Strömungstechnische Gesichtspunkte der Flußbelastung durch Abwasser aus Kläranlagen

Zusammenfassung Für ein im Durchlauf betriebenes System bestehend aus einem Fluß (Vorfluter) und den angeschlossenen Kläranlagen wird eine Methode zur Bestimmung der Vorfluterbelastung durch die eingeleiteten Klärwässer angegeben. Die Methode erfaßt mit Rücksicht auf die Anwendung des Verursacherprinzips im Gewässerschutz die Belastung durch jede Kläranlage für sich, und zwar in Abhängigkeit von der Wasserführung, den Emissionsraten der betreffenden Kläranlage und dem Selbstreinigungsvermögen von den organischen Stoffen aus der betreffenden Kläranlage. Die abhängigen Veränderlichen sind mit der Fließgeschwindigkeit gewichtete Mittelwerte von Schmutzstoffdichten über den Vorfluterquerschnitt. Im Falle konstanter Vorflutertemperatur und zeitunabhängiger Struktur der Klärwässer ergeben sich beispielsweise für die abhängigen Veränderlichen einfache analytische Darstellungen, welche sich als spezielle Formen des -Theorems erweisen. Es wird gezeigt, bei einem unendlich langen Vorfluter mit konstantem Volumenstrom stromabwärts der Klärwassereinleitungen stimmen die erwähnten gewichteten Mittelwerte mit den entsprechenden ungewichteten stromabwärts der Klärwassereinleitungen überein. Die entwickelte Methode kann leicht erweitert werden, um den Sauerstoffschwund im Vorfluter durch jede Kläranlage für sich zu bestimmen.

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Fluid mechanical aspects of river pollution by effluents from waste treatment plants

The pollution of a river by effluent inflows from waste treatment plants is modeled under steady-state conditions. With respect to modern policies of environmental protection the method describes the river pollution by each plant separately, depending on the flow conditions, the emission rates of the plant and the microbiological decomposition of the biodegradable matter from the plant. Each dependent variable is a weighted cross-sectional mean of a density of organic matter. If the water temperature is constant and the composition of each effluent is independent of time the method gives simple analytic expressions for the dependent variables, which prove to be special versions of the -theorem. It is shown for an infinitely long river of constant volume rate of flow downstream of the effluent inflows: the weighted means mentioned agree with the corresponding nonweighted downstream of the effluent inflows. The present paper can easily the extended to determine the oxygen deficit in the river due to each plant.

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Bezeichnungen a Anzahl der Kläranlagen - D(t_b) Kennzahl, Einführung in 4.3 - ^eA Emissionsrate der abbaubaren or ganischen Verschmutzung aus der -ten Kläranlage - ^eU Emissionsrate der nichtabbaubaren organischen Verschmutzung aus der -ten Kläranlage - Vorfluterquerschnitt, Einführung in Gl. (4) - F Flächeninhalt von - dF Betrag eines Flächenelements, Einführung in Gl. (6) - J_A Diffusionsstromdichten, Einführung in Gl. (2) bzw. Gl. (3) - L Anzahl der Stromstrecken - M Gesamtmasse der abbaubaren or- ganischen Verschmutzung in den N Teilchen, Einführung in Gl. (17) - N Anzahl der verschmutzten Flußwasserteilchen, welche die -te Nahfeldvermischungszone während des Zeitintervalles t_a t_b für immer verlassen - P(x, t, x, t_c) Teilchendichte, Einführung in Gl. (11) und Gl.(12) - Q Selbstreinigungsvermögen, Einführung in Gl.(26) - t Zeitpunkt, Einführung in Gl.(11) - t, t_b Intervallgrenzen, Einführung in 4.1 - t_c Zeitpunkt, Einführung in Gl.(11) - t Zeitdifferenz, Einführung im Anschluß an Gl.(10) - t^* charakteristische Zeit, Einführung in 4.3 - Strömungsgeschwindigkeit Komponente von ¯b in Richtung der zu Tal weisenden Oberflächennormalen eines Vorfluterquerschnitts, Einführung in Gl. (5) und Gl. (6) - Volumenstrom, Einführung in Gl. (7) - x Ortsvektor - x Ortsvektor eines bestimmten markierten Teilchens zur Zeit t_c, Einführung in Gl.(11) - x längs der Stromachse gemessene Längenkoordinate - x x-Koordinate des Vorfluterquerschnitts durch x - x,x₊₁ x-Koordinaten der Vorfluterquerschnitte, welche die -te Stromstrecke stromaufwärts bzw. stromabwärts begrenzen. Einführung in 4.2. - transformierte Variable, Einführung in Gl.(65) - Zeitvariable - (t_b) Kennzahl, Einführung in 4.3. - Masse der abbaubaren organischen Verschmutzung in dem markierten Teilchen, Einführung in Gl.(14) - , Integrationsvariablen, Einführung in Gl.(38) bzw. Gl.(28) - _A durch die -te Kläranlage bedingte Dichte der abbaubaren organischen Verschmutzung - _U durch die -te Kläranlage bedingte Dichte der nichtabbaubaren organischen Verschmutzung - Mittelwerte von bzw· , Einführung in Gl.(31) bzw. Gl.(8) - _m -Wert zu einem Maximum, Einführung in Gl.(31) - Verhältnis zweier Mittelwerte, Einführung in Gl.(64) - stochastischer Mittelwert einer Zufallsgröße Y - Y Schwankung einer Zufallsgröße Y um den stochastisehen Mittelwert - Mittlung über den Vorfluterquerschnitt Der saubere Vorfluter sei definiert durch Standardwerte für Mindestanforderungen an die Flußwasserqualität. Vorschläge für solche Standardwerte werden in jüngster Zeit unter Berücksichtigung des Umweltschutzes ausführlich diskutiert ([1]; [2], S.- K 13 -).     

Relations between steady flow and oscillatory shear measurements

Summary Results are given of a comparison between dynamic oscillatory and steady shear flow measurements with some polymer melts. Comparison of the steady shear flow viscosity,, with the absolute value of the dynamic viscosity, ¦¦, at equal values of the shear rate,q, and the circular frequency,, has shown the relation thatCox andHerz had found empirically to be substantially correct.Further, the coefficients of the normal stress differences obtained by streaming birefringence techniques have been compared with 2G () · ^{– 2} in the same range of shear rates as covered by the viscosity measurements (G is the real part of the dynamic shear modulus). Two polystyrenes with narrow molecular weight distribution showed the same shift factor along the orq axis for the normal stress coefficients with respect to 2G () · ^{– 2} and the steady shear flow viscosities with respect to the real part of the dynamic viscosity,. For two polyethylenes the results are not so conclusive owing to the smallness of the shift factor found. An empirical equation is proposed predicting the main normal stress difference from dynamic measurements only.

