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题目在平面直角坐标系xOy中,设A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点,若存在正实数λ,μ,使得→OC=λ→OA+μ→OB,则λ2+(μ-3)2的取值范 相似文献
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《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1 三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2 结论 1图结论 1 设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证 不妨设A在BC之间 ,若A ,… 相似文献
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命题1如果点O为空间任意一点,OP=αOA βOB(α,β∈R),其中α β=1是A,B,P三点共线的充分不必要条件.命题2对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=xOA yOB zOC(x,y,z∈R),则x y z=1是四点P,A,B,C共面的充分不必要条件.在教学中,这两个命题往往被错误地理解为充要条件.错误的原因是对空间向量共线定理的推论和空间向量共面定理的推论的理解中没有分清定理的条件和辅助条件而造成的.共线向量定理的推论如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任意一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式OP=OA ta… 相似文献
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一、利用向量可简化某些定理、公式的推导例1求证:cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ证:在单位圆中作向量OA,OB,与x轴正向的夹角分别是α、β,则点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则OA·OB=cosα·cosβ sinα·sinβOA·OB=|OA|·|OB|·cos(α-β)=cos(α-β)故等式成立.又如正弦定理、余弦定理、点到平面的距离公式用向量法证明,其证明过程也大大简化.二、向量使立体几何摆脱了纯逻辑推理,大大降低了求解难度用空间向量的知识和方法,使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题,用具体计算代替空间想象,可操作… 相似文献
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1问题提出如图1,若AC=λCB,则OC=OA+λOB/1λ.这个结论便是线段的定比分点的向量表达式笔者在研究向量的线性表示问题时,产生了将此结论推广到平面及空间的想法.于是提出了以下两个问题.问题1如图2,已知点M是不在△ABC三 相似文献
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定理 1 点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证 必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角… 相似文献
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易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1 简化向量式例 1 化简AB -AC +BD -CD .解 原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2 如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1 例 2图解 易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC … 相似文献
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性质 设OA、OB、OC是空间中的三个向量 ,如图 1 ,则有 :( 1 ) (Ⅰ )OA+ BC =OC+ BA(Ⅱ )OA+ CB =OB+ CA(Ⅲ )OC +AB =OB +AC图 1(按一定顺序对棱所表示的向量之和相等 )( 2 )OA· BC + OB·CA +OC·AB =0(空间中的三个向量 ,每一个向量与其他两个向量的差的数量积的顺序之和等于零 )证明 ( 1 )可由向量的运算性质直接得到 .( 2 )因为BC =BO+ OC所以OA·BC+ OB· CA+ OC·AB=OA·BO +OA·OC +OB·CA +OC·AB=OC· ( OA+ AB) + OB· ( CA+ AO)=OC·OB+ OB·CO= 0当OA、OB、OC是共线向量时 ,由 ( … 相似文献
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二、行列式例1实系数二元一次方程组a1x b1y=c1a2x b2y=c2(2.1)=c1c2(2.2)何时有唯一解?当它有唯一解时求出它的解来.解将方程组(2.1)写成向量形式:xa1a2 yb1b2在平面直角坐标系中取点A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2)则向量OA,OB,OC的坐标就分别是a1a2,b1b2,c1c2.方程(2.2)即xOA yOB=OC(2.3)解此方程,就是要将OC表示成OA,OB线性组合,求组合系数x,y.图1(2.1)有唯一解(2.3)有唯一解OA,OB不共线a1b2-a2b1≠0.将OB绕O沿顺时针方向旋转直角得到有向线段OB′如图1.则OB′=b2-b1.将OB′与方程(2.3)两边同时作内积,由于OB·OB′=0,可消去… 相似文献
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《全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第一册(下)》第106页给出了平面向量的基本定理:“如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量α,有且只有一对实数λ1、λ2,使α=λ1e1 λ2e2·”那么如何求λ1、λ2呢?本文试图给出几种在解题时经常用到的方法,与同学们共同探讨. 一、直接法通过几何图形,由向量e1、e2出发求得向量α,从而求出实数λ1、λ2. 例1 如图1,在△OAB的边OA、OB上分别取M、N,使OM:OA=1:3,ON:OB=1:4,设线段AN和线段BM交于P点,且设OA=α,OB=b,若OP=ta sb,求s、t的值. 相似文献
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1考点与命题1.1客观题考点分析1.1.1平面向量在几何方面的考查,一般是根据几何元素所具有的特性或向量满足某些条件来判定其他几何元素或向量所具有的属性.例1[全国卷Ⅰ(11)]点O是三角形ABC所在平面内一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的()(A)三个内角平分线的交点.(B)三条边的垂直平分线的交点.(C)三条中线的交点.(D)三条高线的交点.简解由OA·OB=OA·OC OA·(OB-OC)=OA·CB=0,即得选(D).例2[江西卷(6)]已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=5,若(a+b)·c=52,则a与c的夹角为()(A)30°.(B)60°.(C)120°.(D)150°.简… 相似文献
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在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴ cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山… 相似文献
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以c→=xa→+yb→形式引入,考查向量相关知识,很多同学感到很困难,它常与几何图形相结合,通过几个例子说明常见转化方法.一、变形,发现几何关系求解例1已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB→=1/3OA→+2/3OC→,则|AB→|∶|BC→|=.解∵OB→=1/3OA→+2/3OC→,∴OB→-OC→=1/3OA→-1/3OC→,得CB→=1/3CA→, 相似文献
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人教版全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第一册(下)P107.例5如图1,OA,OB不共线,AP=tAB(t∈R),用OA、OB表示OP.表示的结果为:OP=(1-t)OA tOB.容易证明OP=(1-t)OA tOB(t∈R)是三点A、B、P共线的充要条件,即有公共起点的三向量a,b,c,若c=λa μb且λ μ=1,则此三向 相似文献