一个命题的再推广

在圆中有结论：如图1,设AB是⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别相交于C、D.则OP2=PC·PD.     

圆锥曲线切线的一种几何作法

<正>在平面几何学习的过程中,往往可以将圆中的一些典型问题推广到椭圆,进而再类比到双曲线和抛物线,充分体现了这些圆锥曲线的内在联系和统一性质.题目(2015年全国高考新课标卷第22题(1))如图1,AB为⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线.由圆的几何性质不难证明直线DE与圆O相切于点E,再回首,发现此题蕴含着圆上任一点处的切线的一种作法,     

数学问题解答

2011年3月问题解答 (解答由问题提供人给出) 1991两定等圆⊙A和⊙B相交于M和N点,AB与MN相交于O点,PQ是⊙A的一条直径,连OP和OQ相交于⊙B于C和D点,连BC和BD与PQ相交于E和F点.     

圆上的几个结论在椭圆上的推广

本文用初等的方法把圆上的几个结论推广到椭圆上去 .为了节省篇幅 ,文中只证明椭圆上的结论 ,圆上结论的证明省略 .文中的a ,b都大于 0 .结论 1　AB是⊙O的直径 ,AC切⊙O于A ,BC交⊙O于P ,PD切⊙O于P交AC于D ,则D是AC的中点 .图 1结论 1′　如图 1 ,AB是椭圆x2a2 + y2b2 =1的长 (短 )轴 ,AC切椭圆于A ,BC交椭圆于P ,PD切椭圆于P交AC于D ,则D是AC的中点 .证明　设切点P(m ,n) ,则切线PD的方程为b2 mx+a2 ny=a2 b2 ,①直线BC的方程为y=nm -a(x-a) ,②切线AC的方程为x=-a . ③联立②、③ ,可得C( -a ,2naa-m) ,从而AC的中…     

圆锥曲线的一类切线的几何画法

下面是一个关于圆的切线判定的平面几何命题 :如图1所示 ,AB是⊙O的直径 ,EB是⊙O的切线 ,直线EA交⊙O于点D ,A ,点C是线段BE的中点 ,那么 :DC是⊙O的切线 .这个命题不仅给出了圆切线的一个几何画法 .而且可引伸出圆锥曲线的一类切线的几何画法 .本文以命题的形式介绍这种方法 .图 21　椭圆切线的一个几何画法命题 1　如图 2所示 ,AB是椭圆的长轴 ,过B的直线l⊥AB ,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点 ,直线AD交直线l于点E ,点C是线段BE的中点 .则DC是椭圆的切线 .证明　如图 2 ,建立直角坐标系 ,设椭圆图方程是x2a2 + y2b2 =1…     

不断开发创新 智取线段比值

题目如图1,直线上按顺序有4个点 A、B、C、D,且AB:BC:CD=2:1:3．分别以AC、BD为直径作⊙O1、⊙O2,两圆交于 E、F,求ED:EA的值．该题图形匀称优美,数据生动活泼．     

圆的切线性质在圆锥曲线上的推广

在平面几何里,关于圆的切线有如下结论: 如图1,设AB为⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别交于点C、D.则 (1)OP2=CP·PD; (2)△CPO∽△OPD∽△COD; (3)OP.DC=DO2,CP·CD=CO2; (4)CO2+DO2=CD2. 本文拟将以上结论推广到圆锥曲线.     

从两圆的内、外公切线的长谈起

首先从两圆的外公切线的长谈起。1.(1) 如图1,已知:⊙O和⊙O_1外切于D.AB是两圆的外公切线,A、B是切点,连心线OO_1交⊙O于F、交⊙O_1于C.设两圆的半径分别为R、R_1(R>R_1),求证:AB~2=4RR_1(=CD·DF)。     

再论圆周向量定积定理

文[1]中提出了“圆周向量定积定理”:设⊙C的半径为R,其同心⊙C′的半径为R′,R>R′,M是⊙C上的动点,AB是⊙C′的任一直径(如图)1),那么MA·MB=R2-R′2.文[2]将该定理改进为:设AB是半径为R的⊙O上的两点,M是平面上任意一点,如果AB是⊙O的直径,则MA·MB=MO2-R2.本文主要讨论该定理的逆定理是否成立,即:AB是半径为R的⊙O上的两点,M是平面上任意一点,如果MA·MB=MO2-R2,则AB是否一定是⊙O的直径呢?分析当M与A点或B点重合时,由于“MA·MB=MO2-R2”是一个恒等式,故AB一定是⊙O的直径.当M与A点及B点都不重合时,我们分M…     