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Zusammenfassung Die Ergebnisse von Messungen unter erzwungenen Schwingungen und stationärer Scherströmung an einigen Polymerschmelzen werden miteinander verglichen. Der Vergleich der stationären Viskosität mit der absoluten dynamischen Viskosität ¦¦ bei gleichen Werten des Strömungsgradientenq und der Kreisfrequenz zeigt die Gültigkeit der empirischen Beziehung vonCox undHerz.Weiter wurden die Koeffizienten der Normalspannungsdifferenzen, welche durch Messung der Strömungsdoppelbrechung erhalten wurden, mit 2G() · ^–2 verglichen, und zwar wiederum bei gleichen Werten vonq und, wobeiG die Speicherkomponente des dynamischen Schubmoduls ist. Zwei Polystyrole mit enger Molekulargewichtsverteilung zeigen die gleiche Verschiebung entlang der-oderq-Achse für die Normalspannungskoeffizienten in bezug auf2G()· ^–2 und für die stationären Scherviskositäten in bezug auf den Realteil der dynamischen Viskosität. Für zwei Polyäthylene sind die Ergebnisse weniger signifikant, da die entsprechenden Verschiebungen zu klein waren. Eine empirische Beziehung zwischen den Hauptnormalspannungsdifferenzen und den dynamischen Meßwerten wird vorgeschlagen.

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Paper presented at the British Society of Rheology Conference, held at Shrivenham, from 9th–12th September, 1968.     

Rotationsviskosimetrie mit kugelförmigen Spindeln

Zusammenfassung Die Rheodynamik der stationären viskometrischen Drehströmung um eine rotierende Kugel wird mit Methoden der Variationsrechnung untersucht. Neben iterativen numerischen Lösungsmethoden, die zu exakten Resultaten führen, wird auch eine approximative Ein-Gradienten-Lösung konstruiert, die durch Quadraturen dargestellt wird. Ausgehend von dieser analytischen Approximation werden einfache Methoden zur Auswertung von Experimentaldaten vorgeschlagen, die mit Hilfe von Eintauch-Rotationsviskosimetern mit kugelförmigen Meßspindeln gewonnen wurden.

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Summary The rotational viscometric flow around a rotating sphere has been studied by variational methods. The exact numerical, as well as an approximate analytical solutions are given. Employing the analytical approximation, a simple method of evaluating viscometric data from immersional (portable) viscometers with a rotating sphere is proposed.

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A Achsenschnitt durch den Bereich der Strömung - B - b, c anpaßbare empirische Konstanten - C Kalibrierungsoperator - D Schergeschwindigkeit der viskosimetrischen Strömung - D _ij Komponenten des Deformationsgeschwindigkeitstensors - D _I, _I Stoffkonstanten der VF des Ellis-Modells - g metrischer Koeffizient - H() Funktional der Ein-Gradienten-Approximation, Gl. [27] - J[] energetisches Potential - J _a[] Ein-Gradienten-Approximation fürJ - K Konsistenzkoeffizient, Parameter der VF des Potenzmodells - m Parameter des Ellis-Modells - M Drehmoment - n Parameter des Potenzmodells - n, n Differentialindices der VF, Gl. [20c, d] - n*,n** Differentialindices der RC, Gl. [9], [13] - r, , z polare Zylinderkoordinaten - R Spindelhalbmesser - rheometrischer Operator - S Spindeloberfläche - U(D) energetische Funktion nachBird, Gl. [20e] - v _i physikalische Komponenten der Geschwindigkeit - Z() transformierte VF, Gl. [20f] - (n) durch Gl. [35] definierte Funktion - k Verhältnis der Radien von Spindel und Wand - ( durch Gl. [43] definierte Funktion - natürliche (Radial-)Koordinate - Schubspannung der viskosimetrischen Strömung - _ij Komponenten des Spannungstensors - _S() Spannungsprofil an der Spindeloberfläche - _M Maximalspannung an der Spindeloberfläche - mittlere Spannung an der Spindeloberfläche, Gln. [3], [22] - natürliche (Meridional-) Koordinate - Winkelgeschwindigkeit in der Flüssigkeit - Winkelgeschwindigkeit der Spindelrotation - ( rheometrische Charakteristik Mit 4 Abbildungen und 3 Tabellen     

Experimentelle und numerische Untersuchung laminarer,axisymmetrischer Freistrahlen mit und ohne Auftrieb

Zusammenfassung Das Verhalten axisymmetrischer, laminarer und inkompressibler Freistrahlen mit und ohne Auftrieb in einer homogenen Umgebung wird experimentell und numerisch untersucht. Die dazu erstellte Versuchsanlage wird kurz beschrieben. Charakteristische Grö\en von Fluidstrahlen ohne Auftrieb lassen sich unter Beachtung der beschreibenden Kenngrö\en parameterfrei darstellen. Auftriebsbehaftete Fluidstrahlen werden durch drei Parameter, die Reynoldszahl, die Grashofzahl und die Prandtlzahl vollständig beschrieben. Die Einflüsse der einzelnen Grö\en werden anhand der numerischen Lösung diskutiert, welche ihrerseits mit asymptotischen Verfahren kontrolliert wird. Die experimentellen Ergebnisse stimmen mit den berechneten Werten sehr gut überein. Die Versuche zur Stabilität laminarer Strahlen lassen sich gut mit einem Impulsstromparameter korrelieren.

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Experimental and numerical study of laminar, axisymmetrical jets with and without buoyancy

Axisymmetrical, laminar and incompressible jets with and without buoyancy in homogeneous surroundings are investigated experimentally and numerically. The experimental set up is described. Characteristics of jets without buoyancy are presented in a parameterless form. Buoyancy — induced jets are completely determined by three parameters, the Reynolds-Number, the Grashof-Number and the Prandtl-Number. The influence of the characteristic numbers to the numerical solution is discussed. On the other hand this result is controlled by analytical solutions. The experimental results are in good agreement with the predicted values. The experiments for stability of laminar jets are correlated with a parameter of momentum.

