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椭圆、双曲线第一定义 :平面上到两个定点F1,F2 距离之和等于常数 ( >|F1F2 | )的动点的轨迹叫椭圆 ,两距离之差的绝对值等于常数 ( <|F1F2 | )的动点的轨迹叫双曲线 .圆锥曲线第二定义 :平面上到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数e的动点的轨迹叫… ,换言之 :平面上到定点F的距离与定直线l的距离的e倍相等的点的轨迹叫… .在创新思想指导下 ,将第一、第二定义剪辑后再嫁接 ,提出开放的新问题 :若动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的e倍的和 (或差的绝对值 )等于常数 ,动点M的轨迹是什么呢 ?以定直线l为x轴 ,过定点F且与l垂… 相似文献
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根据圆锥曲线的统一定义所建立的椭圆、双曲线的统一方程为我们所熟知 ,笔者将椭圆、双曲线与直线进行类比得到它们的另外两种统一方程 ,现介绍如下 ,供同学们学习参考 .一、椭圆、双曲线的点离式方程与直线的点斜式方程 y -y1 =k(x -x1 )相类比 ,可以建立由椭圆、双曲线的离心率e及其上一点P(x1 ,y1 )所确定的方程 ,这种形式的方程称为椭圆、双曲线的点离式方程 .命题 1 若点P(x1 ,y1 )是离心率为e,且中心在坐标原点 ,焦点在坐标轴上的椭圆 (或双曲线 )上一点 ,则(1)当焦点在x轴上时 ,方程为y2 -y21 =(e2 -1) (x2 -x21 ) ;(2 )当焦点在y… 相似文献
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圆锥曲线的第二定义是:平面内动点M到定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹是圆锥曲线.当01时,动点M的轨迹是双曲线,当e=1时,动点M的轨迹是抛物线.求椭圆与双曲线离心率的范围是高考的一类题型.下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围. 相似文献
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对于椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线 ,既有椭圆、双曲线各自的定义 (第一定义 ) ,又有三种圆锥曲线的统一定义 (第二定义 ) ,正确理解和掌握这些定义是学好圆锥曲线的关健 .准确、灵活运用圆锥曲线定义解题不仅可以加深对定义的理解 ,还能起到事半功倍的作用 .1 求动点的轨迹及方程例 1 1 )平面上到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是 ( )(A)圆 . (B)抛物线 .(C)直线 . (D)直线或抛物线 .2 )方程 (x - 1 ) 2 + y2 =|x - y + 3|对应点P(x ,y)的轨迹为 ( )(A)椭圆 . (B)双曲线 .(C)抛物线 . (D)两… 相似文献
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圆锥曲线的中点弦的性质及其应用 总被引:1,自引:0,他引:1
在平面解析几何中常需要求圆锥曲线的过定点的动弦的中点轨迹。例如,给定双曲线x~2-y~2/2=1,过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程。为了求出P点的轨迹方程,已有各种各样方法:有用直线的点斜式方程的;有用直线的点斜式参数方程的;有用直线的两点式参数方程的; 相似文献
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从统一方程看椭圆抛物线和双曲线之间的联系田蓉(北京职工医学院100036)众所周知,椭圆、抛物线和双曲线可以统一地定义为到定点距离与到定直线距离之比是常数的动点轨迹,在通常的解析几何教材中,只是在极坐标下按这个定义给出统一方程,却没有再从方程出发而作... 相似文献
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今年高考(理工农医类)数学试题第九题是:给定双曲线x~2-y~2/2=1 (1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程;(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q_1及Q_2,且点B是线段Q_1Q_2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程?如果不存在,说明理由。我们在参加批阅高考试卷过程中,尤其是第(1)小题,发现多种解法,现摘选几种解法介绍如下: 相似文献
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文 [1]给出了中心在原点 ,焦点在坐标轴上 ,且经过两点A (x1,y1) ,B(x2 ,y2 ) (其中有 |x1|≠|x2 |,|y1|≠ |y2 |)的椭圆或双曲线的两点式方程 :y2 - y21y22 - y21=x2 -x21x22 -x21.受它的启发 ,我们研究是否像直线方程有点斜式一样曲线方程也有“点斜式” ?回答是肯定的 .我们知道椭圆的离心率确定了椭圆的形状 .双曲线的离心率确定了双曲线开口的开阔程度 .因而 ,椭圆或双曲线的“斜率”会与e有关 ,为此我们定义椭圆或双曲线的“斜率”为曲率 .用k表示 . 定理 1 中心在原点 ,焦点在x轴上的椭圆或双曲线上有两点… 相似文献
