweite zum Kanaldurchmesser vergrößert wird, dann ändert sich die Auftriebsverteilung allmählich von einer elliptischen zu einer gleichförmigen, und der induzierte Widerstand nimmt bis auf Null ab. Eine alternativ gewonnene Lösung mit Hilfe von gemischten asymptotischen Reihenentwicklungen bestätigt die Richtigkeit der Theorie. Bei den Untersuchungen wird die Strömung als reibungsfrei und inkompressibel vorausgesetzt, jedoch werden Zähigkeitseffekte kurz beschrieben.

     

Allgemeine lineare Theorie für Rotorsysteme ohne oder mit kleinen Unsymmetrien

Übersicht Für eine große Klasse von Rotorsystemen wird das dynamische Verhalten aufgrund einer allgemeinen linearen Theorie untersucht. Für Rotorsysteme mit symmetrischen Bauelementen wird das Eigenverhalten in Abhängigkeit der Rotordrehzahl entsprechend den Nutations-, Präzessions- und Pendelbewegungen diskutiert. Der Einfluß von äußerer und innerer Dämpfung auf das Stabilitätsverhalten wird abgeschätzt. Die erzwungenen Schwingungen infolge statischer oder dynamischer Unwuchten werden berechnet. Für Rotorsysteme mit kleinen Unsymmetrien in den Trägheitsmomenten, den Dämpfungen, den Lager- und Wellensteifigkeiten werden die kritischen Drehzahlen mit Hilfe der Theorie der Parameter- und Kombinationsresonanzen bei periodischen Systemen bestimmt. Insgesamt wird durch die vorgenommene allgemeine systemtheoretische Untersuchung das dynamische Verhalten von Rotorsystemen unabhängig vom speziellen Anwendungsfall abgeschätzt.

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Summary For the lateral vibrations of a large class of rotor-bearing-systems a general theory based on a linear approach is developed. The behaviour of the natural modes of a system with symmetric elements is discussed in terms of forward and backward precession depending on the rotor speed. The influence of external and internal damping is investigated. The steady-state response due to static and dynamic rotor unbalances is dealt with. In the case of rotor systems with asymmetric elements the technique of parameter and combination resonances of periodic systems is applied to characterize unstable behaviour at some critical speeds. Altogether, the general linear approach allows to discuss the dynamic behaviour of rotor-bearing-systems in a very general manner independently of a special type of rotor system.

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Prof. Dr. F. Weidenhammer zum 60. Geburtstag gewidmet     

Zur Stabilität einfach besetzter Wellen mit nichtlinearer innerer Dämpfung

Übersicht Die destabilisierende Wirkung linearer innerer Dämpfung bei einfach besetzten Wellen ist allgemein bekannt. Innere Dämpfungskräfte lassen sich aber im allgemeinen nicht mit linearen Ansätzen beschreiben, sondern nur mit einer nichtlinearen Darstellung mehr oder weniger gut erfassen. In dieser Arbeit werden nichtlineare innere Dämpfungskräfte und nichtlineare Rückstellkräfte angenommen, die Stabilität der Welle bei vertikaler und horizontaler Achse untersucht und auch nichttriviale stationäre Lösungen betrachtet. Die dafür erhaltenen Ergebnisse bestätigen teilweise das von Tondl gefundene Verhalten.

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Summary The destabilizing effect of linear inner damping on rotating shafts with a single disc is well-known. Inner damping forces can however in general not be well described by linear functions, but may only be reproduced with some accuracy with nonlinear terms. In this paper, nonlinear inner damping as well as nonlinear restoring forces are considered, the stability of the vertical and of the horizontal shaft are discussed and non-trivial stationary solutions are also examined. The obtained results confirm to a certain extent the behavior of a rotating shaft found by Tondl.

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Herrn Professor Dr.-Ing. K. Klotter zum 75. Geburtstag gewidmet.     

Die Stabilität oszillierend rotierender Wellen bei innerer und äußerer Dämpfung

Übersicht Es werden oszillierende, also mit periodischer Winkelgeschwindigkeit rotierende Wellen betrachtet und die Differentialgleichungen für die freien Biegeschwingungen einer solchen einfach besetzten Welle bei Vorhandensein äußerer und innerer Dämpfung unter vereinfachenden Annahmen aufgestellt. Aus den charakteristischen Exponenten dieser zwei Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten erhält man die Stabilitätsbediugung in allgemeiner Form.

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Summary A shaft oscillating with a periodically changing angular velocity is considered. The differential equations for the free bending vibrations of such a massless, flexible shaft carrying a single disc are established for the case of simultaneous exterior and structural damping. From the characteristic exponents of these two differential equations with periodic coefficients one obtains the stability condition in a general form.

     

Vibrations of asymmetric rotors supported by asymmetric bearings

Summary In this paper the vibrations of an asymmetric flexible rotor supported by asymmetric bearings is theoretically analyzed by using Galerkin's method and the perturbation method, and numerically calculated. The effects of the asymmetries of the rotor and the bearings and the changes of the main instability regions and the ultraharmonic resonance due to the external and internal dampings are investigated. The experimental tests are performed on a smaller laboratory model in order to verify the validity of the theoretical results.The following results are obtained; the instability regions divide into two ones by the lack of the symmetries in the rotor and the bearings. The ultraharmonic resonances appear at fractional values of the main critical speed. The character of the internal damping is changed by the magnitude of the asymmetries of the rotor and the bearings.

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Übersicht Es werden die Schwingungen eines unsymmetrischen Rotors in unsymmetrischen Lagern analysiert. Dabei wird sowohl das Galerkin-Verfahren als auch eine Störungs-Methode angewendet. Untersucht werden die durch die Unsymmetrien von Rotor und Lagerung entstehenden Effekte sowie die durch äußere und innere Dämpfung entstehenden Änderungen der wichtigsten Instabilitätsbereiche und der ultraharmonischen Resonanzen. Zur Stützung der theoretischen Ergebnisse wurden Versuche an einem Laboratoriumsmodell durchgeführt.Die wichtigsten Ergebnisse sind folgende: Die Instabilitätsbereiche werden durch die Unsymmetrie von Rotor und Lagerung aufgespalten; ultraharmonische Resonanzen treten bei gebroochenen Werten der Hauptkritischen auf; der Charakter der inneren Dämpfung wird durch die Größe der Unsymmetrien von Rotor und Lagerung verändert.