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Formelzeichen a Temperaturleitfähigkeit - a₁...a₄ Polynomkoeffizienten - b Breite - c_p spez. Wärmekapazität bei konstantem Druck - D Durchmesser - E kinetische Energie - g Erdbeschleunigung - l Länge - L laminare Lauflänge - m Massenstrom - p Parameter - Q Energiestrom - R Radius - T Temperatur - Geschwindigkeitsvektor - dimensionsloser Geschwindigkeitsvektor - U Parameter - Längenvektor - x_o Korrekturlänge - X Parameter - \ thermischer Ausdehnungsbeiwert - Grenzschichtdicke - dynamische Viskosität - T=T_o-T übertemperatur - =(T-T)/T dimensionslose Temperatur - kinematische Viskosität - dimensionsloser Längenvektor - Dichte - Stromfunktion - Funktion - dimensionslose Stromfunktion Indizes A au\en - I innen - m Werte auf Symmetrieachse - Th Thermoelement - – Mittelwert - o Düsenaustrittsgrö\en - Umgebung - Vektor - * dimensionslose Grö\en Kenngrö\en Re =u_o·R/v Reynoldszahl (Radius) - Reynoldszahl (Durchmesser) - Pr=/a Prandtlzahl - Pe =u_o·R/a Pécletzahl - Grashofzahl     

Prediction of primary normal stress difference from shear viscosity data using a single integral constitutive equation

Summary Based on a single integral constitutive equation with a strain-dependent memory function, a relation between the primary normal stress function and the shear viscosity function is proposed. According to this theory, the primary normal stress function can be obtained from viscosity data by simple differentiation of the viscosity function with respect to the shear rate , and multiplication by a factor (–1/n). The material parametern is thereby associated with the strain dependence of the memory function.This relation was compared with the viscosity and primary normal stress data of six polymer melts, three polymer solutions, and an aluminium-soap solution, which were measured by several research groups and are available in the literature. In spite of the vast differences in physical constitution and chemical structure of the melts and solutions considered, agreement between predicted and measured values was encouraging.

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Zusammenfassung Ausgehend von einer Zustandsgleichung vom Integraltyp mit deformationsabhängiger Gedächtnisfunktion wird eine einfache Beziehung zwischen der ersten Normalspannungsfunktion und der Scherviskositätsfunktion vorgeschlagen. Nach dieser Theorie kann man die erste Normalspannungsfunktion aus Viskositätsdaten erhalten, indem man die Viskositätsfunktion nach der Schergeschwindigkeit ableitet und den entstehenden Ausdruck mit einem Faktor (–1/n) multipliziert. Dabei hängt die Materialgrößen mit der Deformationsabhängigkeit der Gedächtnisfunktion zusammen.Diese Beziehung wurde mit den Viskositäts- und Normalspannungsdaten von sechs Polymerschmelzen, drei Polymerlösungen und einer Aluminiumseifenlösung verglichen, die von verschiedenen Forschergruppen gemessen wurden und die in der Literatur verfügbar sind. Trotz der großen Unterschiede im physikalischen Zustand und in der chemischen Struktur der betrachteten Schmelzen und Lösungen wurde eine gute Übereinstimmung zwischen der Theorie und den experimentellen Daten gefunden.

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With 9 figures and 2 tables     

Experimental and numerical analysis of oscillatory tube flow of viscoelastic fluids represented at the example of human blood

Summary The 4 constant parameters of an Oldroyd type constitutive equation for normal human blood of 45% haematocrit were determined by means of the steady flow curve and the material functions () and (), measured at 2 Hz in an oscillatory capillary viscometer. It was found, as other authors did before, that the phenomenological behaviour of blood flow can be reproduced qualitatively thereby. The quantitative behaviour, however, cannot be described by thus developed parameters. The parameters of the constitutive equationµ ₀, ₁ and ₂ were therefore generalized to become dependent of shear rate and frequency respectively.In itself this is nothing but a transformation of the material functions ( ),() and (), but these can be used as parameters in a constitutive equation though having lost the property of constancy.In this way the linear region of viscoelasticity and the steady flow curve can be reproduced quantitatively. A computer simulation of oscillatory flow for large amplitudes shows another tendency for the phase shift between pressure and flow than the experiment in the oscillatory capillary rheometer does.The applicability of a constitutive equation modified in this manner for other than oscillatory flow should be further examined especially for pulsatile flow.

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Zusammenfassung Mit Hilfe der Fließkurve für die stationäre Strömung und Messungen der Materialfunktion () im Oszillations-Kapillarrheometer bei 2 Hz wurden die Konstanten der 4-Konstanten-Oldroyd-Stoffgleichung für gesundes Humanblut von 45% Hämatokrit bestimmt. Es zeigte sich, daß sich — wie auch schon von anderen Autoren mitgeteilt wurde — mit den so ermittelten Modellkonstanten die Phänomenologie des Fließverhaltens des Blutes qualitativ gut beschreiben läßt. Zur quantitativen Beschreibung reicht dieses Modell jedoch nicht aus, wie man an der Wiedergabe der stationären Fließkurve und der Materialfunktionen der linearen Viskoelastizität erkennt. Aus diesem Grund wurden die Parameterµ ₀, ₁ und ₂ in Abhängigkeit der Schergeschwindigkeit bzw. der Frequenz angesetzt.Dies bedeutet zunächst nichts anderes als eine Transformation der Materialfunktionen, jedoch in einer Art, daß letztere als Parameter in einer Stoffgleichung verwendet werden können, was allerdings mit dem Verlust der Konstanz der Parameter verbunden ist. Mit einer derart modifizierten Stoffgleichung lassen sich der Bereich der linearen Viskoelastizität und die stationäre Fließkurve quantitativ beschreiben. Eine Computersimulation der oszillierenden Rohrströmung zeigt für große Amplituden eine andere Tendenz für die Phasenverschiebung zwischen Druck und Volumenstrom, als sie sich bei Messungen am Oszillations-Kapillarrheometer ergibt.Die Anwendbarkeit der modifizierten Stoffgleichung für andere Strömungsformen, wie z.B. pulsierende Rohrströmungen, muß noch geprüft werden.

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Paper, presented at the Annual Conference of the Deutsche Rheologische Gesellschaft in Berlin, May 8–10, 1978.

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With 8 figures     

Model analysis of nonlinear viscoelastic behaviour by use of a single integral constitutive equation: Stresses and birefringence of a polystyrene melt in intermittent shear flows

Summary A single integral constitutive equation with strain dependent and factorized memory function is applied to describe the time dependence of the shear stress, the primary normal-stress difference, and, by using the stress-optical law, also the extinction angle and flow birefringence of a polystyrene melt in intermittent shear flows. The theoretical predictions are compared with measurements. The nonlinearity of the viscoelastic behaviour which is represented by the so called damping function, is approximated by a single exponential function with one parametern. The damping constantn as well as a discrete relaxation time spectrum of the melt can be determined from the frequency dependence of the loss and storage moduli.

