The constant collision frequency model for electrical conductivity

Summary The constant collision frequency charged particle transport model for general separable scattering and ionization kernels is generalized for the determination of the spatially uniform electrical current density and the electrical conductivity to include a time-dependent electric field, and a constant magnetic field. It is shown that the conductivity is independent of the assumed velocity distribution of both scattering and ionization kernels and the source.

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Sommario Il modello di frequenza di collisione costante nell'ambito del trasporto di particelle cariche per nuclei di scattering e ionizzazione separabili è esteso al caso di un campo elettrico dipendente dal tempo e di un campo magnetico costante ai fini della determinazione della densità di corrente elettrica spazialmente uniforme e della conducibilità elettrica. Si dimostra che la conducibilità è indipendente dalla distribuzione di velocità di ambedue i nuclei di scattering e di ionizzazione e della sorgente.

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C.N.R. Visiting Professor on leave from the University of Arizona.     

Temperature waves in rigid materials with memory

Summary The problem of finite speed of propagation of temperature in rigid heat conductors is analysed within the framework of the thermodynamics of materials with memory. The constitutive relations are expressed by functionals depending on the histories of temperature and temperature gradient and also, explicitly, on the present value of the temperature. The condition that ensure the possibility of wave propagation for temperature are derived.

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Sommario Si esamina il problema della propagazione della temperatura con velocità finita nei conduttori di calore rigidi nel contesto della termodinamica dei materiali con memoria. Le relazioni costitutive sono espresse da funzionali dipendenti dalle storie della temperatura e del gradiente di temperatura ed anche, esplicitamente, dal valore attuale della temperatura. Si deducono le condizioni che assicurano la possibilità di propagazione ondosa per la temperatura.

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This work was partially supported by the Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica of C.N.R., Italy.     

Boundedness,continuity, positivity and dominance of the solution of the neutron boltzmann equation

Summary In this paper the behavior of the solution of the integral form of the neutron transport Boltzmann equation is investigated for slab and sphere geometry. The study of the properties of the integral transport operator K leads to interesting results concerning the following subjects: boundedness, continuity and positivity of the total flux; existence of a dominant critical eigenfunction; spectral properties of K; dependence of the critical eigenvalue on the dimensions of slab and sphere; uniform convergence of the Neumann series in subcritical conditions; approach to the criticality; summability of the solutions and neutron conservation.

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Sommario In questo lavoro viene esaminato il comportamento della soluzione della forma integrale dell'equazione di Boltzmann del trasporto dei neutroni nel caso di una lastra piana e di una sfera. Lo studio delle proprietà dell'operatore integrale del trasporto K porta ad interessanti risultati riguardanti i seguenti argomenti: limitatezza, continuità e positività del flusso totale; esistenza di una autofunzione dominante critica; proprietà spettrali di K; dipendenza dell'autovalore critico dalle dimensioni della lastra piana e della sfera; convergenza uniforme della serie di Neumann in condizioni sottocritiche; avvicinamento alla criticità; sommabilità delle soluzioni e conservazione dei neutroni.

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Work performed under contract C.N.R.     

A priori bounds for the plastic dissipation of elastic-plastic oscillators

Summary The possibility of enlarging the definition of collapse of elastic-plastic structures to include dynamic problems is first examined. It is concluded that the most satisfactory definition is the one given in terms of plastic dissipation. The simple case of a single-degree of freedom oscillator is then studied in detail. After giving some upper bounds for the dissipation with the aid of suitable a priori inequalities, a typical property of stability of the solution is employed to obtain a fairly severe bracketing of velocities throughout the motion. A numerical example, taken from a problem of seismic design, shows that the latter result leads to further improvements in majorizing the plastic dissipation.

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Sommario Si studia aapprima l'estensione della definizione di collasso di una struttura elastoplastica ai problemi di tipo dinamico, concludendo che la miglior caratterizzazione é quella in termini di dissipazione plastica. Si passa poi a considerare il caso di un oscillatore a un grado di libertà, per cui si calcolano limitazioni superiori della dissipazione ricorrendo a opportune diseguaglianze a priori. Utilizzando inoltre una proprietà di stabilità della soluzione, tipica dei problemi di Plasticità, si riescono a dare strette limitazioni per la velocità. Come mostrato da un esempio numerico tratto da un problema sismico, esse conducono anche ad una più accurata delimitazione della dissipazione plastica.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica e per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.     

