几何证明选讲之“圆”的题根研究——从“圆周角定理”说起

几何证明选讲在人教版新课标教材中以选修内容出现,其主要内容之一是圆及其相关性质定理的应用,如"相交弦定理""线割线定理""割线定理""弦切角定理"等,高考对此部分内容的考查多以选择或填空及附加题的形式出现,试题难度不大,考查的知识点较为固定,本文以"圆周角定理"为根,就相关定理的推广应用,展开探究.题根:(圆周角定理)在同一圆上,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.证明:略.说明:由圆周角定理可直接得出结论:同弧所对的圆周角相等,这是圆最基本的性质之一,在此基础上我们可以直接或间接得出圆的其他相关性质定理.     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

张景中院士讲数学

三角形与圆几何图形中只有直线,多少显得单调.一旦出现了圆,就更加生动活泼,丰富多彩了.圆的性质很多,其中最重要的一条,是圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,它们都等于同弧所对的圆心角的一半.     

从直径人手解题

<正>圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,直径所在直线是它的对称轴,直径的中点是对称中心.与弦垂直的直径,平分弦及弦所对的弧;直径对的圆周角是直角.可见直径是圆中最活跃的因素,它是沟通弦、角、弧关系的桥梁.解题中,若能从直径入手,可突破难点,化难为易.(1)在题设或结论中涉及弧的中点、弦的中点,解题时往往考虑构造"垂径".(2)在题设、结论中涉及直径或直角,解题时要关注直径对的圆周角.     

此时宜用辅助圆

<正>在初中数学学习过程中,有一类几何题,作"直"辅助线难以解决.研究条件后发现,图中隐藏着"圆",找出这个圆,即构造出辅助圆之后,解题就会变得轻松而简捷.借辅助圆解题的情况较多,现举其中两种加以说明.一、由"90°的圆周角所对的弦是直径"想到可用辅助圆     

谈谈“垂径定理”的学习

垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理 ,它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据 ,也是学好本章的基础 .在学习中要注意以下几点 :一 .圆的轴对称性是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折 ,直径两边的两个半圆就会重合在一起 .因此 ,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折 ,直径两侧的两个半圆能重合这事实 ,指出圆是轴对称图形 ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 ,然后利用这一性质给出了垂径定理 ,并利用圆的轴对称性证明 .所以 ,圆的轴对称性是垂径定理的理论基础 .二 .垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理 (推论 )中 ,一是隐含着一条直线 ;二是该直线具有以下性质 :①经过圆心 ;②垂直于弦 ;③平分这条弦 ;④平分这条弦所对的劣弧 ;⑤平分这条弦所对的优弧 .垂径定理可以简记为 :①② ③④⑤由于垂径定理本身的结论有多个 ,因此在构造逆命题时也会有多个 ,这就需要掌握构造逆命题的技巧 .例如 ,以① ,③为条件的逆命题为 :如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦 (不是直径 ) ,那么这条直线垂直于弦 ,且平分弦所对的...     

圆的有关性质

中考要求 1.理解圆及其有关概念,了解弧、弦及圆心角之间的关系,探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系. 2.探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. 考点1 轴对称(垂径定理及推论) 考点2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考点3圆周角的定理及推论 考点4圆内接四边形的性质     

只准用直尺的作图题

<正>由于教材中的作图题都是允许使用圆规、直尺,所以学生遇到这种从未见过的题目,就会感到束手无策.其实仅用直尺的作图题,是十分有趣的,而且更有利于考查同学们对基础知识的掌握情况.请看几例.一、作垂线例1如图1是一个半圆,请你仅用一把无刻度的直尺作一直线垂直于半圆的直径.分析利用直径所对的圆周角是直角和三角形三条高所在的直线交于一点即可完成.     

关于线段相等问题的证明

平面几何中证明线段相等是我们经常遇见的问题之一 ,解决它的方法有很多 ,但归纳起来较为常见的方法主要有以下几种 :①在同一个三角形中利用等角对等边来证 .②在不同的三角形中利用全等三角形来证 .③利用角平分线的性质来证 .④利用线段的垂直平分线的性质来证 .⑤利用特殊四边形的性质来证 .⑥利用同圆或等圆中等弧 (弦心距 )对等弦来证 .⑦利用比例的性质来证 .⑧利用平行线等分线段定理及其推论来证 .⑨利用垂径定理及其推论来证 .⑩利用直角三角形斜边上的中线 ,或等腰三角形底边上的高和顶角的平分线的性质来证 .面对上述众多种方法 ,我们如何根据题目中所给的图文信息 ,选择恰当的方法来证两条线段相等呢 ?现举例给予说明 ,供读者参考 .例 1　如图 1,已知在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｄ是ＡＢ上一点 ,ＤＥ⊥ＢＣ ,Ｅ是垂足 ,ＥＤ的延长线交ＣＡ的延长线于点Ｆ .求证 :ＡＤ =ＡＦ .分析 :欲证ＡＤ =ＡＦ ,观察图形知ＡＤ ,ＡＦ是同一△ＡＤＦ的两边 ,即本题属于证同一三角形的两边相等的问题 ,故优先考虑利用“在同一三角形中 ,等角对等边”证之 ,从而把问题转化为证∠ＡＤＦ =∠Ｆ .因为从所给条件看 ...     