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Zusammenfassung Eine Zustandsgleichung vom Integraltyp mit einer deformationsabhängigen und faktorisierten Gedächtnisfunktion wird zur Beschreibung der Zeitabhängigkeit der Schubspannung, der ersten Normalspannungsdifferenz und, unter Verwendung des spannungsoptischen Gesetzes, auch des Auslöschungswinkels und der Strömungsdoppelbrechung einer Polystyrol-Schmelze bei Scherströmungen herangezogen. Die theoretischen Voraussagen werden mit Messungen verglichen. Die Nichtlinearität des viskoelastischen Verhaltens, repräsentiert durch die sogenannte Dämpfungsfunktion, wird durch eine einfache Exponentialfunktion mit nur einem Parametern angenähert. Die Dämpfungskonstanten kann, wie auch ein diskretes Relaxationszeitspektrum der Schmelze, aus der Frequenzabhängigkeit der Speicher- und Verlustmoduln bestimmt werden.

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a _i weight factor of thei-th relaxation time - a _T shift factor - C stress-optical coefficient - n flow birefringence in the shear flow plane - shear relaxation modulus - G() shear storage modulus - () shear loss modulus - H() relaxation time spectrum - h( _t,t ² ) damping function - M _w weight-average molecular weight - M _n number-average molecular weight - n damping constant - p ₁₂ shear stress - p ₁₁ –p ₂₂ primary normal stress difference - t current time - t past time - extinction angle - ( — _i) delta function - time and shear rate dependent viscosity - | ^*| absolute value of the complex viscosity - shear rate - _t,t relative shear strain between the statest andt - memory function - angular frequency - relaxation time - _i i-th relaxation time of the line spectrum - time and shear rate dependent primary normal stress coefficient - s steady-state value - t time dependence - ° linear viscoelastic behaviour With 6 figures and 1 table     

Impacts of local dispersion and first-order decay on solute transport in randomly heterogeneous porous media

Stochastic subsurface transport theories either disregard local dispersion or take it to be constant. We offer an alternative Eulerian-Lagrangian formalism to account for both local dispersion and first-order mass removal (due to radioactive decay or biodegradation). It rests on a decomposition of the velocityv into a field-scale componentv , which is defined on the scale of measurement support, and a zero mean sub-field-scale componentv _s , which fluctuates randomly on scales smaller than. Without loss of generality, we work formally with unconditional statistics ofv _s and conditional statistics ofv . We then require that, within this (or other selected) working framework,v _s andv be mutually uncorrelated. This holds whenever the correlation scale ofv is large in comparison to that ofv _s . The formalism leads to an integro-differential equation for the conditional mean total concentration c which includes two dispersion terms, one field-scale and one sub-field-scale. It also leads to explicit expressions for conditional second moments of concentration cc. We solve the former, and evaluate the latter, for mildly fluctuatingv by means of an analytical-numerical method developed earlier by Zhang and Neuman. We present results in two-dimensional flow fields of unconditional (prior) mean uniformv . These show that the relative effect of local dispersion on first and second moments of concentration dies out locally as the corresponding dispersion tensor tends to zero. The effect also diminishes with time and source size. Our results thus do not support claims in the literature that local dispersion must always be accounted for, no matter how small it is. First-order decay reduces dispersion. This effect increases with time. However, these concentration moments c and cc of total concentrationc, which are associated with the scale below, cannot be used to estimate the field-scale concentrationc directly. To do so, a spatial average over the field measurement scale is needed. Nevertheless, our numerical results show that differences between the ensemble moments ofc and those ofc are negligible, especially for nonpoint sources, because the ensemble moments ofc are already smooth enough.     

Oscillatory free convection heat transfer along a semi-infinite vertical plate

Summary The fluctuating free convection flow along a semi-infinite vertical plate is considered when the plate temperature is of the form T _p –T =(T ₀ –T ) where 0 < 1, denotes the frequency of oscillation and the mean temperature T ₀–T is proportional to ⁿ (0 n < 1). Flow and temperature fields have been obtained by means of two asymptotic expansions. For small values of the frequency parameter , a regular expansion is obtained while for large the method of matched asymptotic expansion is used. It is found that the skin friction and the rate of heat transfer obtained from two expansions overlap satisfactorily for a certain value of . For n=1 the flow governing equations to a semisimilar form, and have been solved by finite difference method. The results obtained from the series and the finite difference methods are in good agreement.

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Oszillierender Wärmeübergang an einer halbunendlichen senkrechten Platte bei freier Konvektion

Übersicht Betrachtet wird die fluktuierende freie Konvektionsströmung längs einer halbunendlichen senkrechten Platte, deren Temperatur dem Gesetz T _p –T =(T ₀–T ) [1+ sin {ie1-03}] folgt, wobei 0 < 1 gelte, {ie1-04} die Frequenz ist und der Temperatur-Mittelwert T ₀–T proportional zu ⁿ (0 n < 1) ist. Mit Hilfe zweier asymptotischer Entwicklungen werden die Strömungs- und Temperaturfelder gewonnen. Für kleine Werte des Frequenzparameters wird eine gewöhnliche Entwicklung benutzt, für große die Methode angepaßter asymptotischer Entwicklungen. Es stellt sich heraus, daß die Oberflächenreibung und die Wärmeübergangsrate aus zwei Entwicklungen für ein bestimmtes zufriedenstellend aufeinander fallen. Für n=1 werden die Grundgleichungen zueinander ähnlich und werden nach der Finite-Differenzen-Methode gelöst. Die Ergebnisse nach den Reihenentwicklungen und der Finite-Differenzen-Methode stimmen gut überein.

     

Wärmeübertragung in berippten Systemen

Zusammenfassung Die Temperaturverteilung über der Austauschfläche eines gasgekühlten Rippenkörpers wird numerisch berechnet und in Abhängigkeit dreier Kenngrößen anhand konkreter Beispiele graphisch veranschaulicht. Besondere Berücksichtigung findet hierbei der Wärmetransport in Strömungsrichtung und die damit einhergehende zweidimensionale Wärmeleitung in den einzelnen Rippen. Mit Hilfe des kinetischen Ansatzes für den Wärmeübergang nach Gl. (47) and (49) wird aus den Rechenergebnissen ein Rippenwirkungsgrad ermittelt. Die Kenngröße, die als ein Verhältnis von erzwungener Wärmekonvektion durch das Gas und Wärmeleitung in der Rippe interpretiert werden kann, erweist sich hierbei als ein geeigneter Parameter, um Aussagen über die Höhe des Wirkungsgrads zu erhalten. Des weiteren wird der thermische Wirkungsgrad, wie er sich aus der Gl. (53) ergibt, in Abhängigkeit einer dimensionslosen Strömungsgeschwindigkeit und einer dimensionslosen Stoffgröße bzw. eines dimensionslosen Druckverlusts in Diagrammen dargestellt.

