三角形等角共轭点的一个有趣性质

本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质,即命题　设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则有AP.AQAB.AC BP.BQBA.BC CP.CQCA.CB=1.证明　如图1,设D是射线AQ上的点,且使得满足∠ACD=∠APB.因为∠APB>∠ACB,则点D必在△ABC的外部.又因∠PAB=∠CAD,∴　△ABP∽△ADC.图1故　　　ABAD=APAC=BPCD.1又　∠QAB=∠PAC,ABAD=APAC,可知　△ABD∽△APC,于是　　　　ABAP=ADAC=BDCP.2又因为∠CDA=∠PBA=∠QBC,所以可知有B、Q、C、D四点共圆.由托勒密(Ptolemy)定理…     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

文 [1 ]给出如下有趣恒等式 :设 P、Q是△ ABC的等角共轭点(∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA) ,则有AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC=1 ( 1 )今给出 ( 1 )式的如下不等式推广 :命题　设 P、Q是△ ABC内任意两点 ,则AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC≥ 1 ( 2 )等号当且仅当∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA时成立 .证明　如图 1 ,顺次以 BC,CA,AB为对称轴 ,作△ PBC,△ PCA,△ PAB的对称三角形△ A′BC,△ B′CA,△ C′AB.连结A…     

正方形折叠中的一个发现

<正>一、动手操作如图,将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C、D重合),AB的对应边为FE,且FE交边AD于点G,压平后得到折痕MN.二、探究发现:∠GBE的值不变,为45°证明由折叠知:BN=NE,∠ABC=∠FEN=∠A=∠C=90°.连接BE.设∠NBE=∠NEB=α.则∠ENC=2α,∠BEC=90°-α,∠FEB=90°-α.∴∠BEC=∠FEB=90°-α.过点B作BQ⊥FE交FE于点Q.在△BEC与△BEQ中,BE=BE,∠BEC=∠FEB,     

一道IMO备选题的推广

IMO - 1979备选题 (由荷兰提供 ) :在等边△ ABC内取点 K、L、M,使得 :∠ KAB =∠ L BA =15°,∠ MBC =∠ KCB =2 0°,∠ L CA =∠ MAC =2 5°,求△ KL M的三内角 .图 1笔者最近研究发现可将此题作如下推广 :定理　如图 1,在等边△ ABC内取点 K,L ,M,使得∠ KAB =∠ LBA=α,∠ MBC=∠ KCB =β,∠ L CA =∠ MAC=γ,且α +β +γ =60°,则∠ L MK =3α,∠ ML K =3β,∠ MKL =3γ.证明　如图 1,延长 AK、AM分别交 BC于点 P、Q,又连结 PM、QK,则∠ PBM =∠ PAM =β　 　点 P、M、A、B共圆　 ∠ MPA =∠ M…     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

一类“半角”问题基本结论及其应用

<正>1.基本图形与结论如图1,AB=AC,∠BAC+∠D=180°,∠EAF=12∠BAC,点E在BD上,点F在DC上,则有BE+CF=EF.证明延长DB至G,使BG=CF,连接AG,∵∠BAC+∠D=180°,∴∠GBA=∠ACF.∵AB=AC,∴△GBA≌△FCA,∴AG=AF,∠GAB=∠FAC.     

无意中引发的一次研究性学习

在一堂立体几何复习课中,我选了如下一道题: 如图1,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.求证:A、B、C、D四点共面.     

构造全等三角形解题举例

<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE     

运用圆锥曲线的光学性质解题续谈

笔者在研读并欣赏文[1]之余,总觉得意犹未尽,经探究证明,得如下几个结论,遂成下文,仅供大家参考.命题1已知抛物线的焦点为F,直线PM′与PN′分别切该抛物线于点M,N,则1)如图1,若点P,F在直线MN同侧(或点F在直线MN上)时,∠MPN=12∠MFN;2)如图2,若点P,F在直线MN异侧时,∠MPN=180°-21∠MFN.图1命题1图图2命题1图证明1)分别过点M,N,P作抛物线对称轨的平行线MR,NS,PX,则∠M′MR=∠MPX,∠N′NS=∠NPX.由抛物线的光学性质知∠PMF=∠M′MR,∠PNF=∠N′NS,∴∠MPX ∠NPX=∠PMF ∠PNF,即∠MPN=∠PMF ∠PNF(1)又∵∠M…     

一道联赛试题的又几种解法

<正>平面几何题中求线段长度是比较常见的一种题型,求解时对于学生来说最常用的方法就是全等、相似、勾股定理、等角对等边、两点间距离等,下面看一道初中数学联赛题的又四种解法:题目(2016年全国初中数学联赛第一试(5)试题)如图1,在四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC=90°,AB=     

数学问题解答

20 0 0年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 81　△ＡＢＣ中 ,∠ＡＢＣ =∠ＡＣＢ=50°,Ｐ、Ｑ为形内两点 ,∠ＰＣＡ =∠ＱＢＣ =1 0°,∠ＰＡＣ =∠ＱＣＢ =2 0°.求证 :ＢＰ =ＢＱ .(黑龙江省绥化地区教育学院田永海　 1 52 0 54)证明　如图 ,过Ａ作ＢＣ的垂线 ,在该垂线上取一点Ｄ ,使∠ＤＣＡ =2 0°,连ＤＰ、ＤＢ、ＤＣ .由∠ＡＢＣ =∠ＡＣＢ =50°,可知ＡＣ =ＡＢ ,∠ＢＡＣ =80°,有ＡＤ为ＢＣ的中垂线 .易知ＰＡ平分∠ＤＡＣ ,ＰＣ平分∠ＤＣＡ ,可知Ｐ为△ＡＤＣ的内心 .有∠ＰＤＡ=∠ＰＤＣ =60°.由∠ＤＢＣ =∠ＤＣ…     

一个数学问题的简证

<正>题目^[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA²/b2/b²+PB2+PB²/c2/c²+PC2+PC²/a2/a²=1.证明如图所示.设射线AP交△PBC的外接圆☉O_1于点A',分别过点P、A'作直线AB的垂线,垂足为E,F,连接A'C,A'B.则∠PA'C=∠PBC=∠PCA=∠PAB.     

