记一次歪打正着的研究性学习

<正>在因式分解的公式法中,有两种公式.一是平方差公式,二是完全平方公式.但当我们遇到一些二次三项式,它们既不能提取公因式,又不能套用公式时,就可以尝试用十字相乘法来分解因式.所谓十字相乘法就是把二次三项式分解因式如下:x~2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),在这一过程中往往需要多次试验才能成     

一类多项式的因式分解

关于多项式xy ax bu c的因式分解有下面一个定理. 多项式xy ax by c能分解成两个一次因式的充要条件是ab=c. 证明 (1)必要性. 若xy ax by c能分解成两个一次因式的积,不妨设xy ax by c=(x P)(y q). 则xy ax by c=xy qx py pq 这是一个关于xy的恒等式,根据恒等式对应项的系数相等,有     

韦达定理变形后的发现

设一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根为x1 、x2 ,则x1 +x2 =-ba ,　x1 x2 =ca.这就是著名的韦达定理 ,如果将其稍作如下变形 :ax1 +ax2 =-b ,　ax1 ·ax2 =ac,就会发现 ,以原方程各根的a倍为根的一元二次方程是x2 +bx +ac=0 .可看出此方程是把原方程的二次项系数a乘到常数项c上得到的 .我们不妨称x2 +bx +ac =0为ax2 +bx +c =0的衍变方程 .由于衍变方程的二次项系数是 1,一般情况下较原方程求解容易些 ,尤其当各项系数的绝对值较小或具有某些简算特征、两根为有理根时 ,利用二次三项式因式分解的规律公式x2+ (p + q)x + pq =(x +p…     

“因式分解”教案一则

课题:可化为x~2 (a b)x ab型的二次三项式的因式分解教学目的:使学生掌握x~2 (a b)x ab型的二次三项式的因式分解的方法,掌握根据x~2 bx q中P、q的符号确定a、b的符号的规律,能较熟练地判断所给多项式能否使用所学方法分解,并通过一定数量的练习,形成技巧,培养学生分析能力和抽象概括的能力。教学方法:启发引导、讲练结合。教学过程: 一、课题引入: 回顾多项式乘法可知: (x a)(x b)=x~2 (a b)x ab(1) 此等式右边是一个关于x的二次三项式,其中二次项系数为1。一般地,当x的二     

組合数級数及其应用

Ⅰ.組合数級数与它的和由组合公式: C_x~r=x(x-1)(x-2)…(x-r+1)/r!, C_(ax+b)~r=(ax+b)(ax+b-1)(ax+b-2)…(ax+b-r+1)/r!, C_(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+a_s)~r=(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+a_s)..(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+ a_s-1)(a_0x~s++a_1x~(s-1)+…+a_s-2)… ..(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+a_s-r+1)/r!, 可知C_x~r,C_(ax+b)~r为x的r次函数,C_(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+a_s)~r为x的rs次函数。因此当x取連續整数时,C_x~r,c_(ax+b)~r的数列是r阶等差級数;C_(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+as)~r的数列是rs阶等差級数。或者說:从連續整数或等差級数(x取連續整数时ax+b的数列是等差級数)中取r的組合数的数列是r阶等差級数;从s阶等差級数(x取連續整数时a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+a_s的数列是s阶等差級数)中取r的組合数的数列是rs阶等差級数。     

初三代数第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题3分,共36分)1.方程7x2-(x+3)2=(x+1)2的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.2.如果x2=0.81,那么x1=,x2=.3.分解因式x2+3x-4=.4.三个连续偶数的平方和是200;那么这三个偶数是.5.方程mx2+2x-m=0的根的判别式等于8,则m=.6.已知方程3x2+7x-6=0的根是x1=23,x2=-3,则二次三项式3y2+7y-6可分解为.7.方程x2+px+q=0的两根是-1和3,则p=,q=.8.关于x的方程(a-2)xa2-2-x+3=0是一元二次方程,则a=.9.制造某种产品,原来每件的成本是100元,由于连续两次降低成本,现在的成本是49元.如果每次降低成本的百分数相同,则每次降低成本的百分数…     

Adams谱序列上的非平凡乘积b_0k_0δ_(s+4)

主要用May谱序列证明了非平凡的乘积b_0k_0δ_(s+4)∈Ext_A~(s+8,t)(Z_p,Z_p),其中p是大于等于7的素数,0≤sp-4,q=2(p-1),t=(s+4)p~3q+(s+3)p~2q+(s+5)pq+(s+2)q+s.     