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Heat transfer in finned systems

The temperature distribution over the heat exchange area in a gas-cooled body of fins will be numerically calculated and exemplarily demonstrated in dependence of three characteristic parameters under the particular aspect of heat transfer in flow direction and two-dimensional heat conduction in the single fins. Then the efficiency of the fins defined in Eqs.(47) and (49) will be found. At this, the parameter as a rate of forced heat convection and heat conduction in the fin is a fit number to give a valuation of effectiveness of two-dimensionally extented fins. At last, the thermal efficiency will be obtained according to Eq. (53) and specified in dependence of a dimensionless flow velocity and a dimensionless material number or, alternatively, dimensionless pressure drop.

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Formelzeichen A Rippenoberfläche, m² - b Spaltweite, m - c spez. Wärmekapazität, J/kg K - h Rippenhöhe, m - H Enthalpiestrom, W - l Rippenlänge, m - p Druckverlust, Pa - p ^* dimensionsloser Druckverlust, Gl. (58) - q Wärmestromdichte, W/m₂ - q^* dimensionslose Wärmestromdichte, Gl. (26) - q Wärmestrom, W - s Rippendicke, m - u eff. Strömungsgeschwindigkeit, m/s - x, y Längenkoordinaten - z Höhen-Längen-Verhältnis, Gl. (19) - Biot-Zahl, Gl. (33) - Biot-Zahl, Gl. (4) - Graetz-Zahl, Gl. (32) - G·ub number of transfer units, Gl. (34) - Nusselt-Zahl, Gl. (31) - Prandtl-Zahl, Gl. (45) - Reynolds-Zahl, Gl. (56) - Gl. (29) - Gl. (30) - Wärmeübergangskoeffizient, W/m² K - Wirkungsgrad - Widerstandsbeiwert, Gl. (54) - , dimensionslose Längenkoordinaten, Gl. (16) - Temperatur, °C - dimensionslose Temperatur, Gl. (17), (18) - Wärmeleitzahl, Gl. (32) - Wärmeleitfähigkeit, W/m K - kinematische Viskosität, m²/s - Dichte, kg/m³ Indizes 0 Fuß - F Rippe (fin) - G Gas - l lokal - m mittlere(r) - max maximal - p bei konstantem Druck - T bei konstanter Temperatur - th thermisch - x, y inx, y-Richtung - am Eintritt - am Austritt - modifiziert     

Normal forms for random diffeomorphisms

Given a dynamical system (,, ,) and a random diffeomorphism (): ^{d d} with fixed point at x=0. The normal form problem is to construct a smooth near-identity nonlinear random coordinate transformation h() to make the random diffeomorphism ()=h()^–1() h() as simple as possible, preferably linear. The linearization D(, 0)=:A() generates a matrix cocycle for which the multiplicative ergodic theorem holds, providing us with stochastic analogues of eigenvalues (Lyapunov exponents) and eigenspaces. Now the development runs pretty much parallel to the deterministic one, the difference being that the appearance of turns all problems into infinite-dimensional ones. In particular, the range of the homological operator is in general not closed, making the conceptof-normal form necessary. The stochastic versions of resonance and averaging are developed. The case of simple Lyapunov spectrum is treated in detail.     

Das Dispersionsmodell

Zusammenfassung Ein Vergleich im Frequenzbereich zeigt, daß bei der Berechnung der Verweilzeitverteilung mit dem Dispersionsmodell das endlich begrenzte System für Péclet-Zahlen Pe > 10 mit guter Näherung durch ein einseitig unbegrenztes System und für Pe > 50 durch ein beidseitig unbegrenztes System ersetzt werden kann.

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The dispersion model. A comparison of approximations

A comparison in the frequency domain shows that for the determination of the residence time distribution with the dispersion model the finitely restricted system may be substituted with good approximation for Peclet numbers Pe > 10 by a one-side unrestricted system and for Pe > 50 by a both-side unrestricted system.

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Bezeichnungen A Rohrquerschnitt - A=A mittlerer Strömungsquerschnitt in der Schüttschicht - Konzentration (Partialdichte) der Bezugskomponente i - Bezugskonzentration nach Gl. (5) - c_i Konzentration (Dichte) der reinen Bezugskomponente i - D axialer Dispersionskoeffizient - E Fehler im Frequenzbereich nach Gl. (36) - G(,) Übertragungsfunktion - G(,i) Frequenzgang - L Länge der Schüttschicht - m Masse - Massenstrom - Péclet-Zahl - s Laplace-Variable - t Zeit - t Impulsbreite - v Strömungsgeschwindigkeit im leeren Rohr - mittlere axiale Strömungsgeschwin digkeit in der Schüttschicht - V=AL Zwischenraumvolumen der Schüttschicht - x Ortskoordinate - (t) Dirac-Stoss - Porosität - dimensionslose Zeit - dimensionslose Konzentration - Laplace-Transformierte der Konzentration - Fourier-Transformierte der Konzentration - dimensionslose Ortskoordinate - =s dimensionslose Laplace-Variable - mittlere Verweilzeit - Kreisfrequenz - = dimensionslose Kreisfrequenz Indices A Ausgang - D Dispersion - E Eingang - i Bezugskomponente - K Konvektion Mitteilung Nr. 44 des Institutes für Mess-und Regel-technik der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich (Vorsteher: Prof. Dr. P. Profos)     

Einfluß der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte auf den Wärmeübergang an der turbulent überströmten ebenen Platte

Zusammenfassung Der Einfluß der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte auf den Wärmeübergang ist zur Zeit noch nicht befriedigend geklärt. Da Messungen des Wärmeübergangs stets mit mehr oder weniger großen Fehlern behaftet sind, und da der Einfluß der Temperaturabhängigkeit für die einzelnen Stoffwerte nicht getrennt untersucht werden kann, ist es experimentell praktisch nicht möglich, Korrekturfaktoren zu bestimmen. Es bleibt daher nur der Versuch, rechnerisch dieses Problem anzugehen, wobei es wichtig ist, Verfahren zu benutzen, die nicht zu lange Rechenzeiten erfordern, um eine große Anzahl von Parameterstudien durchzuführen.In einem früheren Aufsatz [2] wurde die Rechnung bei laminarer Grenzschichtströmung vorgestellt. Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung des Einflusses der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte auf den Wärmeübergang bei turbulenter Plattengrenzschicht. Die Ergebnisse der Parameterstudien werden diskutiert und mit den bekannten Stoffwertkorrekturtermen von Zhukauskas [1], Sieder u. Tate [10] und Hufschmidt u. Bruck [11] verglichen.

