圆幂定理图形中的优美性质

<正>相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、     

谈谈“垂径定理”的学习

垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理 ,它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据 ,也是学好本章的基础 .在学习中要注意以下几点 :一 .圆的轴对称性是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折 ,直径两边的两个半圆就会重合在一起 .因此 ,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折 ,直径两侧的两个半圆能重合这事实 ,指出圆是轴对称图形 ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 ,然后利用这一性质给出了垂径定理 ,并利用圆的轴对称性证明 .所以 ,圆的轴对称性是垂径定理的理论基础 .二 .垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理 (推论 )中 ,一是隐含着一条直线 ;二是该直线具有以下性质 :①经过圆心 ;②垂直于弦 ;③平分这条弦 ;④平分这条弦所对的劣弧 ;⑤平分这条弦所对的优弧 .垂径定理可以简记为 :①② ③④⑤由于垂径定理本身的结论有多个 ,因此在构造逆命题时也会有多个 ,这就需要掌握构造逆命题的技巧 .例如 ,以① ,③为条件的逆命题为 :如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦 (不是直径 ) ,那么这条直线垂直于弦 ,且平分弦所对的...     

二次曲线的直径方程及其应用

从平面几何知识知道,圆中垂直于弦的直径必过此弦的中点,反之,圆中任意一条弦的中点,必在垂直于此弦的直径上,而且,与已知弦平行的一组弦的中点,都在这条直径上。于是,我们这样定义圆的直径: 定义1 圆中一组平行弦的中点所在的直线(诸平行弦中点轨迹),叫做这组平行弦所确定的直径。(括号内的叙述是狭义的) 定理1 圆x~2+y~2=R~2的直径方程可表示为 x+ky=0,其中k为诸平行弦的共同斜率。证明设诸平行弦中的任意一条弦的方程为 y=kx+b,其中b是参数。又设它与圆     

关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积

(一) 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(n>b>0)内接四边形的最大面积为2ab。 (一) 内接平行四边形的最大面积为2ab [证明一] 设ABGD是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接平行四边形(图1).由于对角线AC、BD互相平分,即有共同的中点.则以椭圆内定点(非中心)为中点的弦(简称中点弦)是唯一的。(设定点为M(x_0,y_0),则中点弦方程为x_0x/a~2 y_0y/b~2=x_0~2/a~2 y_0~2/b~2).因而,AC,BD相交于椭圆的中心(即为椭圆的两     

关于两直线垂直的证明

我们知道 ,当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,我们就称这两条直线互相垂直 ,它是两条直线相交中的一种特殊位置关系 .证明两直线垂直的问题始终贯穿于整个初中阶段 ,它在几何问题证明中占有非常重要的位置 .为此 ,本文就证明两条直线垂直的方法进行归纳总结 ,供读者参考 .1.利用垂直的定义来证例 1　已知 :如图 1,在⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ⊥ＣＤ ,分别在ＡＢ ,ＣＤ上取点Ｅ ,Ｆ ,使ＡＥ =ＣＦ .过Ｅ作弦ＣＮ ,过Ｆ作弦ＢＭ ,两弦相交于点Ｈ .求证 :ＣＮ⊥ＢＭ .分析 :欲证ＣＮ⊥ＢＭ ,只需证∠ＣＨＦ =90° ,即只需证∠ＨＥＢ +…     

圆的两条性质对椭圆双曲线的推广

大家知道,圆里有两条重要性质: ①直径所对的圆周角是直角; ②平分弦的直径垂直于弦. 从解析几何角度看:在图1中若两条直线 的斜率存在,则有①kAP·kBP=-1;②kOM· kCD=-1.     

