从一道竞赛题谈周期数列的有关问题

1985年第三届美国数学邀请赛(AIME)试题第五题是: 选取一列整数a_1,a_2,a_3,……,使得每个n≥3都有a_2=a_(n-1)-a_(n-2),若该数列的前1492项之和等于1985,而前1985项之和等于1492,那么前2001项之和是多少? 原参考答案根据关系式a_n=a_(n-1)-a_(n-2)所暗示的递推规律给出了一个探索性解答,这里将通过求通项公式的办法进行解答;并在此基础上得出两个一般性公式。解:∵ a_n=a_(n-1)-a_(n-2), ∴ a_n-a_(-1)+a_(-2)=0 易知此递推式乃二阶齐次线性递归方程,解相应的特征方程x~2 -x+1=0得:     

巧妙代换,简捷证明

浙江教育出版社出版的《高中数学精编综合训练》一书P.18有这样一道试题: 例已知1/2≤a_k≤1,(k∈N)。求证:a_1a_2a_3…a_n (1-a_1)(1-a_2)…(1-a_n)≥1/2~(n-1)。该不等式证明确有一定的难度,原书采用数学归纳法证明,其过程十分繁杂,并且技巧性很强。如果我们作一个巧妙的代换,问题则十分简单,迎刃而解。证明令a_k=1/2 b_k,有0≤b_k≤1/2。则 a_1a_2…a_n (1-a_1)(1-a_2)…(1-a_n)=(1/2 b_1)(1/2 b_2)…(1/2 b_n) (1/2-     

通项·回归·解出

先看具体问题。例1 数列{a_n}满足a_1=a_2=1,且a_(n+2)=a_n+a_(n+1) 求证:(a_1/2)+(a_2/2~2)+(a_3/2~3)...+a_n/2~n<2 证明设S_n=a_1/2+a_2/2~2+...+a_n/2~n 由a_n+2=a_n+a_(n+1)得 a_n=a_(n+2)-a_(n+1)。 Sn=(a_3-a_2)/2+(a_4-a_3)/2~2+...+     

学会用化归法思考高中代数问题

<正>化归法是通过数学知识和方法将不熟悉的问题转化为熟悉的问题的数学方法.在下面的内容中,将重点介绍化归法在高中代数中的应用.例1(1999年高考试题理科)若(2x+√3)⁴=a_0+a_1x+a_2x4=a_0+a_1x+a_2x²+a_3x2+a_3x³+a_4x3+a_4x⁴,那么(a_0+a_2+a_4)4,那么(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)2的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²=(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4)"之间的联系,就说明你学会化归法的使用方法.     

等差数列的一个有趣的性质

我们知道,如果a_1,a_2,a_3成等差数列,由等差数列的定义,就有:a_2-a_1=a_3-a_1由此可得a_1-2a_2 a_3=0 (A) 如果a_1,a_2,a_3,a_4成等差数列,应用上面的结论,对这个数列的前三项有a_1-2a_2 a_3=0 (1)而对它的后三项又有a_2-2a_3 a_4=0 (2)将(1)减去(2),便得     

求多项式根的新劈因子法

本文给出了劈出多项式F(z)的二次因子的程序{w_n(z)}:若则取 w_(n+1)(z)=z~2+(a_2c_1-a_1c_2)/(a_2b_1-a_1b_2)z+(a_2d_1-a_1d_2)/(a_2b_1-a_1b_2);文中指出此法与Bairstow法效果相当,并提供了一些例子.     

关于B.E.Rhoades的两个不动点定理的反例

B.E.Rhoades[1]中定理10和定理16是错误的。现举反例说明之。 (一)[1]中定理10为: 设f∈(73),且诸α_i满足: (1) r(t)·s(t)=a_1(t)+a_3(t)+a_5(t)/1-a_2(t)-a_3(t)·a_2(t)+a_4(t)=a_5(t)/1-a_1(t)-a_4(t)<1对任何t>0均成立。又设x_0∈X。则f~p或f~q有不动点。若再有:     

时滞Logistic方程非振动解的存在性

本文获得了时滞Logistic方程 x'(t)=r(t)x(t)[1-a_1x(g_1(t))-a_2x(g_2(t))]~a,t≥0关于其正平衡状态x=1/(a_1+a_2)存在非振动解的充分条件与充要条件,改进并推广了Aiello中的结果.     

Asymptotic behavior of unstable ARMA processes with application to least squares estimates of their parameters

A time series x(t), t≥1, is said to be an unstable ARMA process if x(t) satisfies an unstableARMA model such asx(t)=a_1x(t-1) a_2x(t-2) … a_8x(t-s) w(t)where w(t) is a stationary ARMA process; and the characteristic polynomial A(z)=1-a_1z-a_2z~2-…-a_3z~3 has all roots on the unit circle. Asymptotic behavior of sum form 1 to n (x~2(t)) will be studied by showing somerates of divergence of sum form 1 to n (x~2(t)). This kind of properties Will be used for getting the rates of convergenceof least squares estimates of parameters a_1, a_2,…, a_?     

一类Kolmogorov捕食系统的极限环

研究一类Kolmogorov捕食系统dx/dt=x(a_0-a_1x+a_2x~(n-1)-a_3x~n+a_4xy~m),dy/dt=y(b_1x~n-b2),得到了存在唯一极限环和不存在极限环的充要条件,从而推广了前人相关的结果.     

