构造组合数模型巧证组合恒等式

证明组合恒等式,一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,通过一些适当的计算或化简来完成.但是,很多组合恒等式,也可直接利用组合数的意义来证明.即构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一组合问题的两种计算方法,由结论的唯一性,即可证明组合恒等式.例1证明:C     

组合恒等式

数学竞赛中的组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类问题，它具有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性强，对学生运算能力的培养和思维灵活性的训练都具有良好的作用和特殊的意义．     

对一个组合问题错解的修正及探究

本文分析了一个组合问题出现错解的原因,给出了三种正确解法,并对试题进行延伸探究,运用“算两次”的数学思想对比不同的解法,得出了两个组合恒等式.     

新型组合恒等式（一）

新型组合恒等式是研讨别开生面的几类组合孪生恒等式组的问题．本要主要研讨互逆类的组合孪生恒等式组，该类可分为多项式型、二项式定理型、指数函数型以及三角函数（或双曲函数）型等四型，一批成双出现的新结果。与许多著名数列（Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列、Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数、Ｅｕｌｅｒ数以及二项式定理系数数列等）有着密切关系．此外，本人还研讨了一类特殊行列式的性质及其应用。     

用排列组合的定义证明恒等式

现行六年制重点中学高中数学课本代数第三册的第62页和第63页上,在介绍了组合数的两个性质的证明以后,都谈到了根据组合的定义解释恒等式的问题,我们认为,这样处理,既是对上述组合恒等式从其实际意义的角度所作的一番解释,也是介绍了另外一种证题方法。     

一个组合恒等式猜想的推广及应用

<正>1引言二项式系数Cm n可以组成许多有趣的组合恒等式.笔者在《数学通报》2021年第12期文[1]中提出如下一个关于组合恒等式的猜想:猜想设n为正整数,k=1,2,…,n,则     

一组与组合数有关的恒等式

在数学各分支中,经常会碰到与组合数有关的恒等式,而它们又往往不是显而易见的。因此,若能对一些重要的恒等式给以证明,使它们得到公认,则会带来不少方便。同时,某些典型的、具有普遍意义的     

排列、组合与二项式定理(续)

三、组合恒等式包含组合记号的恒等式称为组合恒等式。组合恒等式有成百上千个,其中最基本的有以下六种。     

不同视角证明一个组合恒等式

数学解题,关键是如何认识问题的条件和结论,怎样和已学的知识建立联系,从不同的视角看待条件,发散思维,整合知识,从而获得问题的解决．笔者从不同视角证明了一个组合恒等式,以飨读者．     

二项式定理与组合恒等式

二项式定理是组合数学中一个重要的恒等式 ,即(ａ ｂ) ｎ= ｎｉ=0 Ｃｉｎａｎ -ｉｂｉ.其中Ｃｉｎ 称为二项式系数 .由于组合计数问题在数学竞赛中的重要地位 ,熟练地掌握组合数的性质 ,并能灵活地运用它们来解决各种问题 ,这对参赛选手来说 ,是十分必要的 .本文我们将介绍计算含有组合数的和式以及证明组合恒等式的一些常用方法 .例 1　证明 :Ｃ1ｎ 2Ｃ2 ｎ 3Ｃ3ｎ … ｎＣｎｎ=ｎ·2 ｎ - 1.证　注意到组合数的性质Ｃｋｎ=ｎｋＣｋ- 1ｎ - 1,∴Ｃ1ｎ =ｎＣ0 ｎ - 1,2Ｃ2 ｎ =ｎＣ1ｎ - 1,… ,ｎＣｎｎ =ｎＣｎ - 1ｎ - 1.于是　Ｃ1ｎ 2…     

一个组合恒等式的推广及应用

文[1]用两种方法证明了“一个奇妙的组合恒等式”: n∑j=0(-1)j(n -j)nCjn=n!(n∈N+)……(*)j=0 实际上,文[2]与文[3]分别用数学归纳法和概率证法证明了比(*)更强的组合恒等式:     

几个组合恒等式

在组合论中,如1中,组合恒等式是研究的对象之一,其内容丰富多彩,形式多种多样,有有限的组合恒等式,也有无限型的组合恒等式。 本文用巧妙的方法证明了两组新的有限型组合恒等式,然后利用这两组恒等式,又推出了另外几个恒等式。     

关于高阶Genocchi数和广义Lucas多项式的恒等式

利用组合数学的方法,得到了一些包含高阶Genocchi数和广义Lucas多项式的恒等式,并且由此建立了Fibonacci数与Riemann Zeta函数的关系式.     

与格路有关的组合恒等式

通过研究格路径的性质得到一类组合恒等式的通式,代入不同的参数给出已有的一些组合恒等式新的简洁证明,并得到一些新的组合恒等式.最后推广得到多项式系数的恒等式.     

两类组合恒等式的过渡方法

本文提出联系两类组合恒等式的极限方法，据此可二项式系数和项式系数恒等式自然过渡到Ａｂｅｌ型系数的组合等式。因此对任一给定的含参量的二项式系数的组合恒等式。这一方法可用于直接证明其至发现相同结构的Ａｂｅｌ系数恒等式。     

关于次序统计量数学期望的两个恒等式

受关于最大次序统计量数学期望恒等式的启发,给出了最小次序统计量数学期望的恒等式,并利用概率方法进行了证明.两个恒等式是对概率论知识的补充和推广     

用一个计数模型证明一类组合恒等式

本文给出了一个组合计数模型,首先证明组合恒等式的一边是此组合计数问题的解,再利用基本的计数原理证明组合恒等式的另一边也是该组合计数问题的解,并利用该方法证明了三个组合恒等式.     

理解方程解的意义,巧解一类整式问题

<正>有一类整式的乘法运算问题,一般地我们都用恒等式的方法去解决.如果换个角度,从数学结构和数学运算进行深层思考,利用方程解的意义来构建运算关系,可以另辟蹊径.问题1 (第10届"希望杯"全国数     

三角数列恒等式的证明

１引言有关三角数列和、积恒等式的证明问题,在现行高中数学教材中是用数学归纳法证明的,当然数学归纳法是证明这类恒等式的基本方法,但是过程比较繁琐．本文给出一种简洁的证明方法,它可以作为证明数列恒等式的通法．２两个定理定理１如果ｆ（ｎ）－ｆ（ｎ－１）＝ｇ...     

勿忘恒等式

同学们在初中应该知道,所谓恒等式,即以任意实数值代换一个等式中的字母,这个等式仍然可以成立的一种特定的等式．本人在教学中发现,到了高中,很多同学对此似乎已经尘封了记忆,更难以借助恒等式的有关性质解决问题．实际上,在高中很多数学问题的解决都需利用恒等式．因此,恒等式仍然有其鲜活的生命力．