正方形的花式裁剪和拼接

一、裁剪拼接成长方体1．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱（如图1），箱底边长多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？     

争鸣：问题

问题136 数学选修1-1B版，在导数的实际应用中有这样一个典型例题，有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？     

有趣的“无盖水箱”——一个极值问题的推广

六年制重点中学高中课本《微积分初步》第145页例2是:“用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转九十度,再焊接而成(如图1)。问水箱底边的长应取多少,才能使水箱容积最大,最大容积是多少?”其结果为:“当水箱底边长取40厘米时,容积最大,最大容积是16000立方厘米。”容易看出,所求水箱底面正方形的边心距与高的比等于2;侧面积与底面积相等。有趣的是,这一结论对任意圆外切n边形仍然适合。命题将圆外切n边形的各边等宽地翻转90°(各角处的多余部分截去),折成一个直棱柱形的无盖水箱。如果它的容积最大,那么其底面边心距与高     

折纸盒中的完全平方数问题

问题的提出有一边长为ａ和ｂ（ａｂ）的长方形的纸板，在四角各裁去大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖盒子，要使纸盒的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？设裁去的正方形的边长为ｘ，则做成的无盖纸盒的容积Ｖ为Ｖ＝ｘ（ａ－２ｘ）（ｂ－２ｘ）（０＜ｘ...     

用均值不等式求极值中的待定系数法

均值不等式常用于求极值问题 ,一般通过观察、适当配值即可达到目的 ,但有些问题只靠观察拼凑无法实现合理配值 ,这时 ,可采用待定系数法 ,根据题目要求和不等式取等号的条件 ,列出关于待定系数的方程或方程组 ,若方程或方程组有解 ,则求极值问题就迎刃而解了 .下面通过几道极值问题的求解过程 ,来说明这一方法的应用 .1　求积的最大值例 1　有一边长为ａ和ｂ (ａ≥ｂ)的长方形的纸板 ,在四角各裁去一个大小相同的正方形 ,把四边折起做成一个无盖的盒子 ,要使纸盒的容积最大 ,问裁去的正方形的边长应为多少 ?解　设裁去的正方形的边长为ｘ ,…     

由围棋盘所想到的……

亲爱的同学们,你们当中的许多人一定喜欢下围棋．围棋盘是18×18的正方形网格,你想过它上边有多少个正方形吗? 设小正方形的边长为1．     

帮你认识2~(1/2)

你认识2~(1/2)吗?1.2~(1/2)的代数意义:2~(1/2)是2的算术平方根;2.2~(1/2)的几何意义:将边长为4的正方形纸片的四个角向中心对折,如右图.阴影部分的正方形的面积为2.由此得到:2~(1/2)是面积为2的正方形的边长;是边长为1的正方形的对角线.3.2~(1/2)的值是多少呢?我们做如下的探讨.(1)因为12=1,22=4,32=9,…,平方数越来越大,所以2~(1/2)大于1而小于2;     

三角形的外接正方形

1 问题的提出 小明不小心将裤子扯了一个三角形的洞,妈妈准备剪一块正方形的补丁补上.问如何剪正方形的边长最小?     

初中数学中的覆盖问题初探

一、用多边形覆盖解决问题 问题1用边长为1的正方形覆盖3×3的正方形网格,最多覆盖边长为1的正方形网格（覆盖一部分就算覆盖）的个数是——．     

加法原理与乘法原理的应用举例

加法原理与乘法原理是解决中学排列、组合问题的关键的两个原理。一般举例甚浅,给人形成一种可有可无的印象,看不到方法的强有力性,作为教科书的补充,今举二例: 例1、在n×n个小方格上,求由若干个小方格刚好拼成正方形的个数。解;设一个小方格的边长为1,完成拼成正方形这件事,有n类办法: 拼成边长为1的正方形,有n~2个; 拼成边长为2的正方形,有(n-1)~2个; 拼成边长为3的正方形,有(n-2)~2个; ……拼成边长为(n-1)的正方形,有2~2个; 拼成边长为n的正方形,有1~2个; 故依加法原理知,刚好能够拼成的正方形共有     

一道课本题的变式探究

题目(人教版·数学·八年级下册,第116页,实验与探究1)如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,两个正方形的边长相等,那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的14,想一想为什么?     