分组分解因式的另一种形式

本刊84年第8期刊登的《分组分解因式的教法探讨》一文,其中说“也可按x或y降幂排列再用十字相乘法分解”,本文就此作为分组分解因式的另一种形式补出,以供读者参考。为了研究方便起见,我们先把一般式即(Ax+By+p)(Cx+Dy+q)展开得: ACx~2+(AD+BC)xy+BDy~2+(Aq+pC)x     

高次方程(或方程组)的巧解

<正>一、利用分解因式去解题例1 (上海市竞赛题)已知关于x的方程x~4+2x~3+(3+k)x~2+(2+k)x+2k=0有实数根,若所有实根的积为-2,则所有实根的平方和为______.简析将方程左边分解因式,可将高次方程转化为一元二次方程.     

有比最大值更大的值

已知:a,b,c,d∈R,p,q∈R~+,且a~2+b~2=p,c~2+d~2=q。求ac+bd的最大值。解一:设a=p~(1/2)sinα,b=p~(1/2)cosα,(0≤α≤2π);c=q~(1/2)sinβ,d=q~(1/2)cosβ,(0≤β≤2π) ∵ac+bd=(p·q)~(1/2)(sinαsinβ+cosαcosβ) =(pq)~(1/2)cos(α-β) 故当α=β时,ac+bd有最大值。且值为(pq)~(1/2)。据基本不等式x~2+y~2≥2xy却易有下解。解二:∵a~2+c~2≥2ac,b~2+d~2≥2bd ∴ ac+bd≤(a~2+b~2+c~2+d~2)/2=(p+d)/2(此是一与a,b,c,d均无关的常数)。故有最大值是(p+d)/2。从上述解一、二我们得知,因(p+d)/2≥(pq)~(1/2),即有比ac+bd的最大值(pq)~(1/2)更大的值(p+d)/2。     

首届《数学学习》初中数学邀请赛（初二年级）试题

一、填空题(每小题6分,共60分). (1)设n是由数字0或7组成,且又是15的倍数,则n的最小值是_.(2)分解因式x3+9x2+26x+24=_.(3)x-c/(x-a)(x-b)+b-c/(a-b)(x-b)+b-c/(b-a)(x-a),得_。(4)把x5,x+1/x,1+2/x+3/x3相乘,其积是一个多项式,该多项式的次数是_.(5)设x,y,z为实数,且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+x-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-     

有限域上的二次本原多项式

本文证明了对任给定的 a∈GF(q)~*,均存在 GF(q)上的形为 x~2+ax+b的二次本原多项式.从而证明了 Golomb 猜想(D).     

球面稳定同伦群的两个新元素h0(b1)3(γ)s和(b1)3g0(γ)s

本文证明了当p(＞-)11,3(<-)s＜p-3时,h0(b1)3∈Ext7,3p2q+qA(H*V(2),Zp),(b1)3g0∈Ext8,3p2q+pq+2q(H*V(2),Zp)在Adams谱序列中分别收敛到π*V(2)的非零元,h0(b1)3(γ)s∈Ext7+s,(s+3)p2q+(s-1)pq+(s-3)A(Zp,Zp)在Adams谱序列中分别收敛到π*S的非零p阶元.     

球面稳定同伦群的两个新元素h0(b1)3(γ)s和(b1)3g0(γ)s

本文证明了当p(＞-)11,3(<-)s＜p-3时,h0(b1)3∈Ext7,3p2q+qA(H*V(2),Zp),(b1)3g0∈Ext8,3p2q+pq+2q(H*V(2),Zp)在Adams谱序列中分别收敛到π*V(2)的非零元,h0(b1)3(γ)s∈Ext7+s,(s+3)p2q+(s-1)pq+(s-3)A(Zp,Zp)在Adams谱序列中分别收敛到π*S的非零p阶元.     