一道几何题的拓展

<正>原问题[1]设圆内接四边形ABCD的两组对边延长后分别交于点E、F,对角线AC和BD的中点分别为M和N.求证:MN/EF=1/2︱AC/BD-BD/AC︱.拓展问题设四边形ABCD的两组对边延长后分别交于点E、F,对角线AC和BD的中点分别为M和N.求证:直线MN平分EF.证明如图所示.设T为EF的中点,过点M作BE的平行线分别交BC、EC于点R、Q,则R、Q分别为BC、EC的中点,又设P为BE的中点,则点P、R、N     

圆锥曲线的平行弦中点的轨迹

<正>我们从大家所熟悉的圆的平行弦中点的轨迹开始研究.例1已知圆x~2+y~2=r~2,B为该圆内的■动弦.斜率为m(常数).求此动弦中点轨迹的方程.分析涉及圆内弦的中点,同学自然想到垂径定理:垂直于弦的直径平分弦.     

浅说垂径定理的应用

华东师大版《数学》九年级 (上 )第四十八页“试一试” ,同学们 ,发现了什么结论吗 ?这个结论是 :垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .这个结论叫做垂径定理 .而实际上 ,如果一条直线具有 :( 1 )垂直弦 ;( 2 )过圆心 ;( 3 )平分弦 ;( 4 )平分弦所对的劣弧 ;( 5 )平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个 ,那么它同时也具有其余三个性质 .(具有 ( 2 )、( 3 )时 ,弦不能为直径 ) .一、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ,在实际中有着广泛的应用例 1　如图 1 .在⊙O中 ,弦AB的长为 1 6cm ,⊙O的半径为 1 0cm ,求圆心O到AB的距离 .解 :过点O作OE⊥AB于E ,连结OA .因为OE过圆心且垂直于弦 ,所以平分弦 .因此　AE =12 AB =8cm .根据勾股定理 ,得OE =OA2 -AE2 =1 0 2 -82 =6cm .因此圆心O到AB的距离为 6cm .例 2　“五段彩虹展翅飞” .我省利用国债资金所建的横跨南渡江的琼州大桥 ,今年 5月 1 2日正式通车 .该桥的两边均有五个红色的圆拱 (如图 2 ) ,其中最高的圆拱的跨...     

婆罗摩笈多模型结论的探究和应用

<正>婆罗摩笈多是印度7世纪卓越的天文学家和数学家,他著有《婆罗门历算书》,其中有两章专论数学,包括算术、不定方程和几何等内容,尤其是他研究圆内接四边形得出了不少有趣的定理,其中婆罗摩笈多定理常为后人所研究.1 婆罗摩笈多定理及相关结论1.1 婆罗摩笈多定理若圆内接四边形的对角线相互垂直,则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边.符号语言：圆内接四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为M,过点M作NH⊥BC交AD于点N,     

线线垂直的证明方法

我们知道 ,当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,我们就称这两条直线互相垂直 ,它是两条直线相交中的一种特殊位置关系 .证明两直线垂直的问题始终贯穿于整个初中阶段 ,它在几何问题证明中占有非常重要的位置 .为此 ,本文就证明两条直线垂直的方法进行归纳总结 ,供读者参考 .1 .利用垂直的定义来证例 1　如图 ,已知 :△ABC的高AD ,BE相交于点H ;F ,G分别是AC ,BH的中点 .求证 :DG⊥DF .分析 :欲证DG⊥DF ,只需证∠GDF =90° .观察图形 ,由已知条件知∠ADB =90° ,故只需证∠ADF =∠GDB .证明 :∵DF是Rt△ACD斜…     

四边形的一个有趣性质

定理　设四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA与对角线 AC、BD的中点分别为 E、F、E′、F′、G、G′,△ BCD、△ CDA、△ DAB、△ ABC的重心分别为 A′、B′、C′、D′,则 AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′、GG′七线共点 .证明　如图 1 ,连结EF、FE′、E′ F′、F′ E,图 1则可得 EF ∥=12 AC,F′ E′∥=12 AC.即有 EF∥=F′ E′,故四边形 EFE′ F′是平行四边形 ,于是 EE′、FF′互相平分 .类似地 ,可证明 FF′、GG′互相平分 .故 EE′、FF′、GG′相交于它们的中点 .令 EE′的中点为 I,连结 EC、D…     