Some extremum theorems for the elastoplastic boundary value problem in the presence of large displacements

Summary The incremental boundary value problem for elastoplastic work-hardening continua, is discussed in the presence of large displacements but small strains, and allowing for distributed dislocations.Associated flow laws are assumed, as is the occurrence of interaction between yielding modes in singular points of the yield surface.Four extremum theorems are proved which reduce the problem to the optimization, under linear constraints, of convex quadratic forms (of a non linear form for the third theorem).Finally some results are specialized to small displacements and perfectly plastic (non hardening) cases.

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Sommario Si discute della soluzione incrementale del problema elastoplastico con incrudimento nel campo dei grandi spostamenti (ma con piccole deformazioni intrinseche), ed in presenza di distorsioni distribuite.Si assumono leggi costitutive del tipo associato, ammettendo la possibilità di interazione tra i modi plastici in corrispondenza dei punti singolari della superficie di snervamento.Si dimostrano quattro proprietà di minimo della soluzione; esse riconducono il problema alla ottimizzazione di funzionali convessi (quadratici tranne che nel caso del terzo teorema) vincolata da equazioni e diseguaglianze lineari.Si specializzano infine alcuni risultati al caso dei piccoli spostamenti e della elastoplasticità senza incrudimento.

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This study forms part of a research programme supported by the National (Italian) Research Council (C.N.R., Gruppo Plasticità).     

Uniqueness and stability in the continuum theory of granular materials

Summary We deal with cohesionless granular materials in the framework of the continuum theory presented in [2]. For these materials we finda priori restrictions assuring uniqueness and stability of motion. Whereas our Liapunov stability analysis leads only to a partially satisfactory result, Hölder stability is completely characterizedvia a logarithmic convexity argument.

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Sommario Nel presente lavoro vengono stabilite alcune restrizionia priori sufficienti ad assicurare l'unicità e la stabilità del moto di un mezzo granulare il cui comportamento è descritto dall'equazione costituiva proposta in [2]. Una volta osservato che l'analisi della stabilità, nel senso di Liapunov, non conduce a risultati soddisfacenti, si passa ad esaminare la stabilità nel senso di Hölder, mediante le argomentazioni della convessità logaritmica, pervenendo così ad alcune semplici restrizioni sui coefficienti di risposta del materiale considerato.

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Research supported by the Italian National Research Council (C.N.R. Gruppo PAdIS).     

On the Ljapunov stability of a system with known first integrals

Summary The differential equations of the perturbed motion with known independent first integrals are considered, and it is shown that a sufficient condition for the stability of the imperturbed motion of the complete system is given by the total stability of the corresponding solution of a certain reduced system, of lower rank. This theorem finds an interesting application in the study of the stability of the merostatic motions of a holonomic system with ignorable coordinates and acted upon by dissipative forces.

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Sommario Si considerano sistemi di equazioni differenziali del moto perturbato per i quali siano noti alcuni integrali primi indipendenti, e si dimostra che una condizione sufficiente per la stabilità del moto non perturbato del sistema completo è data dalla stabilità totale della corrispondente soluzione di un certo sistema ridotto, di rango inferiore. Questo teorema trova una significativa applicazione nello studio della stabilità dei moti merostatici di un sistema olonomo con coordinate ignorabili e soggetto a sollecitazioni dissipative.

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Research supported by the Gruppo di Ricerca No. 7 of the C. N. R.     

Evolution law of a weak discontinuity crossing a non characteristic shock in a non-linear dielectric medium

Summary Transmission and reflection of an electromagnetic discontinuity wave colliding with a non characteristic shock in a dielectric medium with non-linear constitutive equation is analyzed in the case of polarized fields depending on one space variable and time. The transmitted and reflected amplitudes are obtained; the evolution law of the transmitted discontinuity is integrated for propagation through a constant state and the appearing of a new value of the critical time is discussed.

