三角形全等(上)

<正>定义△ABC与△A_1B_1C_1中,若AB=A_1B_1,BC=B_1C_1,CA=C_1A_1,∠ABC=∠A_1B_1C_1,∠BCA=∠B_1C_1A_1,∠CAB=∠C_1A_1B_1.则称△ABC与△A_1B_1C_1合同(全等),△ABC与△A_1B_1C_1全等,记为△ABC≌△A_1B_1C_1.两个三角形全等的判定:三角形全等的判定定理1如果一个三角形的两边和夹角,与另一个三角形的两边和夹角对应相等,则这两个三角形全等.简记为     

一道数学竞赛题的几种解法

一九八五年省市自治区高中联合数学竞赛第二试第二题:如图1,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,E是BC的中点,F在AA_1上,且A_1F:FA=1:2,求平面B_1EF与底面A_1B_1C_1D_1所成的二面角。除《标准答案》的解法外,另提供几种解法,供参考。     

例析用向量法解立体几何问题

<正>空间向量是解决立体几何问题的重要工具之一,而空间向量数量积又是求解高考立体几何问题的一把"利剑",它的应用非常广泛.本文谈谈如何量利用向量法巧思妙解立体几何题.一、线面角问题例1(2015年新课标2理科)如图1,长方体ABCD—A_1B_1C_1D_1中,AB=16,BC=10,AA_1=8,点E、F分别在A_1B_1、D_1C_1上,A_1E=     

一道第49届IMO试题的解题分析

第49届IMO第一题是一道平面几何题:已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A_1,A_2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B_1,B_2;以边.AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C_1,C_2.证明:六点A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2共圆.     

平面束的方程

关于平面束的方程,有些通用教材的讲述似有不完善之处,今提出来向大家请教.例如,有教材一方面说“通过定直线的所有平面的全体称为平面束”;另一方面又说“方程A_1x B_1y C_1z D_1十 λ(A_2x B_2y C_2z D_2)=0(其中λ为任意常数)称为通过直线L:A_1x B_1y C_1z D_1=0A_2x B_2y C_2z D_2=0 (A_1:B_1:C_1≠A_2:B_2:C_2)的平面束方程.”     

空间两个平面

1　考点简析1 .1　知识点剖析本单元共有这样几个知识点 :以公理 2为基本理论基础而构建的空间两平面的位置关系 ,两平面平行的判定定理和性质定理 ,两平行平面的距离 ,二面角及二面角的平面角 ,两平面垂直的判定定理和性质定理 .这些知识点都是高考重点考查的内容 ,因为它们是沟通立体几何知识网络的立交桥 :既是线线和线面位置关系的发展 ,又是继续研究多面体、旋转体的理论基础 .例如 ,可由线面平行证明面面平行 (面面平行的判定定理 ) ,又可由面面平行证明线面平行 (α∥β ,ａ α ,则ａ∥β)和线线平行 (面面平行的性质定理 ) ,而面面…     

一道试题的多角度求解与探究

<正>1题目呈现(THUSSAT2021年10月测试第12题,注:多选题)如图1,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,M,N分别为AB,A_1B_1的中点,P为边C_1D_1上的一点(包括端点),Q是平面PMB_1上一动点,满足∠MNA=∠MNQ,则点Q所在的轨迹可能为()．(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)圆2背景溯源本题中考查的是平面截圆锥曲线的截线问题,在北师大版教材(2019年版)选择性必修一中,以阅读材料的形式给出了这一部分知识,详见第75页,小结如下:     

理科第(23)题别解

题 如图,已知A_1B_1C_1-ABC是正三棱柱,D是AC中点。 (Ⅰ)证明AB_1∥平面DBC_1; (Ⅱ)假设AB_1⊥BC_1,求以BC_1为棱,DBC_1与CBC_1为面的二面角α的度数。     

农业上正交试验的随机区组设计与分析

1975年,鄂西山区某良种场,用正交试验法进行了一项水稻栽培试验.考察的因素与水平是:品种A:广选三号A_1,沪双1011A_2,窄叶青八号A_3;肥力B:高肥B_1,中肥B_2,低肥B_3;基本苗C:10万/亩C_1,15万/亩 C_2,20万/亩 C_3。选用的是正交表L_9(3~4),每号试验小区面积为12×10尺~2。在实施试验时,农业技术人员提出:按惯例农业试验必须重复,但拟作重复的两个地段土质条件存在明显差异,且每个地段本身土质条件也不太均匀,这种情况应作如何处理?     

一道立体几何题的教学探究过程

题目:如图1，在正方体A BCD-A＇B＇C＇D＇中,过对角线BD＇的平面交CC＇、AA＇于点E、F,求证:四边形BED＇F行四边形. 学生1:由面面平行的性质定理可得BE∥D＇F,BF∥D＇E,所以四边形BE＇F是平行四边形. 学生答题后,我感觉本题的教学功能还没有充分发挥出来,于是提出了下面的问题.     