从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用

本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1　设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2　设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC…     

经过三角形顶点的直线的一个性质与推论

<正>性质如图1,O是△ABC的外心,经过A点的直线交直线BC于点D (O,B,C不在直线AD上),P是直线AD上任意一点(A,P不重合),以PA为直径的圆分别与AB,AC的另一个交点为E,F,PM∥AO交EF于点M.则BD/CD=EM/FM.证明延长PM交以PA为直径的圆于点Q,连接QE,QF.过O点作OG⊥AB于G,     

坐标法的反作用——诱导出几何妙法

1 牛顿·高斯中点线定理 定理平面上的四条直线两两相交,它们的交点A、B、C、D、E、F如图1所示,L、M、N分别为AC、BD、EF的中点.则L、M、N共线.     

完全四边形的一条性质及应用

我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.如图1,设直线ABE、BCF、ECD、ADF两两相交于B、C、D、A、E、F六点,即为一个完全四边形.BD、AC、EF为其三条对角线.完全四边形有一系列有趣性质,这里仅介绍其中的一条:性质完全四边形的一条对角线所在直线与其他两条对角线相交,则被其他两条对角线调和分割.如图1,设直线AC与BD交于M,与EF交于N,则AMAN=M CN C或AM·N C=AN·M C.若BD∥EF,则AMAN=BDEF=M CN C即证.若BD\∥EF,可设两直线相交于点G.此时还有BMDM=BGDG,ENFN=…     

数学奥林匹克问题选登

1991年9月号问题解答 (解答由供题人给出) 7.在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,在AB、AC上各取一点M、N,满足DM⊥DN。试证:△BDM与△CDN的外接圆外切且直线MN是这两圆的一条公切线。证明易知A、M、D、N四点共圆,可得∠DMN=∠DAN=∠ABC。 (1)若∠BMD=90°,则∠DNC=90°(如图1)。Rt△BDM、Rt△CDN的外心各是BD、DC的中点O_1、O_2,连结O_1M、O_2N,易证MN⊥O_1,M、MN⊥O_2N。此时既易证明△BDM与△CDN的外接圆外切,又不难证得直线MN是这两圆的     

下结论要理由充分

我们先来看看下面两道题的证明,有无"漏洞".题1求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.已知:■ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.图1求证:OE=OF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AEO=∠CFO.又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.图2题2已知:正方形ABCD中,O是对角线AC的中点.连接OB、OD.求证:OB=OD.证明1∵四边形ABCD是正方形,OA=OC,∴OB=OD(正方形的对角线互相平分).     

由一道几何题引发的作图题

<正>一、一道几何题如图1,⊙O与⊙O′外离,半径分别为r与R,一条直线交两圆于A、C与D、B,且AC=DB,过A、B分别作两圆的切线交于P,求证:PA/PB= r/R.本文不讨论该题的证明,关注的是题设"一条直线交两圆于A、C与D、B,且AC=DB",思考一个问题——在两圆确定的前提下,如何作出一条与两圆相交且所截得的两条弦相等的直线,于是引发如下作图题.     

婆氏定理与四边形的九点圆

印度数学家婆罗摩及多(Brahmegpta,598 年～660年)发现了下面的著名定理[1]: 婆氏定理　设圆内接四边形ABCD的对角 线互相垂直相交于E,则过点E平分一边BC的 直线必垂直于对边AD.反之,过点E垂直于一 边AD的直线必平分对边BC. 本文将对角线互相垂直的圆内接四边形简 称为“婆氏四边形”. 下面的著名定理提出了四边形的九点圆概 念[2]: 库得奇———大上定理　以圆内接四边形任 意三个顶点作三角形,则这四个三角形的九点 圆心共圆. 上述定理中的四个圆心所在的圆被称为四 边形的九点圆.它的半径等于四边形外接圆半 径的一…