例析求不等式最佳系数的常用策略

不等式是高中数学的重要内容,题型灵活多变,对学生的思维能力要求较高.其中有一类已知含参数的不等式恒成立,求参数的最值(或范围)问题,称为求不等式最佳系数问题.这类问题频频出现于高考、竞赛、质检试题中,综合性强,充分考查学生数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想.本文以几道高考和竞赛试题为例,分析处理这类问题的常用策略,探寻破解之道.     

例谈含参数的绝对值不等式问题及其解法

<正>含参数的绝对值不等式问题,通常出现以下三种题型:已知恒成立或存在性条件求参数的值或范围,已知两个函数图像围成的区域大小或形状求参数的值或范围,含参数的绝对值不等式证明.下面结合例子给出了这三种题型的解法,为学生的系统复习做些准备.1已知恒成立或存在性条件求参数的值或范围例1 (2017年高考全国卷Ⅰ·文理23)     

一道高考试题的多重视角探究与变式拓展

<正>平面向量具有代数与几何的双重身份,是沟通代数与几何的桥梁,堪称数与形的完美结合.它是中学数学知识网络重要的交汇点,在高考中常以模为载体出现.下面结合一道典型试题,多视角分析与求解,来谈谈处理含有模的向量最值问题的几种常用方法.     

一道解析几何综合题的探究

涉及平面解析几何中的最值(或取值范围)问题是高考中的一个创新点与难点,考查形式变化多样,常考常新.结合一道解几背景下最值问题的求解,从不同思路展开,采用不同技巧方法解决,开拓数学思维,提升试题的宽度与厚度,有效指导数学教学与解题研究.     

解析线性规划新题型

线性规划内容是新教材新增加的内容，是近几年来高考的热点问题，几乎每份高考试题都有相关的试题，经过几年的考察，其试题已从简单的求线性目标函数的最值，平面区域的面积，加深到求参数的值和范围、构造解析几何模型求非线性目标函数的最值，现在更是出现了与代数的向量、概率、三角函数、函数相结合的新题型，下面举例说明．     

巧用七招 突破最值

最值问题一直是高考试题中的一个热点,几乎年年都有所涉及.求最大(小)值问题,绝大多数都可转化为不等式问题.本文总结了解决最值问题的七个常用模型.     

一道题的多视角求解

<正>2015年蚌埠市第二次质检考试数学理科有这样一道试题.试题平面向量(a|→),(b|→)满足|2(a|→)-(b|→)|=1,|(a|→)-2(b|→)|=1,则(a|→)·(b|→)的取值范围是____.该试题考查了平面向量数量积公式以及函数与不等式有关知识,考查了数学中的化归转化思想.根据题意,可将问题进行多元表征,进行多途径求解.     

平面向量与解析几何知识的交汇

平面向量与解析几何的交汇试题是近几年高考试题的一个热点．其主要考查方向有：①直线的夹角转化为向量的夹角(注意范围的区别)；②线段的长度(或距离)转化为向量的模的问题；③两直线的位置关系：相交、平行、垂直,分别转化为向量的不共线、共线、垂直来分析；④有关的轨迹方程(或轨迹)可以应用平     

探求2006高考数学创新试题的来源

纵观近年各个省市的高考数学试卷发现,每年都有创新试题出现,这些试题从何而来?2006年的数学创新试题又来自何方呢?一、推陈出新,是谓创新例题1.(06上海理12)三个同学对问题“关于x的不等式x2 25 |x3-5x2|≥ax在[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说:“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图像”.参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a的取值范围是.解析:采用乙说的思路.…     

向量恒成立问题的图式与数式策略

<正>高考向量题恒成立问题多考查向量的几何属性——模的最值问题,和向量的数量属性—数量积的最值问题,它们往往能转化为运用点点距离,点线距离,点面距离有关最值来求解,即转化为图式处理,也可转化为数式处理,即利用函数与方程或不等式求解,数形结合,相得益彰.基本图式1平面几何中,垂线段最短.如     

创新背景,巧妙设置——一道向量题的探究

平面向量是高考中的基本知识点之一,以平面向量为背景的多元代数式的最值问题,是其中的一个创新与应用.借助平面向量的“数”的性质,进行合理变换与代数运算,通过平面向量与函数、方程、不等式、换元等交汇与融合,实现知识的交汇与应用,总结规律,拓展应用,引领并指导数学教学与解题研究.     