平面几何证明的轨迹法例说

轨迹,作为平面几何的一部分,其解题思想、方法与其它内容多有不同。轨迹问题的解决常离不开几何证明,这是广为人知的。但是,轨迹用于几何证明,却并不多见。本文中的轨迹法就是有关这方面的探讨。应用轨迹法解题时,首先要明确与几何证明有关的轨迹,然后再从适当的轨迹中选出特殊元素,给出待证问题的证明。下面我们结合例子作些说明。例1 过△ABC的边BC、CA、AB上的点A_1、B_1、C_1引其垂线。这些垂线相交于一点的充要条件是: A_1B~2 B_1C~2 c_1A~2=A_1C~2 C_1B~2 B_1A~2 分析:由边AB的垂线,自然联想到“满足XA~2-XB~2=k的点X的轨迹是已知线段     

图形在平面直角坐标系中的位似变换

<正>图形在平面直角坐标系中的位似变换及变换前后对应点的坐标有何规律?请看下面两个例题:例1如图1,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(2,-2),B(1,1),C(6,2).以原点O为位似中心,在y轴右侧,画出△A_1B_1C_1,使△A_1B_1C_1与△ABC的位似比为2:1,并写出点C_1的坐标.     

一个奇妙三角形定理的多方位推广

美国数学家约翰逊在其名著[1]中,介绍了一个奇妙的三角形定理,即定理1在△A_1A_2A_3的每条边上取两个点与该边中点等距离,即(?)=(?),(?)=(?),(?) =(?),若△B_1B_2B_3,△C_1C_2C_3,△A_1A_2A_3的重心依次为G_R,G_C,G_A,则线段G_BG_C必被点G_A所平分.     

巧用解析法 体会立体图形之美

<正>空间想象能力是人们解决现实生活中空间问题所必须具备的能力,也是必备的数学素养之一．高考中常以正方体为基本几何载体,全面考查函数、解析几何等的知识交汇点．1问题(2010年全国Ⅱ卷理科数学第11题)与正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的三条棱AB,CC_1,A_1D_1所在直线的距离相等的点()．(A)有且只有1个(B)有且只有2个(C)有且只有3个(D)有无数个方法1利用对称性,想象整个正方体绕对角线B_1D旋转,可以发现三条棱AB,CC_1,     

立体几何

立体几何的中档题主要综合考查空间线面间的位置关系和几何体概念及性质. 涉及题目的基本类型主要有:(1)证明空间线面平行或垂直;(2)求空间线面的成角或距离;(3)求几何体的侧面积、体积.     

一四元数矩阵方程组的广义(反)反射解

该文给出了四元数矩阵方程组X_1B_1=C_1,X_2B_2=C2,A_1X_1B_3+A_2X_2B_4=C_b可解的充要条件及其通解的表达式,利用此结果建立了四元数矩阵方程组XB_a=C_a,A_bXB_b=C_b有广义(反)反射解的充要条件及其有此种解时通解的表达式.     

“线面”平行判定定理的直接证明

直线和平面平行的判定 :如果平面外一条直线和平面内一条直线平行 ,那么这条直线和这个平面平行 .我发现一般证明这道题都是使用反证法 ,但我认为既然反证法可以 ,那么直接证法也必定行得通 .以下是我思考出的直接证明 .已知 :ａ 平面α,ａ∥ｂ ,ｂ 平面α ,求证 :ａ∥α .证明　在平面α上任取一个不在ｂ上的点Ａ .∵Ａ ｂ ,图 1　证明用图∴可过Ａ在α内作直线ｃ∥ｂ .而ａ α ,ｃ与ａ不重合 ,∵ａ∥ｂ ,∴ａ∥ｃ,∴Ａ ａ .又直线ｂ上所有点都不在ａ上 .由Ａ的任意性可知平面α上所有点都不在ａ上 ,由直线与平面平行的定义可知ａ∥α…     

三棱柱中折线的最值问题

<正>问题呈现如图1,在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC_1=2(1/2),P是BC_1上一点,则CP+PA_1的最小值是____.讨论经历易知,若A_1、P、C三点在一条直线上时,A_1P+CP最短.连接A_1B,即可将平面A_1C_1B_1沿BC_1翻折,使之与平面BCC_1在同一平面(如图2)。     

等积变形与面积证题(三)

<正>一般说来,若Δ=Δ_1+Δ_2+…+Δ_n称为一个面积方程.如例1中,就是从面积方程S(△ABC)=S(△APB)+S(△BPC)+S(△CPA)入手的.1.若S(△ABC)=S(△A_1B_1C_1),这样1/2AB·h_c=1/2A_1B_1h_(c1).当AB=A_1B_1,则有h_c=h_(c1);当h_c=h_(c1),则有AB=A_1B_1.利用上述关系可以证明线段的相等.     

立几中几种常用的解题策略

本文归纳梳理立体几何中常用的几种解题策略.(一)联想试探法:联想熟悉的问题进行探求例1 平行六面体 ABCD—A_1B_1C_1D_1中,对角线 AB_1,B_1C,BD_1两两互相垂直,其长度分别等