初中数学中的“解斜三角形”

<正>在初中数学中,我们学过"解直角三角形",其实,我们平时做题会遇见很多已知斜三角形(锐角三角形和钝角三角形)的边、角,要求未知的边和角这样的问题,我们可以将这类问题类比归纳为"解斜三角形".对于斜三角形,一共有六个元素(三条边、     

利用圆外(内)角和圆周角的大小关系解题

<正>圆是平面几何中的基本图形,看似朴实无华,实则魅力无穷.我们把顶点在圆上,且两边都和圆相交的角叫圆周角;圆外角指顶点在圆外,且两边都和圆相交的角;圆内角指顶点在圆内的角.这三种角之间有大小关系:一条弧所对的圆内角>它所对的圆周角>它所对的圆外角.如图1,圆周角∠C>圆外角∠D,这是因为∠C=∠AEB>∠D;图2中同理有圆周角∠C<圆内角∠ADB.     

初中阶段解三角形的一般方法与策略分析

一、可解三角形的一般解法 初中阶段主要利用锐角三角比和勾股定理来解直角三角形,学生还未学习正、余弦定理,而对任意三角形中的几何计算,常常把它化归为解直角三角形.一个三角形共有六个基本元素,分别是三条边和三个角,其中至少已知三个元素,且必须已知一条边.若三角形确定了形状大小,则另外三个元素可求,即称此三角形可解.换言之,已知AAS、SAS、ASA、SSS的三角形确定,就可解三角形.笔者举例说明每一种情况下,解三角形的一般方法和步骤.     

三角形中一类面积最值问题的解法探究

<正>在正余弦定理的运用中,有一类求面积最值问题的题目值得关注.这类题有一个特点,即知道三角形的一条边和边所对的角,或者是知道三角形的一条边以及另两条边满足的某个关系,求三角形面积的最值(或范围).下面按已知条件分两种情况举例探讨其解法.     

关于动点对定线段所张的角

<正>解题中若能根据题意恰当巧妙地构造辅助圆,则可收到化难为易、打开思路的效果,特别是当题中出现动点对定线段所张的角时,请看下面的例子.一、所张角是直角,利用"直径所对的圆周角是直角"构造圆     

例谈圆内角与圆外角的计算

我们知道,顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫圆周角.因为一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的     

构造正三角形证题的一个契机

当我们看到一条弦长等于圆的半径,我们就知道它所对的圆周角有一个等于30°;当我们看到正三角形和它一边上的中线,我们就知道这条中线分顶角为两个30°.反过来,当题目给出30°的角的时候,我们能否在头脑中“无中生有”地想到它所对的弦或它所在的正三角形呢?这可能就是我们构造     

从问题中“来”,到模型中“去”——关于隐圆模型的解题应用

<正>1 引例探究引例 (2021年江苏徐州市中考卷第18题)在△ABC中,若AB=6,∠ACB=45°,则△ABC的面积的最大值为___.分析:定长AB所对角∠ACB为定角,结合圆周角定理中“同弧或等弧所对的圆周角相等”,可构建圆来体现上述特性,即AB定值→弧AB定长→所对圆周角∠ACB定角,故点C位于过A,B,C三点的圆上.后续利用圆的性质分析最值.图1解:作△ABC的外接圆⊙O,过点C作AB的垂线,设垂足为M,     

“四个忽视”产生圆中与弦有关的漏解

<正>在学习圆这一章时,经常会遇到有关弦的问题,要进行分类讨论,正确画图,逐一解答,才能圆满解题,否则就会漏解.一、忽视弦所对的弧是优弧或劣弧的分类讨论弦所对的弧有优劣之分,因此弦所对的圆周角就有两个,它们互补.例1在圆O中直径AB=3cm,弦BC=32cm,求弦BC所对圆周角的度数.     

圆的两条性质对椭圆双曲线的推广

大家知道,圆里有两条重要性质: ①直径所对的圆周角是直角; ②平分弦的直径垂直于弦. 从解析几何角度看:在图1中若两条直线 的斜率存在,则有①kAP·kBP=-1;②kOM· kCD=-1.     

学好相似三角形性质的四条建议

相似三角形具有下列性质:相似三角形的对应线段(对应边、对应中线、对应高、对应角平分线)的比等于相似比,相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方.怎样才能学好用好相似三角形的性质呢?在这里笔者给同学们提"四条建议",希望会对你的学习有所帮助.一、能从已知图形中找出两个三角形相似,从而再利用性质有些问题的解决需要利用相似三角形的性质,这时要能从图形中找出相似三角形,才