函数不等式e~x≥x+1及其变形在高考压轴题中的应用

1.不等式ex≥x+1(x∈R)的证明记f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1.令f′(x)=0得x=0,当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,∴f(x)在R上的最小值为f(0)=0,∴ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时等号成立.     

例谈平方法求函数最值

<正>在求函数最值时,有时可以先将等式两边平方,通过求y²=f2=f²(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y2(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y²=(1+cosx)2=(1+cosx)²·sin2·sin²x/2     

此类“抽象函数”竟是“具体函数”

最近办公室里“吵得不可开交”,“罪魁祸首”是下面这道月考题:题1函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的想x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5.(1)求f(2)的值;(2)解不等式f(m-2)≥3.参考答案:(1)因为f(4)=f(2+2)=2f(x)-1=5,所以f(2)=3.     

由一道高考题引发的探索与思考

1 问题出现 孰是孰非 高考结束的第二天,班里平时爱动脑筋的学生甲来问笔者:“李老师,12题怎么做?”作为最后一道选择题,此题必有含金量,笔者极为重视. 题1(2015全国理Ⅱ-12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x＞0时,xf'(x)-f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是() A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 笔者的解答是:由题意,设h(x)=f(x)/x,则h'(x)=xf'(x)-f(x)/x2.由于f(x)(x∈R)是奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=0,f(0)=0,函数f(x)有这三个零点.显然h(x)是偶函数,由于xf'(x)-f(x)＜0,故当x＞0时,h'(x)＜0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此,h(x)在(-∞,0)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时,h(x)=f(x)/x＜0,f(x)＞0;当x∈(-1,0)时,h(x)=f(x)/x＞0,f(x)＜0;当x∈(0,1)时,h(x)=f(x)/x＞0,f(x)＞0;当x∈(1,+∞)时,h(x)=f(x)/x＜0,f(x)＜0.故综上,x∈(-∞,-1)∪(0,1),选A.     

让抽象函数现“型”

<正>有这么一道小题:已知函数y=f(x)(x∈(0,+∞))满足x,y∈(0,+∞),都有f(x·y)=f(x)+f(y)-1,且f(1/2)=0,求f(8).大部分同学会根据题中的条件用特值法先求出f(1)=1(令x=y=1),再求出f(2)=2(令x=2,y=1/2),进而求出f(4)=3,最后求出f(8)     

试题研讨(21)

题目　( 2 0 0 3年南昌市高三第二次调研测试题)设函数f ( x)是定义在[- 1 ,0 )∪( 0 ,1 ]上的奇函数,当x∈[- 1 ,0 )时,f ( x) =2 ax 1x2 　( a为实数) .1求当x∈( 0 ,1 ]时,f ( x)的解析式;2若f ( x)在区间( 0 ,1 ]上为增函数,求a的取值范围;3求f( x)在x∈( 0 ,1 ]上的最大值.命题溯源　本题研究了函数y =2 ax -1x2 的单调性及最值,2 0 0 2年天津市高中质量调查理科第1 9题与2 0 0 3年合肥市高三抽样测试第2 2题都涉及此类问题.原解思路　1设x∈( 0 ,1 ],则- x∈[- 1 ,0 ) .又f ( x)为奇函数,则f ( x) =- f ( - x) =- [2 a( - x) 1( -…     

函数零点近似值的探求策略

新课改使学生接触到很多实际问题,而问题的解决往往求助于解方程,对于无公式且不能因式分解的方程,比如超越方程,学生感到束手无策.方程求解也即求函数零点,教材介绍了二分法.为了扩大学生的视野,帮助学生更好地解决实际问题,本文介绍几种零点近似值的探求方法.一、二分法例1求函数f(x)=lnx 2x-6在区间(2,3)内的零点(精确度为0.01).解:设函数f(x)在(2,3)内的零点为x0,用计算器计算得:f(2)<0,f(3)>0x0∈(2,3);f(2.5)<0,f(3)>0x0∈(2.5,3);f(2.5)<0,f(2.75)>0x0∈(2.5,2.75);f(2.5)<0,f(2.5625)>0x0∈(2.5,2.5625);f(2.53125)<0,f(2.5625)>0x0…     

分割区间来解题,也是一种好方法!

高考题1(2010.福建.理.15)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论:①对任意m∈Z,有f(2m)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④"函数f(x)在区间(a,b)上单调递减"的充     

2012年高考主观题训练题

题目1已知向量a=(sin x,cos x+sin x),b=(2cos x,cos x-sin x),x∈R,设函数f(x)=a.b.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值及相应的自变量x的取值集合;(Ⅱ)当x0∈(0,π8)且f(x0)=4槡25时,求f(x0+π3)的值.命题意图本题主要考查二倍角公式、两角     

对2016年一道高考函数压轴题的思考——论二次求导的作用

1 题目(2016 四川理-21) 设函数f(x) =ax2-a-lnx,其中a∈R. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)确定a的所有可能取值,使得f(x)＞1/x-e1-x在区间x∈(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).     

