有“圆”千里来相会

<正>2021年全国各地的中考数学试卷出现了这样一类题:题干条件中明明没有提及任何与"圆"相关的字眼,但在解题过程中构造辅助圆往往可以化难为易,起到事半功倍的良好效果.我们把这样一类问题称之为"隐圆"问题.1 "隐圆"模型有"圆"千里来相会,"隐圆"问题的突破口就在于根据已知条件构造出解题所需的"辅助圆".有的"隐圆"问题形式虽然复杂,但基本都是在以下四种基本模型(如图1所示)的基础上变化而成的.     

透过现象看本质——“隐圆”问题探究

<正>圆是高中数学一种重要的曲线,在一些与圆有关的题目中,条件没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题设中.通过题意的分析发现圆(或圆的方程),从而可以利用圆的相关知识求解问题,我们称这类问题为"隐圆"问题.这类题目构思巧妙,综合性强,充分考查了数形结合、转化和化归等数学思想,处理这类题目关键在于能否把"隐圆"找出来.下面我们结合以下例题探讨几类常见类型的"隐圆".     

利用“辅助圆”解竞赛题

在解题过程中,常常会遇到这样一种情形:已知问题的原貌未必是与圆有关的问题,但如果能恰当巧妙地构造或引设——辅助圆,并通过对所添设的"辅助圆"及其性质的探究,使得问题化难为易,避繁就简,达到出奇制胜,事半功倍之效应.下面举例说明"构造辅助圆法"的几种策略,供读者参考.     

与圆有关的最值问题

<正>与圆有关的最值问题大多由动点而产生,找出动点(相应动线)的某个特殊位置,常常能确定最值.2014年各地的中考试题有些将圆的知识与最值问题综合起来考查,我们可以采取"谋定而后动"的策略,通过考察"特殊位置"来解题.1.通过定点与圆心连线与圆的交点求出定点到圆上动点距离之最值     

“共顶点变换”破解近年广州中考压轴题

近年来广州中考几何压轴题对"等线段共顶点"问题"情有独钟".在2016年中考第25题中以圆与等腰直角三角形为背景首次出现,2018年中考第25题中以四边形为背景独立出现,如今2020年中考第24题中以圆与等边三角形为背景再次出现,并以创新方式融入了对最短路径的考查,使之一再成为中考备考的热点问题.     

看似无圆 实则有圆

<正>有一类题目条件中没有直接给出圆的相关信息,需要通过对条件进行表征而得出一个圆(或圆的方程),从而最终可以用圆的知识来解决,这类问题我们把它称为"隐形圆"问题.如何发现隐形圆(或圆的方程)是解决这类问题的关键,针对此类问题,让学生熟悉生成"隐形圆"的一些常见条件,对迅速找到解题的突破口是很有帮助的.本文通过剖析近年来的一些高考题和模拟题,谈谈发现"隐形圆"的常用策略,期望对读者有所启发和帮助.     

圆中几类主要问题的求解策略

圆是解析几何中既简单又重要的基本曲线.圆所涉及的问题很多,但以圆和与圆有关的轨迹方程问题、直线(圆)与圆的位置关系问题、最值问题、范围问题、圆与其他内容交汇问题为重点,而且也是高考的重点,因此,应该掌握这些问题求解的基本策略.     

对波莱尔关于“泰勒展开一般以收敛圆为割线”思想研究

"泰勒展开是否以收敛圆为割线"问题是解析开拓理论研究的重要课题,但对此国内外尚无全面细致地研究.鉴于此,以原始资料为依据,围绕法国数学家波莱尔(E.Borel)关于此方面的工作,分析了波莱尔关于"泰勒展开一般以收敛圆为割线"的思想来源,探讨了其思想的演变过程和在当时及以后的重要影响.     

巧用数形结合，培养核心素养——以“圆的位置关系”解题教学为例

圆的位置关系是初中数学教学的主要内容,需充分关注到点与圆、直线与圆、圆与圆、圆与其他图形的位置关系,在解决位置关系的问题时,需充分了解其常规的位置关系及其转化方法,以实现与圆有关的位置关系问题的高效解决.     