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Influence of temperature dependent physical properties on the heat transfer in the turbulent boundary layer of a parallel affluxed flat plate

The influence of temperature dependent properties on the heat transfer is not jet satisfying clarified. Measurements of heat transfer contain more or less great faults, and it is practically not possible to investigate the influence of the temperature dependence for particular physical properties separately. Therefore, the only possibility is to examine this problem numerically. Hereby it is important to use methods which don't require too much computing time in order to study a great number of parameters.In a former article [2] such a numerical method about the calculation of a laminar boundary layer was presented.The object of this paper is the investigation of the influence of temperature dependent properties on the heat transfer in the turbulent boundary layer. The results of the parameter studies will be discussed and compared with the well known correction terms from Zhukauskas [1], Sieder and Tate [10] and Hufschmidt and Brack [11].

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Bezeichnungen c _p spezifische Wärmekapazität - dimensionslose Stromfunktion - l Mischungsweglänge - Nusseltsche Kennzahl - p Druck - Prandtlsche Kennzahl - turbulentePr-Zahl - Reynoldsche Kennzahl - T Temperatur - u,U Strömungsgeschwindigkeit inx-Richtung - Strömungsgeschwindigkeit iny-Richtung - Wärmeübergangskoeffizient - dimensionslosey-Koordinate - dimensionslose Temperatur - Dichte - dynamische Viskosität - _t , _q turbulente Austauschgrößen - kinematische Viskosität - Wärmeleitfähigkeit Indizes außerhalb der Grenzschicht - w an der Wand Vorgetragen auf der Sitzung des GVC-Fachausschusses Wärme- und Stoffübertragung am 15. 4. 1983 in Lindau     

A nonequilibrium theory of a slurry

A nonequilibrium theory of a slurry is developed and its practical use is illustrated by a simple stability analysis. Here a slurry is defined as a deformable continuum consisting of a liquid phase containing in suspension a large number of small solid particles which have formed by solidification from the liquid. The liquid is assumed to consist of two components and the solid to contain only one of the two. Consequently, the process of change of phase requires redistribution of material on the scale of the solid particles. This process is assumed to take a finite amount of time, requiring a nonequilibrium macroscopic theory. This theory contains four thermodynamic variables, three to represent the equilibrium state of the binary system and a fourth measuring the departure from thermodynamic equilibrium. The process of microscale diffusion of material is parameterized in the macroscale theory, leading to a Landau-type relaxation term in the equation of evolution of the fourth variable. The theory is simplified to yield a Boussinesq-like set of governing equations. Their practical use is illustrated by analyzing the stability of a simple steady solution of the equations and the effects of a non-zero relaxation time are discussed. A novel instability mechanism involving sedimentation of particles, previously found to occur in the equilibrium case, is found to persist in nonequilibrium, but disappears in the limit of no change of phase.Key to symbols a, b, c thermodynamic coefficients; see (3.36)–(3.38) - sedimentation coefficient; see (5.18) - C _p specific heat; see (3.24) - C _p ^de specific heat of the slurry; see (3.28) and (3.30) - c radius of solid particle (in §4) - D, D diffusive coefficients; see (3.40) and (3.41) - material diffusivity in liquid phase - D ^* modified diffusion coefficient; see (5.15) - d thermodynamic coefficient; see (3.39) - E specific internal energy - f, g, h thermodynamic coefficients; see (3.36)–(3.38) - g acceleration of gravity - reduced gravity; see (5.10) - i total diffusive flux vector of constituent 1 - i diffusive flux vector of constituent 1 in the liquid phase - j diffusive flux vector of solid phase - k thermal conductivity - k entropy flux vector - k _T, k_T thermodiffusion coefficients; see (3.40) and (3.41) - L latent heat of solidification per unit mass; see (3.7) and (3.24) - m wave number - m ^s rate of creation of mass of solid per unit volume through solidification - m ₁ ^s rate of creation of mass of solid constituent 1 per unit volume through solidification - mass rate of freezing per unit area per unit time - N number of solid particles per unit volume - p pressure - p _H hydrostatic component of pressure - p _m mechanical pressure - p ₁ dynamic component of pressure - q heat flux vector - Q _D rate of regeneration of heat through diffusive fluxes - Q _M rate of regeneration of heat through phase-change processes - Q _v rate of regeneration of heat through viscosity - Q vector defined by (3.16) - r heat externally supplied per unit mass (in §3); spherical radial coordinate (in §4) - S specific entropy of slurry - change of specific entropy with mass fraction of constituent 1; also change of chemical potential of liquid phase with temperature barring change of phase - change of chemical potential of liquid phase with temperature in phase equilibrium; see (3.28) and (3.30) - T temperature - t time - t ₀ relaxation time; see (5.30) - u barycentric velocity - u _H horizontal perturbation velocity - V sedimentation speed - w _a upward speed of simple state; see (6.5) and (6.12) - z upward vertical coordinate - upward unit vector - thermal expansion coefficient barring change of phase; see (3.23) - > ^* thermal expansion coefficient in phase equilibrium; see (3.27) and (3.30) - modified thermal expansion coefficient; see (5.1) and (5.4) - isothermal compressibility of slurry barring change of phase; see (3.23) - ^* isothermal compressibility of slurry in phase equilibrium; see (3.27) and (3.30) - dimensionless measure of departure from liquidus equilibrium; see (5.2) - _a deviation from phase equilibrium in simple state; see (6.6) and (6.13) - vertical wave number - volume expansion per unit mass upon melting; see (3.6) - change of chemical potential of liquid phase with pressure; see (3.25) - change of chemical potential of liquid phase with pressure for slurry; see (3.29) and (3.30) - compositional gradient in the static state; see (6.15) - vector defined by (3.35) - constant of integration; see (6.7) and (6.8) - coefficient defined by (6.23) - nonequilibrium expansion coefficient; see (5.1) and (5.4) - thermal diffusivity; =k/C _p - modified thermal diffusivity; see (5.33) - relaxation rate to phase equilibrium; see (2.2) - ₁ relaxation rate to solid-composition equilibrium; see (2.3) - sedimentation coefficient; see (4.29) - horizontal wave number vector - sedimentation coefficient; see (4.30) - ^L , ^s chemical potential of constituent 1 relative to constituent 2 in liquid and solid phase per unit mass; see (2.6) - change of chemical potential of liquid with liquid composition; see (3.8) - coefficient defined by (3.10) - kinematic shear viscosity - total mass fraction of constituent 1 (i.e., solute) - ^L, ^s mass fraction of constituent 1 in liquid and solid phases - density of slurry - _s density of solid phase - - - , growth rate of disturbance - stress tensor - deviatoric stress tensor - dimensionless temperature; see (5,3) - _a constant of integration; see (6.7) - mass fraction of solid phase in slurry - _b vertical gradient of mass fraction of solid; see (6.1) - dimensionless measure of _b; see (6.22) - _c temporal gradient of mass fraction of solid; see (6.1) - specific Gibbs free energy; see (3.13) - _L,_s specific Gibbs free energy of liquid and solid phases; see (2.12) - measure of departure from liquidus equilibrium; see (2.14) - measure of departure from solidus equilibrium; see (2.5) - spherical polar coordinate (in §4); see (4.20); wave angle (in §6); see (6.38)     