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1问题的提出
我们知道,“在平面内,到定点的距离等于定长的动点的轨迹是圆”☆,这是圆的定义.椭圆、双曲线都有第一、第二定义,类似地,圆有没有其它定义的方法呢? 相似文献
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《中学数学》2005,(Z1)
1.(上海卷,3)直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP·OA=4,则点P的轨迹方程是.2.(江西卷,16)以下四个关于圆锥曲线的命题中1设A、B为两个定点,k为非零常数,若PA-PB=k,则动点P的轨迹为双曲线;2过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆;3方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;4双曲线2x52-y92=1与椭圆3x52+y2=1有相同的焦点.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).3.(北京卷,18)如图,直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域(不含边界)记为W,其左半… 相似文献
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关于圆锥曲线统一定义与统一方程的教学设计,有些书刊已提出了较好的参考意见。但就教材以及一些数学资料中对此问题的理解却仍有必要探究与商榷,部分教师和很多学生出现的一些模糊看法也有必要澄清。 1.圆锥曲线统一定义的严密性高中数学教材重点中学甲种本《平面解析几何》第174页给出了椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的统一定义,即平面上“与一个定点(焦点(F))的距离和一条定直线(准线(l))的距离的比等于常数e的点的轨迹,当01是双曲线;e=1是抛物线。 (1)对抛物线来说,仅仅强调e=1是不够的,还应强调定点F一定不在定直线L上, 相似文献
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几种圆锥曲线:抛物线、椭圆和双曲线,根据它们自身的定义,可以得出各自独特的几何作法.根据圓锥曲线的统一定义,在极坐标下导出了它们的统一方程ρ=ep/1-ecosθ,由此,是否可以得出统一的几何作法呢?事实上,从圆锥曲线的统一定义“到定点和定直线的距离之比 相似文献
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由于椭圆与双曲线具有统一的定义,所以二者具有很多统一的性质,本文给出这两种曲线的两个统一性质.定理1已知椭圆x2a2 y2b2=1的左,右顶点分别为A1,A2,已知直线l:x=t(|t|≠a,t≠0),P为l上一动点(P不在椭圆上),直线PA1与椭圆交于另一点M,直线PA2与椭圆交于另一点N,则MN与x轴交于定点.证直线PA2,PA1的斜率分别为k1,k2.联立b2x2 a2y2-a2b2=0,y=k1(x-a),(b2 a2k12)x2-2a3k12x a4k12-a2b2=0.解得xN=a(a2k12-b2)a2k12 b2,yN=-2ab2k1a2k12 b2(1)联立b2x2 a2y2-a2b2=0,y=k2(x a),解得xM=-a(a2k22-b2)a2k22 b2,yM=2ab2k2a2k22 b2(2)直线MN的… 相似文献
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由圆生成三种圆锥曲线 总被引:2,自引:1,他引:1
众所周知 ,三种圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹 :当 0 1时为双曲线 ,有趣的是 ,在圆中 ,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线 ,有如下一个结论 .定理 给定圆O :x2 +y2 =r2 (r >0 ) ,A (a ,0 ) ,B (b ,0 ) (b≠0 ,b≠a)是x轴上的两个定点 ,P是圆O上的一个动点 ,Q是P在y轴上的射影 ,直线AP与BQ的交点为M ,则点M的轨迹 :( 1 )当 |a-b| =r时为抛物线 ;( 2 )当 |a -b| >r且b≠a2 -r22a 时为椭圆 ,当b =a… 相似文献
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<正>本文主要针对椭圆的第二定义的巩固及应用采撷几例与读者共切磋,望对大家有所帮助.一、椭圆的第二定义若平面内的动点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=(a~2)/c距离的比是常数c/a(a>c>0),则点M的轨迹为椭圆,定直线l叫作椭圆的准线.注一般地,如果遇到动点到两个定点的 相似文献