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Sommario Viene analizzata la collisione di un'onda elettromagnetica di discontinuità con un urto non caratteristico in un mezzo dielettrico avente equazione costitutiva non lineare, per campi polarizzati e dipendenti da una sola variabile spaziale e dal tempo. Vengono ricavate le ampiezze trasmessa e riflessa. Si integra poi la legge di evoluzione della discontinuità trasmessa nel caso della propagazione in uno stato costante e si discute la comparsa di un nuovo valore per il tempo critico.

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Lavoro eseguito durante il godimento di una borsa di studio nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

Minimum-volume plastic design of beams for movable loads

Summary Minimum-weight designs of a perfectly plastic continuous sandwich beam with two equal spans are obtained analytically for a variety of movable loads, on the basis of the condition of constant integrated specific dissipation rate.

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Sommario Mediante la condizione di costanza dell'integrale della velocità di dissipazione specifica si decudono per via analitica e per una varietà di carichi mobili, progetti di minimo peso di una trave continua a due luci uguali perfettamente plastica e di tipo sandwich.

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Text of a lecture given by the senior author at the Politecnico di Milano and at the Facoltà di Ingegneria dell'Università di Roma in May 1970.     

An «ultimate» approach to cumulative seismic damage

Summary This paper presents an approach to investigate seismic reliability of structures acted on by more earthquakes.The opportunity to analyze the behaviour of structures under the decisive quake is stressed, and the possibility to derive safety statements by inspecting the way the structure collapses is proved with regard to a simple structural pattern.Numerical results show that the criterion yields results quite consistent with usual practice, though, usually, cumulation of damage is not explicitly accounted for in aseismic standards.

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Sommario Nel presente articolo si espone un possibile metodo per studiare la sicurezza di organismi strutturali esposti all'azione di più terremoti susseguenti.Viene sottolineata l'opportunità di analizzare il comportamento della struttura sotto il terremoto decisivo, e si dimostra con un esempio la possibilità di calcolarne l'affidabilità mediante l'indagine del modo di collasso.I risultati numerici mostrano che questo criterio fornisce, almeno nel semplice caso esaminato, conclusioni coerenti non la pratica tecnica, benché di solito le Norme antisismiche non tengano conto esplicitamente del fenomeno della accumulazione del danno.

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This research has been financially supported by the Italian National Research Council (C.N.R.).     

An application of the invariance principle to a non-linear,first order evolution problem: Asymptotic stability in non-isothermal magnetohydrodynamics

Summary The purpose of this paper is to study, with the aid of the invariance principle for dynamical systems stated by Dafermos, the asymptotic stability of the null solution of a mixed, non-linear, first order evolution problem. As a particular case, one obtains a theorem on unconditional, asymptotic stability of stationary flows of non-isothermal magnetohydrodynamics in the Boussinesq approximation.

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Sommario Tale lavoro è rivolto allo studio della stabilità asintotica della soluzione nulla di un problema di evoluzione del primo ordine, misto e non lineare. Il metodo adoperato è quello del principio di invarianza per i sistemi dinamici di Dafermos. Come conseguenza dei risultati ottenuti, poi, si determina un teorema di stabilità asintotica incondizionata per i moti stazionari della magnetoidrodinamica non isoterma nello schema di Boussinesq.

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Work performed under the auspices of CNR (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

Strains by shearing stresses in continuum media

Summary On the basis of the slip theory of the plasticity of metals a general formulation of strain of continuum bodies subjected to shearing stresses is given in incremental form. The isotropic and incompressible elastic body and the strain-hardening plastic body are then studied as particular cases.

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Sommario Sui fondamenti della teoria degli slip della plasticità dei metalli viene formulata in forma incrementale una teoria generale della deformazione dei mezzi continui soggetti all'azione di tensioni tangenziali. Vengono poi trattati, come casi particolari, il corpo elastico isotropo e incompressibile e il corpo plastico incrudente.

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This work has been sponsored by C.N.R. (the Italian Council of Research).     

Existence and continuous dependence for solutions to the equations of a one-dimensional model in gas-dynamics

Summary We prove existence and continuous dependence of solutions to one-dimensional motions of a politropic viscous gas in arbitrary regions. In particular, in case of unbounded regions we do not assume the initial density distribution to have a strict positive lower bound.