Periodic Solution of a Nonautonomous Diffusive Food Chain System of Three Species with Time Delays

Abstract By using the continuation theorem of coincidence degree theory,the existence of a positive periodicsolution for a nonautonomous diffusive food chain system of three species. dx_1(t)/dt=x_1(t)[r_1(t)-a_(11)(t)x_1(t)-a_(12)(t)x_2(t)]+D_1(t)[y(t)-x_1(t)], dx_2(t)/dt=x_2(t)[-r_2(t)+a_(21)(t)x_1(t-r_1)-a_(22)(t)x_2(t)-a_(23)(t)x_3(t)], dx_3(t)/dt=x_3(t)[-r_3(t)+a_(32)(t)x_2(t-r_2)-a_(33)(t)x_3(t)], dy(t)/dt=y(t)[r_4(t)-a_(44)(t)y(t)]+D_2(t)[x_1(t)-y(t)]+D_2(t)[x_1(t)-y(t)],is established,where,r_i(t),a_(ii)(t)(i=1,2,3,4),D_i(t)(i=1,2),a_(12)(t),a_(21)(t),a_(23)(t)and a_(32)(t) are all positiveperiodic continuous functions with period w>0,T_i(i=1,2)are positive constants.     

弄巧成拙后

<正>今天老师布置了普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修5习题2.4A组1(4):在等比数列{a_n}中,a_5-a_1=15,a_4-a_2=6,求a_3.我在做这道题时,思考太多,碰壁不少,但细细想来,还蛮有意思,与你共享.第一次碰壁:不知怎的,看见这题就不由     

用行列式证三数成等差数列

定理如果a_1、b_1、c_1、三数成等差数列(a_1、b_1、c_1为互不相等的三数),那么a_2、b_2、c_2三数成等差数列的充要条件是证明 (充分性):设a_1、b_1、c_1三数成等差数列的公差为d,则b_1-a_1=d=c_1-b_1,c_1-a_1=2d。     

在解题教学中如何训练学生的观察能力

在数学教学中培养学生的观察能力,是学生学好数学的关键之一,也是培养其他思维能力的基础。下面浅谈一下在这方面的做法与体会。一、引导学生观察条件中的数字或字母的变化规律及位置特点例1 已知数列{a_n}的前五项是1,2,4,7,11,试写出这个数列的一个通项公式。解:细心观察后知:相邻两项中后项与前项的差有规律: a_z-c_1=2-1=1, a_3-a_2=4-2=2, a_4-a_3=7-4=3, a_5-a_6=11-7=4, 由此可得 a_n-a_n-1=n-1再把上面(n-1)个式子相加得左边=a_n-a_1;右边=1+2+3+……+(n-1)=(n-1)/2     

Initial value problem for a class of nonlinear pseudo-hyperbolic equations

The existence of global weak solutions to the periodic boundary problem or the initial value problem for the nonlinear Pseudo-hyperbolic equation u_(tt)-[a_1+a_2(u_x)~(2m)]u_(xx)-a_3u_(xxt)=f(x,t,u,u_x) is proved by the method of the vanishing of the additional diffusion terms, Leray-Schauder's fixedpoint argument and Sobolev's estimates,where m≥1 is a natural number and a_i>0(i=1,2,3)are constants.     

抛物型二次曲线的一种化简方法

一般二次曲线的化简可用先旋转后平移的方法,若应用不变量,虽可简捷地得出标准方程,但不能给出变换公式;而且对于退化抛物线须用不变量和半不变量的配合,才能得出标准方程,何况半不变量K_1=I_1a_(33)-a_(13)~2-a_(23)~2不易记忆,所以不够理想。     

正交多项式回归理论中一个递推关系的证明

令(?)_k(t)表示 k 阶多项式,对于一组首项系数为1的多项式{(?)_k(t),k≥0}在t=0,1,…,(N-1)处正交,即(?)本文证明了它们有递推关系(?)_(k+1)(t)=(?)(t)(?)_k(t)-a_(k-1)(?)_(k-1)(t),其中a_(k-1)=k~2(N~2-k~2)/4(4k~2-1).     

两点间距离公式在代数中的两个应用

两点间的距离公式是解析几何中的重要公式之一,它的应用极为广泛。本文举数例说明两点间距离公式在代数不等式的证明和求最火值、最小值中的应用。一证明代数不等式例1 设a_1、a_2、b_1、b_2均为实数。求证 ((a_2-a_1)~2+(b_2-b_1)~2)~(1/2) ≤(a_1~2+b_1~2)~(1/2)+(a_2~2+b_2~2)~(1/2)。分析此不等式的左边可看作是坐标平面内两点(a_1,b_1)、(a_2,b_2)之间的距离;不等式右边可看作是点(a_1,b_1)、(a_2,b_2)到原点的距离之和。由此,不难想到:是否可应用两点间距离公式来证明。证明设A(a_1,b_1)、B(a_2,b_3)是坐     

代数方程实根的一个近似計算法

关於代数方程实根的近似計算的方法,有牛頓方法,直線插入法,以及和那-魯菲方法等,而本文則是介紹一个新的計算方法如下。上下界限法。这个方法是利用不等式的性質来进行計算的,其中心思想就是假若实数a_1相似文献   

2021年北京高考数学第21题的推广和变式北大核心

1试题回顾例1(2021年北京高考数学第21题)设p为实数,若无穷数列{a_(n)}同时满足如下三个性质,则称{a_(n)}为R_(p)数列:①a_(1)+p≥0且a_(2)+p=0;②a_(4n-1)相似文献