勾股定理及其应用(下)

<正>例6 P为等边△ABC内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数,简述你的理由.证明如图13,将△ABP绕点B顺时针旋转60°,到△BCQ的位置.则△ABP≌△BCQ,∠APB=∠BQC,QC=3.连接PQ.则△PBQ是正三角形,∠BQP=60°,PQ=4.在△PQC中,QC=3,PQ=4,PC=5,所以∠PQC=90°.因此∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°.     

2002年全国高中数学联赛加试试题另解

1.如图 1 ,在△ ABC中 ,∠ A =60°,AB>AC,点 O是外心 ,两条高 BE、CF交于 H点 ,点 M、N分别在线段 BH、H F上 ,且满足BM =CN,求 MH NHOH 的值 .解法 1　连结 OB、OC.∵　∠ BH C =∠ FH E =1 2 0°,又　∠ BOC =2∠ A =1 2 0°,∴　 B、O、H、C四点共圆 .设∠ OBC =α =3 0°,∠ EBC =β,∠ OBC =∠ OCB =3 0°,∠ EBC =∠ H OC =β.∴　 MH NHOH =BH - BM CN - H COH =BHOH- H COH.由正弦定理 ,在△ OH B中 ,BHOH=sin(1 2 0° β)sin(α -β) .在△ OH C中 ,H COH=sinβsin(α -β) .∴　 M…     

用勾股定理列方程组求多边形的面积

<正>一、构造方程组求三角形的面积例1如图1,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=槡3,PB=5,PC=2,求△ABC的面积.解过点P作PD⊥BC于点D,作PE⊥AC于点E,则∠AEP=∠PDC=∠PDB=90°.因为∠BAC=60°,AB=2AC,     

关于多边形Brocard点的一个性质-对文[1]的注记

设P为凸多边形A1A2A3…An的一个内点,且满足∠PA1A2=∠PA2A3=…=∠PAnA1=θ,则点P称为多边形A1A2A3…An的B rocard点,角θ称为这多边形的B rocard角.关于多边形B rocard点的性质,文[1]通过迂回曲折的论证,得到了如下命题:定理1设P是双圆四边形ABCD的勃罗卡点,∠PAB=∠PBC=∠PCD     

一道初中几何竞赛题的解答

<正>如图1,在凸四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=120°,BC=CD=10,则AC=_.本题为2017年北京市中学生数学竞赛初二年级填空第2题,可以利用全等得出问题的解答.解法1 (利用全等)如图2,以AC为一边构造∠ACA′=120°,在射线CA′上截取CA′=CA,连接A′B,A′A,BD.∵∠BAD=∠BCD=120°,∴∠ACD=∠A′CB.又∵CB=CD,∴△A′CB≌△ACD(SAS).∴A′B=DA,∠A′BC=∠ADC,∵∠BAD=∠BCD=120°,     

关于三角形等力点的几个问题

文献[1]中定义,设S是△ABC平面上一点,满足BC.AS=CA.BS=AB.CS的点,叫做△ABC的等力点.一般三角形都有两个等力点(从力学角度看,称S点为等力点很贴切).文献[2]中指出,三角形的正等角中心与等力点互为等角共轭点.正等角中心F与等力点S的重心坐标分别为{asin-1(A π3),bsin-1(B π3),csin-1(C π3)}、{asin(A π3),bsin(B π3),csin(C π3)}.注:若在△ABC的外边作正三角形△BCA′、△CAB′、△ABC′,则AA′、BB′、CC′三线共点,该点称为正等角中心,当△ABC的最大角不大于120°时,正等角中心就是费马点;当△ABC的最大角大…     

数学问题解答

20 0 4年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 1　设点O、I、P分别为△ABC的外心、内心和BC边外的旁切圆圆心 ,R和ra分别为外接圆半径和BC边上的旁切圆半径 .AD是高 ,且R=ra,求证点I在OD上 .(辽宁省瓦房店市第二十五中　田　晶　 1 1 63 0 9)证明 　如图 ,设AP交OD于I′,交BC于H ,交⊙O于M .⊙P切BC于E .连结OM、MC、PE .作直径AK ,连结KC .则∠ABC =∠AKC ,∠ADB =∠ACK=90° .于是∠BAD =∠CAK .由点P为旁心知∠BAP=∠CAP .所以∠DAM =∠KAM .又∠KAM =∠OMA ,故OM ∥AD .　　所以 AI′I′M =…     

是对还是错

几何第二册第146页B组第二题:一组对角相等一组对边相等的四边形是平行四边形吗?李俊杰同学认为是对的,他的证明如下: 已知如图1,四边形ABCD中,∠B=∠D,AB=CD, 求证四边形ABCD是平行四边形. 证明分别过A、C作AE⊥BC于E,CF⊥AD于F→∠AEB=∠CFD=90°,∠B=∠D,AB=CD,则Rt△ABE≌Rt△CDF→①BE=DF,②AE=CF.连结 AC.在Rt△ACE与 Rt△CAF中,∠AEC=∠CFD=90°,AC=CA,已证AE=