有限域上三项式的本原性(英文)

给出了有限域F_(pm)上形式为x~2+ax+b的三项式非本原的条件,进而给出有限域F_(pm)上不存在形式为x~n+ax+b的三项式的条件.特别地,对有限域F_4,证明了三项式x~n+ax+b只可能在n等于2,或者n模30等于5或11时本原.     

椭圆曲线y~2=(x+6)(x~2-6x+23)的正整数点

利用初等方法证明了椭圆曲线y~2=(x+6)(x~2-6x+23)无正整数点,研究结果对于a,p∈Z时,椭圆曲线y~2=(x+a)(x~2-ax+p)的求解有一定的借鉴作用,同时此结果推进了该类椭圆曲线的研究.     

初二代数第一学期期中自测题

A组一、填空题1.(x-y)n(n为偶数)=.2.(a-b)2-(a+b)2=.3.x2-5x-14=.4.x2+x+m=(x+n)2,则m=,n=.5.()2+12xy+9y2=()2.6.a+b-ab-1=(a-1)().7.x2-2xy+y2-z2=()().8.a4+a2-20=()()().9.32002-5×32001+6×32000=.10.4(1-b2+ab)-a2=.二、选择题1.把多项式4x-x2-4分解因式,结果正确的是().A.-x(4-x)-4B.-(x-2)2C.4x-(x+2)(x-2)D.-(x+2)22.x2+mx+16是一个完全平方式,则m的值是().A.±8B.±16C.±4D.163.x4-k=(x2+9)(x+3)(x-3),则k=().A.9B.-9C.81D.-814.下列分解因式错误的是().A.4a2-1=(2a+1)(2a-1)B.a4-64=(a2+8)(a+22)(a-22)C.x4+1=(x2-1)(x…     

三项展开式问题的五种解决策略

<正>我们学习了二项式定理,但是在各种考试或练习中经常会遇到有关三项式的习题,下面提供三项式展开的五种处理策略,供大家参考.一、因式分解法例1求(x2+2x-3)5展开式中含x2的项的系数.解析首先对因式进行分解,(x2+2x-3)5=[(x+3)(x-1)]5=(x+3)5(x-1)5,所以要得到x2的项的系数,可分为三种情况:(1)(x+3)5中x2项的系数与(x-1)5中常数项的乘积;(2)(x+3)5中x项的系数与(x-1)5中x项的系数的乘积;(3)(x+3)5中的常数项     

从(x±1)(x~2±x+1)=x~3±1谈起

乘法公式中有 (x+1)(x~2-x+1)=x~3+1,(x-1)(x~2+x+1)=x~3-1。等式两边互换,就得到因式分解 x~3+1=(x+1)(x~2-x+1),x~3-1=(x-1)(x~2+x+1)。进而有 x~4+1=(x+1)(x~3-x~2+x-1),x~4-1=(x-1)(x~3+x~2+x+1)。推广这些公式,可以得到定理1 (1)对任意正整数n,有 x~n-1=(x-1)(x~(n-1)+x~(n-2)+…+x+1)     

分解因式前的基本变形

初中数学教材中关于分解因式有四种基本方法:提公因式法、公式法、分组分解法及式子ｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ａｂ=(ｘ+ａ)(ｘ+ｂ)法.但是,有些多项式是无法直接使用这些方法进行分解的,必须经过适当的变形后才能分解因式.为使读者正确、熟练地掌握分解因式,现介绍几种基本变形.一.符号变形例1　分解因式ｍ(ａ-ｂ)-ｎ(ｂ-ａ).分析:由于ａ-ｂ和ｂ-ａ互为相反数,因此需把ａ-ｂ变形为-(ｂ-ａ)或把ｂ-ａ变形为-(ａ-ｂ).解:原式=ｍ(ａ-ｂ)+ｎ(ａ-ｂ)=(ａ-ｂ)(ｍ+ｎ).二.组合变形例2　分解因式3ａ2+ｂｃ-3ａｃ-ａｂ.分析:选择系数成比例的项进行调项变换组合…