新解几道中考压轴题

<正>例1(陕西省2012年25题)如图,正三角形ABC的边长为3+3～(1/2).(1)如图1①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上.在正三角形ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;     

正方形内接最大和最小正三角形

<正>0引言如果一个三角形(正三角形)的三个顶点都落在一个正方形的边上,则称这个三角形为该正方形的内接三角形(内接正三角形).由于正三角形的边长平方与面积的大小成正比,可以通过比较正三角形的边长来比较面积的大小,也可称面积最大(小)的正三角形为最大(小)的正三角形.文[1]首先给出正方形内接正三角形尺规作图的一般作法,然后用代数的方法探讨其内接正三角形的面积最值,最后巧妙作出正方形的最大和最小内接正三角形.本     

也谈正方形的剖分问题

吴振奎先生在文[1]中介绍了将边长是整数的正方形剖分成边长全是整数的直角三角形(以下称整边直角三角形)的有趣问题．并在同一文中提到：1976年,有人创下了正方形边长为48的边长最短正方形的整边直角三角形剖分,剖分的个数是7(见图1,图中数字表示该边边长．)．     

走进实验室 探索无极限

北京师范大学新世纪版数学教材七年级上册中有一个课题学习,问题是这样的:用一张边长为a的正方形硬纸板,在其4个角上剪去四个边长为b(0相似文献   

待定系数法在基本不等式中的应用

请先看一个例子 :例 1　有一块长为 2米宽为 1米的矩形铁皮 ,现要在四角各截去一个同样大小的正方形 ,然后做成无盖盒子 ,问该如何截方能使其容积最大 ?解　设截去的正方形边长为ｘ米 ,则所做的盒子的容积为Ｖ =ｘ(2 - 2ｘ) (1- 2ｘ) .此时 4Ｖ =4ｘ(2 - 2ｘ) (1- 2ｘ)可以看成三个因式的乘积 ,而这三个因式的和为定值 .然而由于方程4ｘ =2 - 2ｘ =1- 2ｘ无解 ,因此这时我们不能直接应用基本不等式3 ｘ1ｘ2 ｘ3≤ ｘ1+ｘ2 +ｘ33,ｘ1,ｘ2 ,ｘ3∈Ｒ+来求解 .为了能用基本不等式求解 ,我们引入参数ａ ,ｂ(0 <ａ <12 ,0 <ｂ <12 ) ,此时ｘ ,2ａ …     

动点运动路线长求解

动点运动路线长求解,一般应先模拟运动方式判断动点运动的路线形状,然后根据相应图形形状进行求解计算.下面举例加以说明.一、圆弧型例1如图1,将边长为a的正方形ABCD沿直线L按顺时针方向翻滚,当正方形翻滚一周时,正方形的中心O所经过的路径长为多少?     

“拼”图的背后

问题同时用边长为1的正三角形和边长为1的正方形拼(无重叠无间隙)凸多边形．见到这个问题,稍做思考,你就会想出可以拼成五边形,如图1;六边形,如图2．但这个问题并没有得到完整的解答．怎样解决好这个问题呢?下面我们借助于代数的     

一道正方形习题的证明与变式

<正>题目如图1,B、C、E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形(两正方形边长不等),点G在边DC上,连接AF、DE.试证明AF=2^(1/2)DE.证法一如图2,延长FG与AB交于点H,显然FG⊥AB于H,设正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b(不妨设a>b),在Rt△AHF中,AF(1/2)DE.证法一如图2,延长FG与AB交于点H,显然FG⊥AB于H,设正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b(不妨设a>b),在Rt△AHF中,AF²=AH2=AH²+HF2+HF²,因     

扇形内的内接正方形

1　引言《数学通报》2 0 0 2年第 11期问题 14 0 5如下 :问题 14 0 5 [1] 在半径为 1,圆心角为α(0 <α <π2 )的扇形铁皮中剪出一块面积尽量大的正方形有甲、乙两种方案 (如图 1) .按哪种方案剪出的正方形面积最大 ,为什么 ?图 1《数学通报》2 0 0 2年第 12期上刊登了问题设计者提供的解答 .得出结论 :当 0 <α<π6 时 ,按乙种方案剪取所得的正方形面积较大 ;当α=π6 时 ,两种方案剪取所得的面积相等 ;当 π6 <α<π2 时 ,按甲种方案剪取所得的正方形的面积较大 .由于解答中正方形的边长是用三角函数表示的 ,实际操作时无法准确剪出欲求正…