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Sommario Proviamo l'esistenza e la dipendenza continua di soluzioni per i moti unidimensionali di un gas viscoso politropico in regioni arbitrarie. In particolare, nel caso in cui la regione del moto è non limitata, non assumiamo che la distribuzione di densità all'istante iniziale abbia estremo inferiore strettamente positivo.

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This work has been realized within the activities of the Italian Council for the Research (C.N.R.), gruppo nazionale della fisica matematica (G.N.F.M.).     

On plastic dynamic flexure of plates

Summary This paper discusses the rigid-plastic flexure of plates subjected to dynamic loading. A piecewise linear yield surface and small displacements are assumed. The plate is discretized by assuming the constant moment mixed triangular element of Herrmann. Under the above assumptions the dynamic loading of plates is turned into a problem in linear inequalities which is a priori discretized in time. An approximate technique is developed, which takes into account the influence of the strain-hardening and the strain rate sensitivity of material. Some numerical examples of plates subjected to a given velocity distribution confirm the efficiency of this approach.

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Sommario Si analizza il problema della flessione rigidoplastica di una lastra soggetta a carichi dinamici. La lastra viene discretizzata assumendo l'elemento triangolare misto a stato di sollecitazione costante di Herrmann. Tale assunzione insieme alle ipotesi di piccoli spostamenti e di superficie di plasticizzazione lineare a tratti, consente di ricondurre il caricamento dinamico della lastra ad un problema retto da diseguaglianze lineari, che risulta discretizzato a priori nel tempo. Attraverso una tecnica approssimata si valuta l'influenza che hanno sulla risposta dinamica della struttura, l'incrudimento e la sensibilità alle velocità di deformazione del materiale. L'efficienza del procedimento è verificata attraverso alcuni esempi numerici di lastre di diversa geometria sottoposte ad una prefissata distribuzione di velocità.

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Research supported by the National Research Council (C.N.R.P.A.d.I.S.) of Italy.     

A method for approximate solutions of stationary creep problems

Summary The paper presents a matrix method for the stationary creep analysis of structures.The method implies discretization of the system, piecewise linearization of the (generalized) stress-strain rate laws, some linear elastic calculations which are useful also for other purposes, and the solution of a quadratic program. The procedure adapts to various degrees of accuracy, and is highly suitable for computers.

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Sommario Si propone un metodo matriciale per lo studio di strutture in fase di scorrimento viscoso stazionario. Il metodo comporta discretizzazione della struttura e linearizzazione a tratti delle leggi di deformabilità degli elementi, richiede calcoli elastici lineari, utili anche ad altri scopi, e la risoluzione di un programma quadratico. Il procedimento presenta notevole adattabilità a vari gradi di approssimazione e si presta particolarmente all'uso di mezzi automatici di calcolo.

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The results presented in the paper form part of a series of studies supported by the National (Italian) Research Council (C.N.R.).     

Limit analysis and design of structures having elements with random distribution of yield stresses,with associated and non-associated flow laws

Summary A generic structure is considered, made up of elements with rigid perfectly plastic standard material and random plasticity constant, however distributed around the average value. The limit load of structures having elements of average plasticity constant is shown to be greater than or equal to the average value of the limit loads of all the feasible structures, thus generalising a theorem [1] formulated for framed structures.The minimum volume of structures having elements of average plasticity constant is then shown to be less than or equal to the average value of the minimum volumes of all the feasible structures. Then the earlier theorems are extended to take in non standard materials.

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Sommario Si considera una generica struttura composta da elementi di materiale rigido-plastico standard a costante di plasticità aleatoria e comunque distribuita attorno al valor medio.Si dimostra che il carico di collasso della struttura dotata di elementi a costante di plasticità media è maggiore o uguale al valor medio dei carichi limite di tutte le strutture possibili, generalizzando un teorema [1] formulato per le travature reticolari. Si dimostra poi che il minimo volume della struttura dotata di elementi a costante di plasticità media è minore o uguale al valor medio dei minimi volumi di tutte le strutture possibili. Si estendono quindi i teoremi precedenti al caso di materiali non standard.

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This work has been sponsored by C.N.R. (the Italian Council of Research).     