一道期末试题的背景揭示与破解研究

以拉格朗日乘数法为背景命制的二元最值问题历来是高考和竞赛考查的热点问题.试题一般是函数、方程与不等式知识的综合应用,难度较大.消参减元转化是解决这类问题的基本原则,初等解法可从方程有解,函数最值(三角代换或导数),不等式(如重要不等式、基本不等式、柯西不等式),几何直观等途径寻找解题突破口,解法灵动多变,妙趣横生.     

谈导数在研究函数问题中的应用

<正>导数是研究函数性质的重要工具,它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、以极值最值为载体求参数的取值范围,这些都是高考的重点,也与不等式、方程等知识进行综合考察.类型一:运用导数解决函数的最值问题例1 (2017年北京卷)已知函数f(x)=e^xcosx-x.     

解析线性规划新题型

线性规划内容是新教材新增加的内容,是近几年来高考的热点问题,几乎每份高考试题都有相关的试题,经过几年的考察,其试题已从简单的求线性目标函数的最值,平面区域的面积,加深到求参数的值和范围、构造解析几何模型求非线性目标函数的最值,现在更是出现了与代数的向量、概率、三角函数、函数相结合的新题型,下面举例说明.例1设O为坐标原点,A(1,0),点P(x,y)满足x y≤10,x-y≤2,2x≥7,则|OP|cos∠POA的最大值为()(A)4.(B)27.(C)6.(D)3.图1例1图分析本题的目标函数与平面向量、三角函数有关,如果对向量的模及三角函数的定义掌握得好,则可转…     

对两道平面向量最值题的探究

本文以2020年高考中的两道平面向量最值题为例,分析试题的解法,并对背后隐藏的本质进行思考、探究,总结出一般性规律.     

一道高考导数题的思考与探索

函数与导数及其应用在高中数学的学习中占有举足轻重的地位,并且与其他知识点融合性强,近几年的高考中,对函数与导数及其应用的考题屡见不鲜且常考常新,较为全面地考查了数学学科核心素养.含参数的不等式恒成立,求解参数范围,解题的一个基本方法是以函数的视角来考虑与解决问题,本质上是将其转化为函数最值或函数值大小比较的问题.本文以2020年新高考I卷(山东卷)数学第21题为载体,探讨含参不等式恒成立问题中参数范围的常见解题策略.     

基于向量最值(或范围)问题的解题教学

<正>平面向量的范围与最值问题是热点问题,也是难点问题.此类问题综合性强,体现了知识的交汇整合,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如,向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等;解决思路是建立目标函数的解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼有“数”与“形”双重身份,故平面向量的范围与最值问题的另一种思路是数形结合.     

突出数学本质彰显课程理念——对2009年高考数学湖北卷的评析

2009年湖北省高考数学理科试题(以下简称"试题"),体现新课程理念,按照高中数学教材和考试大纲的精神命题,着重考查了高中数学的主干知识:函数、数列、导数、不等式、立体几何、解析几何、平面向量、概率与统计等.覆盖面较广,内容丰富,试题难度及试题结构比较稳定.     

不等式恒成立问题

<正>高中数学中恒成立问题是一个广阔的课题,它涉及很多的数学知识和思想方法,从现在高考试题中对恒成立的热点,主要包括以下三种:一、含参立求参数范围问不等式恒成立问题;二、方程恒成立问题;三、函数恒单调问题.1.分离参数此方法适用于不等式中参数和主元可分离的情况,方法要点是:把参数项和主元项分别移到不等号的两边,再转化为函数求最值     

浅谈用“坐标法”求解数量积问题

<正>平面向量的数量积作为平面向量知识中的重要内容,一直是高考数学的热点和必考内容之一.题目涉及到数量积定义的考查,以及综合方程、不等式、三角函数、解析几何等内容,对数学思想的考查.求解此类问题,可以有以下三种思路:一