关于三角形中线的一个不等式链

关于三角形三中线和与三边长关系，笔者最近又得到一个有趣的不等式，即以下定理设△ABC三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，其对应边上的中线分别为m_a、m_b、m_c，则当且仅当△ABC为正三角形时，（1）、（2）两式取多号（以上Σ表示循环和，下同）．证明先证（1）式．根据三角形中线公式，很容易得到以下恒等式：（这里△表示△ABC的面积）．由此得到类似还有两式．于是有由此可知，要证（1）式，只需证因此④式成立，（）式获证，由证明中易知，当且仅当凸＊＊C为正三角形时（）式取等号．这时顺便指出，上述①式在证明三角形中线不等…     

关于三角形半角三角函数的一个不等式链

我们在文［1］～[4]中，曾给出了三角形中半角三角函数的一些不等式，本文又进一步得到了关于三角形中半角三角函数的一个不等式链，从而得到了用外接圆半径、内切圆半径以及半周长表示的三角形牛角三角函数上、下界的线性不等式的最佳表达式．本文约定：△ABC中，三边长为a、b、c，外接圆半径、内切圆半径及半周长分别为R、r及s；用∑表示循环和．文中省去了诸不等式取等号条件的证明，因为它们是很容易得到验证的．定理在△ABC中，有以上（1）～（5）式的取等号条件为△ABC为正三角形，或一角为0°，另外两角为90°的退化三角形，或一…     

一个新的三角形不等式链

1971年,丹麦数学家A.Base砂’l建立了一个三角形不等式:在△乃劣中,有 600,月匕份及翻C (助厌伪心+伪‘Ccos月+馏南osB(l)1973年洒呜价tzl又将其拓展成: 8C06洲陌留J沁嘴C 、普(。~十cosccOS,十COS、os。)‘李l一cos(。一e)+姗(e一,)+。。(,一。)〕 一乙~、誓(。,晋3‘·号+·‘·号·‘·普+S‘·普S‘·、晋(S;·、;·e+S、·。;·,+S、。,S;·。)卫、:2 (2) 本文中,我们来建立一个与此有关的新的不等式链: 定理在△月淤中.有 27(。。,欣osC十e伪心eosA+cos月c。‘刀)(4(sin伪inC+幻nCsinA十sinAsinl了)2 q曰召一2‘36‘·‘·…     

介绍一个三角形不等式链

本文给出三角形中一个有趣的不等式链,命题 在△ABC中 sec~2A sec~2B sec~2C≥1/3(secA secB secC)~2 ≥secBsecC secCsecA secAsecB ≥csc~2(A/2) csc~2(B/2) csc~2(C/2)     

三角形的一个几何不等式链

几何不等式是当前初等数学研究的主要课题之一。本文给出三角形内部任一点至三顶点和三边的距离与三角形有关的几何元素之间的一个不等式链。定理设P为△ABC内部任一点,D,E,F,分别为P到BC,CA,AB各边所引垂线的垂足,记BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的半周、面积与内切圆半径分别为s,△,r则     

一个三角形不等式链的探究

在<数学通报>2008年第12期数学问题解答栏中,命题者在给出了1764号题的证明之后指出,可能得到:     

关于三角形的一个不等式

关于三角形的一个不等式３１５２１１宁波大学数学系陈计１９９３年，管志宏［１］提出下列不等式：在西ＡＢＣ中，有当且仅当面ＡＢＣ为正三角形时等号成立．事实上，由熟知的几何不等式（见文［２］的２．１２及２．３３）：易知不等式（１）是平凡的．本文中，我们将不...     

切点三角形的一个新不等式链

三角形的内切圆与各边相切于三点所构成的三角形称为切点三角形.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R、r和s,ΔDEF外接     

关于三角形中线的一个不等式

文 [1 ]给出了关于三角形中线乘积的一个不等式 :mambmc≥ 18R∑b2 c2 ( 1 )本文将给出中线乘积的一个上界 ,以下恒用 a,b,c,ma,mb,mc,s,R,r和△分别表示△ ABC的三边边长、中线、半周长、外接圆半径、内切圆半径和面积 .并用 ∑ 表示循环和 ,Π表示循环积 .定理　在△ ABC中 ,有mambmc≤ R8(∑a) 2 (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 .证明　由中线公式 4 m2a =2 b2 2 c2 - a2 ,知64m2am2bm2c =Π( 2 b2 2 c2 - a2 )=- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 ∑b2 c2 - 2 7Πa2故 ( 2 )式等价于- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 .∑b2 c2 -2 7Πa2 …     

关于三角形中线的一个不等式

最近在中国不等式研究小组网站(http:∥zgbdsyjxz.nease.net/bdbbdb/bdb.htm)上看到一个很有趣的关于三角形中线的一个不等式问题(猜想),未见有解答,故笔者试作解答.     