一道全国初中数学联赛试题的解法探析

<正>1.原题(2005年全国初中数学联赛初赛)如图1,AB是⊙O的直径,AB=d,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连结OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长.2.巧添平行线,转化线段比思路要求AE的长,可转化为求AE/AC     

一道中考题的多种证明和拓展

<正>题目(2016·江西)如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC于点F,交过点C的切线于点D.求证:DC=DP;一、本题的多种证明证法1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

从一道中考试题谈如何求线段长

本文结合2012年北京市中考数学试卷第20题的多种解法谈谈求线段长的方法.题目已知:如图1,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,联结BE.     

初三几何第二学期自测题

一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .△ABC中 ,AB =1 3 ,AC =5 ,BC =1 2 ,则△ABC的外接圆直径为 .2 .圆的半径为 5 ,圆中一条弦的弦心距为 4,那么这条弦长为 .3 .已知⊙O的半径为 5cm ,圆心O到直线AB的距离为 5cm ,那么直线AB与⊙O的位置关系为 .4.正六边形的半径与边心距之比为 .5 .半径为 6cm的圆中 ,长为πcm的弧所对的圆周角为 .6.如图 1所示 ,EF是⊙O的弦 ,P是EF上一点 ,EP =5 ,PF =4,OP =4,则⊙O的直径是 .7.如图 2所示 ,PA是⊙O的切线 ,A为切点 ,PBC是过点O的割线 ,PA =4cm ,PB =2cm ,则⊙O的面积为.8.已知⊙…     

一道竞赛试题的研究性学习

2007年第4届中国东南地区数学奥林匹克竞赛的第2题如下:如图1所示,设C、D是以O为圆心,AB为直径的半圆上的任意两点,过点B作⊙O的切线交直线CD于P,直线OP与直线AC、AD分别交于E、F.证明:OE=OF.     

一道竞赛几何题的证明及变式

<正>题目(2014年中国西部数学邀请赛第2题)如图1,已知AB为半圆⊙O的直径,C、D为AB上的两点,P、Q分别为△OAC、△OBD的外心(两个外心都在各自三角形内).证明:CP·CQ=DP·DQ.证明法一如图2,分别连接AP,OP,AD,BQ,OQ,BC.∵C在AB上,∴OA=OC,且BC⊥AC(AB为半圆⊙O的直径).∵P为△OAC的外心,∴AP=CP=OP,且OP⊥AC.∴OP∥BC,     

调和点列的一个性质

<正>如图1,A、B、C、D为同一直线上的四点,若AB·CD=BC·AD,则称A、B、C、D构成调和点列^[1].一、性质如图2,A、B、C、D是一组调和点列,P是以AC为直径的⊙O上一点(A、C除外).则PC平分∠BPD.证明如图3,延长PB交⊙O于E,ED交⊙O于F,连结CD、EC、AF、AP、FC、AE,有     

判定直线与圆相切的办法

<正>一、已知条件中直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,则可直接根据"经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线"来证明.图1例1如图1,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,点D为AB延长线上一点,连接CD,且∠OCA=25°,∠D=40°.判断直线CD与⊙O的位置关系,并证明你的结论.解直线CD与⊙O相切.理由如下:∵OA=OC,∠OCA=25°,∴∠A=∠OCA=25°.又∵∠DOC是△AOC的外角,∴∠DOC=∠A+∠OCA=25°+25°=50°.在△DCO中,∵∠D=40°,∠DOC=50°,     

一道关于切线与直径的试题的多证和拓展

<正>2016年江西省中考数学第18题.如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC︵于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;(2)略.本文拟对该题进行多种证明,并且把切线变为割线和分裂直径AB为平行且相等的弦拓展该题.一、原中考题的多种证明证明1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

探究一道中考选择题的解法

题目(2014年湖北武汉)如图1,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点.若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是().A5(1/2)3/(12)B.12/5C.3(1/2)(13)/5D.2 (1/2)(13)/3分析:此题以圆的一个基本图形为背景设置,内涵十分丰富:PA=PB;连接OA、OB,则∠OAP=∠OBP=90°;连接OP,则OP平分∠APB;连接AB,则OP垂直平分AB……     

一道中考题的解构与多解分析

<正>1试题呈现(2023年宜宾中考)如图1,以AB为直径的⊙O上有两点E,F,■,过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求证:EM=EN;(3)如果N是CM的中点,且AB=9(5)^1/2,求EN的长.