对全微分方程的不定积分解法及证明的讨论

文[1]给出的全微分方程的一种求解方法，需要商榷。     

二阶线性微分方程的积分解法

称为二阶线性微分方程,其中p、g、f都是x的已知连续函数。     

二阶线性微分方程的解法改进

本改进了二阶线性微分方程的朗期基解法，只要求出转化以后的一阶微分方程或二阶齐次线性微分方程的一个特解，即可求出二阶线性微分方程的通解。     

常系数非齐次线性微分方程的一个简捷解法

设二阶常系数非齐次线性微分方程 y″+py′+qy=f( x)对应的齐次方程的特征根为 r1,r2 ,f ( x)连续。由韦达定理 :p=-( r1+r2 ) ,q=r1r2从而 y″+py′+qy=f( x)可化为 y″-( r1+r2 ) y′+r1r2 y=f( x)即 ( y′-r1y)′-r2 ( y′-r1y) =f ( x)令 y′-r1y=y1则 :　 y″+py′+qy =f ( x) y′-r1y =y1y′1-r2 y1=f ( x)即原方程可降阶为一阶线性微分方程。解方程组得 y =er1x∫y1e- r1xdx,y1=er2 x∫f ( x) e- r2 xdx所以 ,原二阶方程的通解为 y =er1x∫e( r2 - r1) x .[∫f ( x) e- r2 xdx]dx由此得到 :定理 1　若 y″+py′+qy=f ( x)对应的齐次…     

微分方程的DSOLVE解法

计算机代数系统MAPLE提供的函数dsolve，是求解各类微分方程的重要工具。     

一类一阶高次微分方程的解法

给出了一类一阶常系数高次微分方程的特征方程解法.     

不定积分解法研究

通过对不定积分的研究,提出了求几类特殊函数不定积分的新方法.不但求出了高等数学中具有代表性的几种形式的不定积分,而且对不定积分的教学和积分方法的寻求都有启发作用.     

关于两类二阶隐式常微分方程的解法

讨论就 y″解不出的二阶隐式常微分方程 x=f ( y′,y″)和 y′=f ( x,y″)的解法问题 .     

两类特殊微分方程的积分因子解法

针对满足特殊条件的两类微分方程,利用特殊积分因子法求解．     

偏微分方程的算子解法

常微分方程算子解法可以推广到偏微分方程初值问题的研究,并有简便而实用的求解方法。     

关于微分方程中的几点注记

微分方程是高等数学的重要内容之一．但对其中的某些问题,在一些教材中叙述的不够清晰,容易使初学者产生模糊认识．为此,结合该内容的教学实践,对这些问题作些注释,以帮助学生加深理解．一、关于通解“通解”是微分方程中的一个基本概念．所谓通解,即指一个n阶方程0的含有n个独立的任意常数的解．对此概念,初学者常存在两种认识：一种认为,通解就是包含微分方程的所有解的解,亦即所有解的共同表达式．因此,当通解中的任意常数取遍所有数值时,就可得到方程的所有解．另一种则认为,通解就是含有n个任意常数的解,这些常数随便取什…     

微分方程在中值命题证明中的应用

在证明中值命题时,往往要构造辅助函数.特别要证明结论:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(n)(ξ)=k及其代数式时,文[1]介绍了一种“原函数”法.但当要证明的结论中的代数式比较复杂时,就不能很容易地求得原函数,这时,可以通过微分方程来解决.下面通过例子来说明如何利用微分方程构造所需要的辅助函数.例1　设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导(ab>0),证明:至少存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)-ξf′(ξ)=af(b)-bf(a)a-b　　证明思路:证明的关键是如何构造辅助函数,我们采用下面的方法.令上式中的中值ξ为x,得微分方程f(x)-xf′(x)=af(b)-bf(a…     

不定积分的代数解法

基于积分运算是微分运算的逆运算,利用线性代数方法,提出了一种求解几类特殊函数不定积分的新方法,并结合实例验证了方法的有效性.     

不定积分的代数解法

基于积分运算是微分运算的逆运算,利用线性代数方法,提出了一种求解几类特殊函数不定积分的新方法,并结合实例验证了方法的有效性.     

一道微分方程题目的多种解法

同济大学数学教研室编高等数学 (第四版 )下册 P40 7有一题目 :求方程的通解。学生普遍感到有些困难。下面给出几种解法。y′+x =x2 +y ( 1 )　　解　方法一　令 x2 +y-x=u,则 yx2 +y+x=u,y=u( x2 +y+x) ,两边对 x求导 ,得 dydx= ( x2 +y+x) dudx+u(2 x+dydx2 x2 +y+1 )。代入 ( 1 ) ,得 dudx+u2 ( u+x) =0 ,或udx +2 ( u +x) du =0 ( 2 )易见有积分因子 μ=u,引用之 ,解得 2 u3 +3 xu2 =c1。换回原变量 ,得 ( 1 )的通解为 ( x2 +y) 3 =x3 +32 xy+c.其中 c=c12 为任意常数。方法二　令 u=x2 +yx ,则 x2 +y =ux,两边对 x求导 ,得2 x+dydx2 x…     

积分因子及其求法

微分方程：M（x，y）dx＋N（x，y）dy=0，若在单连通区域D内，M（x，y），N（x，y）有一阶连续偏导数，且满足则（1）为全微分方程，这时du=Mdx＋Ndy=0，得到（1）的通解为：u（x，y）=C。求全微分方程的通解，常用的有三种方法：1°，利用积分与路径无关，得出通解其中（X0，y0）是D内适当选定的点。2°，利用于得出通解”’”””如——”—”“”’a“””一”J””’”————叮3”，凑微方法。举例说明。＿。。。。＿＿，＿＿＿＿＿＿＿、吻，。。。、。一例1求微分方程（。osy＋cosx）甚一ysinx＋slny—0的通解。解将原方程改写…     

线性微分方程的微分算子级数解法

介绍了微分算子级数法及其求解线性常微分方程通解、特解的原理、方法和实例.这个方法和其它解法的差别,在于不借助其它学科知识的启示,直接通过方程中微分算子的运算求出方程的特解或通解.     

一类二阶线性变系数微分方程通解的解法

采用特解和常数变易法,给出一类二阶线性变系数齐次和非齐次微分方程的通解公式,实例说明如何运用此通解公式.     

一类奇异积分—微分方程的直接解法

对于系数、核密度具某种解析性的Ｃａｕｃｈｙ核完全奇积分方程，文［１］、［２］研究了其直接求解方法，［３］采用［１］，［２］中的思想方法，研究了如下形式的奇异积分一微分方程ａ１（ｔ）ψ（ｔ）＋ａ２（ｔ）ψ＇（ｔ）＋１／πｉ∫Ｌｋ１（ｔ，τ）／τ－ｔψ（τ）ｄτ＋１／πｉ∫Ｌｋ２（ｔ，τ）／τ－ｔψ＇（τ）ｄτ＝ｆ（ｔ），ｔ包含Ｌ的直接解法，其中Ｌ是平面上的一封闭光滑曲线，并对系数和核密度给出了一系列