关于三角形半径的一个不等式

本文将给出关于三角形的外接圆、内切圆和傍切圆半径的不等式(1),并由(1)式加强了Gerretsen不等式。定理设R,r,r_a,r_b,r_c分别是△ABC的外接圆、内切圆和傍切圆的半径,则     

关于三角形不等式的一个猜想

关于三角形不等式的一个猜想安徽省肥西师范学校朱玉扬数学通讯于１９８９年第８期登载陈计与高海明同志所撰《一道征解题的拓广和加强》［１］一文提出如下颇有意义的猜想：设Ｐ、Ｑ、Ｒ分别位于ＡＢＣ的ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上．且将周界三等分，则ＡＢｋ）．其中ｋ是正整数...     

一个三角形不等式

定理设a、b、c为△ABC三边之长，则证明记s、R、r为△ABC的半周长、外接国半径与内切圆半径，由等及熟知径与内切圆半径，由等及熟知又由恒等式：所以①式等价于4Rs2（2R 2r）因为后一式为欧拉不等式．故由Gerretsen不等式所以①式成立．易知取等号的充要条件为△ABC是正三角形．一个三角形不等式@万锦文$湖北省咸宁鄂南高中!437100     

欧拉不等式的一个三角形式的加强链

文[1]给出欧拉不等式与边长间的一个不等式链,笔者得到欧拉不等式的一个三角形式的加强链,与不等式爱好者共赏.定理设R,r分别为△ABC的外接圆及内切圆半径.     

关于三角形与点的一个不等式

涉及三角形与一个动点的不等式是一类有趣的几何不等式.在文献[1]中作者曾运用重要的"惯性极矩不等式"证明了下述不等式:对△ABC与平面上任一点P有PA2sinA/2+PB2sinB/2+PC2sinC/2≥3r2,(1)其中r为△ABC的内切圆半径.……     

关于三角形中一个不等式的证明

关于三角形中一个不等式的证明尹华焱（湘潭锰矿４１１２０２）文［１］给出了若干三角形三内角函数的不等式的加强，其中命题２是：在△ＡＢＣ中，ｃｓｃＡ２·ｃｓｃＢ２≥２２－２０ｒＲ①本文将指出文［１］对①的证明是错的，同时我们试图给出①式的一个证明．我们...     

关于一个三角形不等式猜想的证明

关于一个三角形不等式猜想的证明３１２５００浙江省新昌中学石世昌匡继昌先生在《常用不等式》（湖南教育出版社．１９９３年５月第二版）一书的附录（１００个未解决的问题》中题５９（Ｇａｒｆｕｎｋｅｌ猜想）是：设Ａ、Ｂ、Ｃ”为△ＡＢＣ”的三个内角．则在本文中，...     

关于周界中点三角形的一个不等式

关于周界中点三角形的一个不等式４１２５００湖南省炎陵县一中周才凯文［１］定义了三角形的周界中点：如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分割成两条等长的折线，就称这一点为三角形的周界中点．以三角形的三个周界中点为顶点的三角形我们不妨称之为...     

关于三角形角平分线的一个不等式

关于三角形角平分线的一个不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）１引言陈计先生在《专著（几何不等式新进展）的补遗（１）》（见宁波大学理工版学报，１９９１年第２期）以及《中学教研（数学）》（浙江），１９９２年第５期‘难题征解’栏中，提出了同一个问题：三...     

三角形的一个不等式

中国科技大学常庚哲同志在文[1]中用复数证明了以下问题: [问题1] 从△ABC的顶点A、B、C各作角的平分线分别交对边于D、E、F,则成立: △DEF的面积≤1/4·△ABC的面积,式中等号当且只当△ABC为等边三角形时