A three-parameter model describing the behaviour of a viscoelastic liquid in a tangential annular flow

A three-parameter model describing the shear rate-shear stress relation of viscoelastic liquids and in which each parameter has a physical significance, is applied to a tangential annular flow in order to calculate the velocity profile and the shear rate distribution. Experiments were carried out with a 5000 wppm aqueous solution of polyacrylamide and different types of rheometers. In a shear-rate range of seven decades (5 10^–3 s^–1 < < 1.2 10⁵ s^–1) a good agreement is obtained between apparent viscosities calculated with our model and those measured with three different types of rheometers, i.e. Couette rheometers, a cone-and-plate rheogoniometer and a capillary tube rheometer. a physical quantity defined by:a = {1 – ( / ₀)}/ ₀ (Pa^–1) - C constant of integration (1) - r distancer from the center (m) - r ₁,r ₂ radius of the inner and outer cylinder (m) - v _r local tangential velocity at a distancer from the center (v _r = _r r) (m s^–1) - v ₂ local tangential velocity at a distancer ₂ from the center (m s^–1) - shear rate (s^–1) - local shear rate (s^–1) - ₁ wall shear rate at the inner cylinder (s^–1) - dynamic viscosity (Pa s) - _a apparent viscosity (_a = / ) (Pa s) - _a1 apparent viscosity at the inner cylinder (Pa s) - ₀ zero-shear viscosity (Pa s) - infinite-shear viscosity (Pa s) - shear stress (Pa) - _r local shear stress at a distancer from the center (Pa) - ₀ yield stress (Pa) - ₁, ₂ wall shear-stress at the inner and outer cylinder (Pa) - _r local angular velocity (s^–1) - ₂ angular velocity of the outer cylinder (s^–1)     

Der Spannungs- und Verschiebungszustand drehsymmetrischer Membrane mit beliebig gekrümmter Meridiankurve

Zusammenfassung Die Einführung von Zylinderkoordinaten (x, r, ) in die Gleichgewichtsbedingungen der Schnittkräfte bzw. in die Beziehungen zwischen Verzerrung und Verschiebungen am differentialen Schalenabschnitt ermöglicht die Berechnung des Spannungs- und Verschiebungszustandes von drehsymmetrischen Membranen mit beliebig gekrümmter Meridiankurve auf die Integration einer einfachen, linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine charakteristische FunktionF bzw. zurückzuführen. Eine geschlossene Lösung und damit eine Darstellung der Schnittkräfte und Verschiebungen durch explizite Formeln ist bei harmonischer Belastung cosn für zwei Funktionsgruppen=x ² und=x ^–3 möglich. Im Sonderfall der drehsymmetrischen und der antimetrischen Belastung mitn=0 undn=1 gelten die Gleichungen der Schnitt- und Verschiebungsgrößen für eine beliebige Meridianfunktion=(). Die Betrachtungen der Randbedingungen offener Schalen bei harmonischer Belastung geben über die infinitesimalen Deformationen einer drehsymmetrischen Membran mit überall negativer Krümmung Aufschluß.     

Das Temperaturfeld in laminar durchströmten Kanälen mit Rechteck-Querschnitt bei unterschiedlicher Beheizung der Kanalwände

Zusammenfassung Es werden die Temperaturfelder im thermischen Einlauf und im ausgebildeten Zustand von laminar durchströmten Kanälen angegeben. Dabei ergeben sich bemerkenswerte Verläufe der Wandtemperaturen, insbesondere bei einer unterschiedlichen Beheizung der Kanalwände. Die extremen Temperaturen der Wände können den Mittelwert der Wandtemperaturen beträchtlich über- und unterschreiten und daher eine Zerstörung des Werkstoffes zur Folge haben.

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The temperature fields in the thermal entrance region and in fully developed condition of channels with laminar flow are indicated. Hereof result considerable wall temperature profiles, especially at different wall heat flux. The extreme wall temperatures can be considerably above or under mean wall temperature and, therefore, may cause destruction of the material.

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Bezeichnungen a halbe Seitenlänge eines Rechtecks inx-Richtung - a _ij,a _i Koeffizienten - A _n Wert der Gl. (A 3) - U Matrix - b halbe Seitenlänge eines Rechtecks iny-Richtung - B _n Wert der Gl. (A 5) - B Matrix - c spezifische Wärmekapazität des Fluids - c _n Koeffizienten - D _h=4F/U hydraulischer Durchmesser des Kanals - F Querschnittsfläche - G Wert der Gl. (1 b) - J, J ₁,J ₂ Werte von Integralen - L Kanallänge - P _r=c/ Prandtl-Zahl - Wärmestromdichte - Wärmestrom - L= /L auf die Kanallänge bezogener Wärmestrom - R _e=D _h/ Reynolds-Zahl - R _n Eigenfunktion - t Temperatur - u Strömungsgeschwindigkeit - mittlere Strömungsgeschwindigkeit - U Umfang des Kanals - x Koordinatenachse senkrecht zur Strömungsrichtung - X=x/a dimensionslose Koordinate - y Koordinatenachse senkrecht zur Strömungsrichtung - Y=y/b dimensionslose Koordinate - z Koordinatenachse in Strömungsrichtung - z*=z/D _h dimensionslose Koordinate - -z=z*/Re Pr dimensionslose Länge - Faktor - =b/a Seitenverhältnis eines Rechtecks - _x, _y Faktoren - Abweichung - =t–t _E/ L/(4) dimensionslose Temperatur - Viskosität des Fluids - _n Eigenwert - Wärmeleitfähigkeit des Fluids - Dichte des Fluids - kinematische Viskosität des Fluids Indizes 1, 2, 3 ... Numerierung - ausgebildet - + positive Koordinatenachse - – negative Koordinatenachse - alls allseitig konstant beheizt - E Einlauf - l linearer Ansatz - m Mittel- - q quadratischer Ansatz - T teilweise beheizt - ü überlagernd - x x-Richtung - y y-Richtung Teil der von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig genehmigten Dissertation des Verfassers.     