Nonlinear analysis of elastic round rods

Summary The nonlinear theory of elastic round rods is split into a vector equation concerning the properties of finite inextensional flexural deflections and a scalar equation concerning torsional deformations. In particular, the related boundary conditions are examined for the case of a Cardan joint. The buckling configurations of a rod under tension and torsion, constrained at both ends by Cardan joints, are determined by the linearized form of the above theory and compared with previous findings about the rod with cylindrical end hinges.

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Sommario La teoria non lineare della verga elastica rotonda è compendiata in un'equazione vettoriale che esprime le proprietà della deformata flessionale inestensionale: le associate condizioni al contorno includono le proprietà torsionali della verga. In particolare si considerano le condizioni ai limiti per deformazioni finite nel caso di vincolo con giunto cardanico. Per la verga con giunti cardanici ai due estremi, soggetta a trazione e torsione si determinano le configurazioni critiche.

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Post-graduate Student, Department of Structural Engineering, Politecnico di Torino.

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Professor emeritus, Department of Structural Engineering, Politecnico di Torino.     

Vibrations,stability and general solution for the duffing and other non linear equations

Summary A general procedure is developed in order to calculate the vibratory motions of non linear systems with one degree of freedom. The vibration is considered as an infinite sequence of increasing and decreasing half-waves, for each of wich time and deplacement are considered as initial data, with initial velocity zero. Recurrent formulae giving the initial data for each half-wave as a function of those relative to the preceeding half-wave are calculated. This procedure is applied to the Duffing equation and leads to study of the powers of a matrix, whose behaviour, when the exponent goes to infinity, determines the character of stability or instability or asymptotic periodicity of the solution.

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Sommario Viene impostata una metodologia generale atta a calcolare i moti vibratori dei sistemi non lineari con un grado di libertà. Il moto vibratorio viene considerato come una successione infinita di semionde crescenti e decrescenti, per ciascuna delle quali il tempo e lo spostamento vengono considerati come dati iniziali, con velocità iniziale nulla. Vengono poi ricavate le formule ricorrenti che forniscono i dati iniziali di ogni semionda in funzione di quelli relativi alla precedente. Il procedimento viene applicato alla equazione di Duffing e porta allo studio delle potenze di una matrice, il cui comportamento quando l'esponente tende ad infinito determina il carattere di stabilità, o instabilità, o periodicità asintotica della soluzione.

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This research was conductes as an activity of the Italian Research Council, C.N.R., G.N.F.M.     

On wave propagation in thermoelastic solids whose polarization quadric is an ellipsoid of revolution

Summary The propagation of plane waves of first and second order is considered for a thermoelastic solid characterized by Tolotti's isothermal potential. The variation of their amplitude in the time is also studied. In particular, thermodynamic influences on the behavior of the first order waves as well as the case when these plane waves are material surfaces are examined.

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Sommario Si studia la propagazione di un'onda piana sia del primo che del secondo ordine in solidi termoelastici comprimibili assumendo il potenziale isotermo proposto da C. Tolotti. Si determina inoltre la variazione nel tempo dell'ampiezza delle onde. In particolare per l'onda del primo ordine si esaminano le influenze termodinamiche sul fenomeno e si considera la possibilità che la superficie di discontinuità sia materiale.

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Work performed under the auspices of: Gruppo Nazionale perla Fisica Matematica del CNR presso l'Istituto di Matematiche Applicate U. Dini della Facoltà di Ingegneria dell'Università di Pisa.     

Stefan — like problems with space — dependent latent heat

Summary A wide class of one-dimensional heat conduction problems with phase change is considered on the assumption that the latent heat is a given function of the position of the separation plane between the two phases: L=[s(t)].Some sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution in a given time-interval are given. This work permits the generalization of some previous results and the investigation of some cases of particular interest.

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Sommario Si studia una vasta classe di problemi di conduzione unidimensionale del calore in presenza di cambiamento di fase, nel caso in cui il calore latente sia funzione della posizione del fronte di separazione tra le due fasi: L=[s(t)].Si trovano delle condizioni sufficienti per l'esistenza e la unicità della soluzione del problema in un certo intervallo di tempo; si mostra infine che la trattazione permette di generalizzare risultati già noti e di estendere lo studio a casi di particolare interesse.

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Work performed within the Research Group (Grant. no. 115.2210) of the C.N.R.