一道高考题的背景溯源

2005年上海春季高考有这样一道题:已知函数f(x)=x+xa的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+22,设P是函数图像上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N,(1)求a的值(2)问题|PM|·|PN|是否为定值,若是,则求出定值,若不是,则说明理由.(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN的面积的最小值图一溯源我们知道:“双曲线上的任意一点到两渐近线的距离之积为定值”.与以上的命题是否有牵连?经探讨,答案是肯定的.即有以下的命题命题函数f(x)=x+xaa∈(0,+∞)的图像是双曲线图二证明设P(x,y)是函数f(x)=x+xa图像上的任意一点,将向量OP向顺时针…     

无穷积分敛散性的一个新的判别法

华东师大1985年研究生入学试题中有一题[1]:设f(x)在[1,+∞)上连续,对任意 x∈[1,+∞)有f(x)>0,又 limx→+∞lnf(x)lnx=-λ,试证:若λ>1,则∫+∞1f(x)dx收敛.先对该试题作一推广成定理1,再推广成定理2,得到无穷积分敛散性的一个新的判别法.定理1　若f(x)在[1,+∞)上连续,对任意x∈[1,+∞)有f(x)>0,且 limx→+∞lnf(x)lnx=-λ,又(1) 若λ>1 (包括λ为+∞),则∫+∞1f(x)dx收敛;(2) 若λ<1,则∫+∞1f(x)dx发散;(3) 若λ=1,则∫+∞1f(x)dx可能收敛也可能发散.证(用比较判别法)　因 limx→+∞lnf(x)lnx=-λ,所以对 ε>0, X>1,当 x>X时有-λ-ε<…     

极值点偏移问题中另解引发的深度思考

1.典型例题常规解答例。1已知实数m>1,f(x)=e^mx-x-m有两个零点x₁,x₁,求证:x₁+x₁<0.证明f′(x)=me^mx-1,令f′(x)=0,得x=1/min1/m.为叙述简便,记x₀=1/min1/m,因为m>1,所以x₀<0.当x∈(-∞,x₀)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x₀,+∞)时,fv(x)>0,f(x)单调递增.     

极端原理的应用

<正>我们往往在导数的压轴题中会碰到这样的问题:x∈(a,+∞)时,f(x)>0并且f(a)=0,我们能够得到一个必要条件,那就是f′(a)≥0,根据这个不等式求解出参数的初步范围,之后我们进行充分性的讨论.这就利用了导数的极端原理来解题.请大家具体看下面的题目.     

分类转化法巧解高考题

<正>2018年的高考已经结束,我们陕西继续使用全国Ⅱ卷.学生反映导数题的第二问看似简单,但是实际做起来很难证明,感觉答案看起来也有点难理解.经过探究我尝试着利用分类转化思想给出了另外一种解法,请看:原题已知函数f(x)=e~x-ax~2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.     

引导探究考题 优化思维品质——从一道函数高考题谈起

题目:设a∈R,函数f(x)=2x2+(x-a)x-a.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不要给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.本题以学生熟悉的二次函数为载体,综合考查函数     

求证f(x)>g(x)的四种情形

<正>求证f(x)>g(x)是高考中经常出现的问题,大家直接想到的是通过作差构造新函数h(x)=f(x)-g(x)找到f(x)>g(x)的充要条件,但有时由于h(x)的单调性很难确定,往往陷入困境.所以有时我们要找到f(x)>g(x)的充分条件,即通过最值之间的比较.本文意在通过四道例题将求证f(x)>g(x)的所有情况细分开来归纳成四种情形.     

一道模拟试题的复习导向

模拟考试题不仅要检测学生的学业水平,还应当为学生指明复习的方向·2009年汕头市一模试题就具有这样的功能·以下分析第21题·1试题设函数f(x)=x-ln(11++xx),(x>-1)·(1)令N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x),证明N(x)在x>-1上是单调递增的,并求N(0);(2)求f(x)在定义域上的最小值;(3)是否存在实数m、n满足0≤m-1时,N′(x)=2(x+1)+11+x>0,所以N(x)在x>-1上是单调递增,N(0)=0·(2)事实上,f′(x)=1-1-ln(1+x)(1+x)2=(1N(+xx))2,由(1)知,当-10时,f′(x)>0,所以在-10时,f(x)递增·所以,fmin=f(0)=0·(3)由(2)知f(x)在[0,+∞)上是单调增函数·若存在,则必有f(m)=m,f(n)=n·也即方程f(x)=x在[0,+∞)上有两个不等的实数根m、n,而方程f(x)=x即为ln(11++xx)=0只有一个实数根x=0,所以,不存在实数...     

对一道习题的思考

本刊2000年第22期“高一同步测试题”有这样一道题：已知定义在尺上的奇函数f(x)满足f(x 1)=-f(x)，当x∈(0，1)时，f(x)=2^x，求f(Iog1/23)的值．参考答案解法如下。     

解决“导数大题中恒成立问题”的几种常用方法

<正>我们在导数这一章节中经常会碰到含参数的不等式恒成立,求参数范围的问题.具体的方法有很多:比如分离变量求函数的最值,或者直接求导并讨论函数的单调性,得到f(x)_(min)>0或是f(x)_(max)<0,或者局部分参之后利用切线,数形结合得到参数范围.这些方法都是解决不等式恒成立问题常用的.