Wärmeübergang in Rohren bei aufgeprägter,periodischer Kompression/Expansion

Zusammenfassung Der Aufsatz behandelt den Wärmeübergang in einem kompressiblen Fluid, welchem eine periodische Kompression/Expansion aufgeprägt wird. Der interne instationäre Energietransport wird zunächst durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben. Die numerische Lösung dieser Gleichung unter Variation der Prozeßparameter dient als Grundlage zur Anpassung eines Wärmeübergangskoeffizienten. Um die periodischen Verläufe des Wärmestroms und der Fluidtemperatur wiedergeben zu können, wird dabei das Konzept der komplexen Nusselt-Zahl angewendet. Es ergeben sich schließlich Korrelationen für die komplexe Nusselt-Zahl sowohl für laminare als auch für turbulente Strömungsverhältnisse.

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Heat transfer in pipes under periodical compression and expansion

The paper deals with the heat transfer in a compressible fluid, which is periodically compressed and expanded. First the internal instationary energy transport is described by a partial differential equation. The numerical solution of this equation with varying process parameters is the basis for fitting a heat transfer coefficient. Here the concept of the complex Nusselt-number is used in order to reproduce the periodical changes of the heat flux and the fluid temperature. The investigations finally lead to correlations for the complex Nusselt-number for laminar and also turbulent flow conditions.

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Formelzeichen a Temperaturleitfähigkeit - c _p mittlere spez. isobare Wärmekapazität - c _v mittlere spez. isochore Wärmekapazität - d Durchmesser - q Wärmestromdichte - Wärmestrom - r radiale Ortskoordinate - R Radius - t Zeit - T Temperatur - u axiale Strömungsgeschwindigkeit - v radiale Strömungsgeschwindigkeit - V Volumen - zeitlich gemitteltes Volumen - x axiale Ortskoordinate Griechische buchstaben Wärmeübergangskoeffizient - Isotropenexponent - Wärmeleitfähigkeit - kinematische Viskosität - Dichte - Phasenverschiebung - Winkelgeschwindigkeit Indizes c komplex - eff effektiv - im Imaginäranteil - ink inkompressibel - m über den Querschnitt gemittelt - re Realanteil - t turbulent - W Wand Dimensionslose Kennzahlen Nu= · d/ Nusselt-Zahl - Pe = · d ² /a kinematische Péclet-Zahl - Pr=/a Prandtl-Zahl - Q*=( ) dimensionsloser Wärmestrom - Re=u _m · d/v Reynolds-Zahl     

Deformationsbeständige,elastische und Relaxations-Eigenschaften der flüssigplastischen kolloiden Systeme

Zusammenfassung Es wurde gezeigt, daß es zweckmäßig ist, die strukturierten kolloiden Systeme in fest-plastische und flüssig-plastische Systeme einzuteilen, weil beide Systeme einen übereinstimmenden Eigenschaftskomplex aufweisen, sich jedoch quantitativ durch die RelaxationszeitenP >P _k im Schubspannungsbereich unterhalb der unteren FließgrenzeP < P _k unterscheiden. Es wurde darauf hingewiesen, daß für beide Systeme die Spannungsdeformationskurven sehr charakteristisch sind.Die Kurven werden unter der Bedingung der konstanten Deformationsgeschwindigkeit erhalten, wobei ihre Form von der gegenseitigen Beziehung von und abhängt und mit den Strukturelementetypen, die durch und _i charakterisiert sind, im Zusammenhang stehen.Die Methoden,die zur Messung der elastischen Deformation im breiten Bereich längs der KurveP () bei sowohl kleiner als auch größer _r entsprechend der kritischen SchubspannungP _r angewandt werden können, wurden entwickelt. Dabei wurde gezeigt, daß die Kurveine() durch das Maximum bei _m hindurchgeht.Der Einfluß von auf die kritische Deformation _r der Strukturzerstörung und auf die maximale Rückfederung _e max, die ihrerseits wiederum von der Gelkonzentration abhängen, wurde eingehend untersucht.Es wurden die Zahlenwerte der Grenzviskosität der Nachwirkung bestimmt und die Abhängigkeit der Geschwindigkeit (der Zeit) der Relaxation der elastischen Deformation von der gesamten und der elastischen Deformation ermittelt.Weiter wurde gezeigt, daß die größte elastische Deformation _e max des Systems größer als die kritische Deformation _r der Strukturzerstörung, die dem Maximum der kritischen Schubspannung der Struktur entspricht, sein kann.     

Eine stationäre Meßmethode zur Bestimmung der Relaxationszeit viskoelastischer Fluide bei räumlicher Beanspruchung

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß bei Kenntnis der Fließkurve viskoelastischer Flüssigkeiten allein aus der Drehmomentkennlinie des stationär betriebenen Kugel-Kugel-Rheometers eine Relaxationszeit der räumlichen Beanspruchung bestimmt werden kann. Ausgehend von derColeman-Nollschen Entwicklungsschreibweise der rheologischen Zustandsfunktion wird das Geschwindigkeitsfeld als Potenzreihe der Kreisfrequenz bis zur 3. Ordnung bestimmt und zur Drehmomentbeziehung integriert.Messungen an einigen Versuchssubstanzen bestätigen die Tauglichkeit der entwickelten Methode.Häufig verwendete Formelzeichen –a N/m² isotroper Druckanteil - m/s Geschwindigkeitsvektor - e ₁₄ Integrationskonstanten - f _i() Geometriefunktionen - m vektorielle Feldfunktion - ms vektorielle Feldfunktion - ms² vektorielle Feldfunktion - k _i() Geometriefunktionen - t ₀ s Relaxationszeit der räumlichen Beanspruchung - m/s Geschwindigkeitsvektor erster Ordnung - m/s Geschwindigkeitsvektor zweiter Ordnung - m/s Geschwindigkeitsvektor dritter Ordnung - D 1/s Deformationsgeschwindigkeitstensor - 1/s², 1/s³ korotationale, zeitliche Ableitung vonD - 1 Einheitstensor - M Nm Antriebsmoment der rotierenden Kugel - M _i Nm Teilmomente - R m Kugelradius - R _G m Hohlkugelradius - S N/m² Spannungstensor - W 1/s Rotationsgeschwindigkeitstensor - ₁ N s/m² Stoffparameter 1. Ordnung - ₂, ₃ N s²/m² Stoffparameter 2. Ordnung - ₄, ₅, ₆ N s³/m² Stoffparameter 3. Ordnung - RadienverhältnisR/R _G - ₀ N s/m² Anfangsviskosität - kg/m³ Dichte der Flüssigkeit - 1/s Kreisfrequenz der rotierenden Kugel Vorgetragen auf dem 6. Internationalen Rheologie-Kongreß in Lyon-Frankreich vom 4.–8. September 1972.Jetzt: BASF-AG, LudwigshafenMit 4 Abbildungen