一类几何题看似无圆却有圆

<正>初中数学学习中,我们往往会遇到求最大值或最小值问题,所使用的知识点通常有:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;两点之间线段最短;垂线段最短.初三学习了圆这一章,经常用"圆外一点到圆上各点距离最大和最小的线段必经过圆心"这个结论来求最值.在我们所见到的问题中,其中有一类几何题看起来与圆无关,但若能根据问题的条件,图形的特点挖掘隐藏的圆,则可利用圆的知识巧妙解决.     

关于与坐标轴交点个数的多解题

<正>平面直角坐标系架起数形结合的桥梁,使得我们可以用代数的方法研究几何问题,也可以用几何的方法研究代数问题.因此许多以直角坐标系为背景的试题成为考试的热点,其中有一类涉及"抛物线或圆与坐标轴交点(公共点)个数"产生的多解题成为考试命题的亮点,值得关注.一、圆与坐标轴恰有三个公共点产生的多解题     

对一道高考题的深入探究

在新课标教学大纲中,对解析几何的要求明显降低,并且在解析几何的教学要求上偏重于直线与圆的方程(要求"理解"和"掌握"),由于高考综合题对圆的内容的考查集中在圆的方程、直线与圆以及圆与圆的位置关系上,且大都是中档题,考查的知识与方法侧重于最基础的,所以建议高三复习时,只有采取"小题大作",熟练掌握在各种题设下求圆的方程的方法,直线与圆、圆与圆位置关系的判断,才能真正收到"大题化小,小题化了"的效果.     

蒙日圆的标准方程及正逆应用

<正>画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日研究发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.我们先来导出一般情形下"蒙日圆"的标准方程.蒙日圆的标准方程     

例析用好数形结合方法

<正>1.方程换圆的问题中学数学研究的对象可分为两大部分,一部分是数.一部分是形,但数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合,或形数结合.同学们要学会的一种方法是把代数问题翻译成几何问题,使用几何知识解决实际问题,下面主要讨论"与方程相关的代数问题"化为"圆相关的几何问题",希望同学们用好这种方法.     

例析“辅助圆”的作用

<正>部分初中几何综合题,如果能根据题目的本质特征恰当构造辅助圆,既能巧妙地利用"同弧所对圆周角是圆心角的一半,同弧所对的圆周角相等"求角,也能利用"圆外一点与圆上各点之间的最长距离是这点到圆心的距离与半径的和,圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差",从而突破线段最值问题.     

2012年中考专题复习(2)——“三角形、角与相交线、平行线”

"三角形、角与相交线、平行线"是研究直线型的图形常见的内容,它们之间有着紧密的联系.1.以三角形为载体把平行线的性质和角的知识融合在一起,解决三角形全等问题.它们也是研究"全等三角形、相似三角形、四边形、圆"等其它知识的工具和基础,将有关的计算问题、推理论证问题,转化为这几类知识点来解决.2.借助角来研究平面内两条直线之间位置关系以     

巧添辅助圆 妙解最值题

<正>最值问题是中考热点也是难点.在最值问题中,以圆为背景命制的题目难度较大,尤其是一些平面几何综合类题目以隐圆的形式呈现,难度大、失分率高.查阅近几年的中考试题,部分选择和填空压轴的最值题以隐圆为背景命制,这些题型看似高深莫测,实则有迹可循.为此,本文以中考隐圆最值题型为载体,通过巧妙添加辅助圆解决圆中的最值问题,期望为同学们快速解答压轴题提供方法上的指导.     

以圆为载体的存在性问题

<正>在高中数学中,直线与圆内容基础,解答方式多样,下面就以圆为载体的存在性问题与大家交流,共享.一、从最值角度处理圆的存在性问题例1在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x²+y2+y²-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是__.分析假设直线y=kx-2上至少存在一     

构造辅助圆证明代数不等式

有些代数问题,若能充分根据题设条件及其数量特征,巧妙地构造辅助圆,则可利用圆的知识,使所给问题在辅助圆下实现转化,从而使问题获得解决.本文以具体例子谈谈构造辅助圆证明代数不等式问题.     

百密不疏防漏解

同学们在学习了圆的知识后,在解与圆有关的问题时,常常由于没有仔细审题造成漏解.为此特将与圆有关的问题作如下小结.