多元函数微分学总结

各位同学:今天我们把多元函数的微分学总结一下,着重总结二元函数的微分学.因为二元函数是多元函数的一个代表,把二元函数的微分学掌握好了,多元函数的微分学也就可以类似地掌握住了.     

多元函数微分学导引

掌握了一元函数微分学之后,便可以进一步学习多元函数微分学。由于函数的自变量个数增多,引起了一系列的变化,使多元函数与一元函数在若干方面存在本貭的差异。虽然如此,处理多元函数問題时,在相当程度上,于一定条件下可借用一元函数的有关概念与方法。所以,随时注意这种区别和联系,对掌握多元函数微分学会有一定的帮助。上述的区别和联系,当从一元函数过渡到二元函数的研究吋,便充分得到显示;至于从二元推广到多元,則仅需在技巧方面下工夫,而沒有原則上的困难。因此,本文重点討論二元函数,其結果不难推广到多元函数。由于篇幅有限,仅討論最基本的概念:极限,連續,微商与微分,并涉及一些初步应用。学过一元函数微分学的讀者都可以看懂。进一步的材料可参考[1],[2],[3],[4],[5]各书。     

浅谈一元微分学与高中数学课程的衔接

针对一元微分学课程与中学一元微分学内容的衔接问题予以探讨，提出几点意见．以使大学一元微分学课程能够有效地过渡和衔接．     

微分学中不等式的证明

针对微分学不等式列出五种常用证明方法,即利用单调性证明法,利用拉格朗日中值定理证明法,利用最值证明法,利用泰勒公式证明法,和利用凹凸性证明法.实例说明每种方法的使用细节,以达到使初学者能尽快掌握微分学不等式证明的目的.     

微分学中构造函数的新方法

结合实例将常微分方程中的首次积分和特征方程理论应用于微分学中函数的构造,从而使之有章可循.     

一类微分学问题的新方法

一类微分学问题的新方法武忠祥（西安交通大学理学院，西安７１００４９）本文通过几个实例介绍通常用泰勒定理来解决的一类微分学问题的新方法———辅助多项式函数法．例１设ｆ（ｘ）在［０，１］上有二阶连续导数，且ｆ（０）＝ｆ（１）＝０，ｍｉｎ０≤ｘ≤１ｆ（ｘ）...     

一类微分学问题的新方法

本文通过几个实例介绍通常用泰勒定理来解决的一类微分学问题的新方法——辅助多项式函数法．     

利用微分学证明不等式的几种典型证法

通过对几道不等式证明题的分析,文中总结了利用微分学证明不等式的常用方法,有助于学生加深对微分学知识的理解,激发学生的学习兴趣,也有利于学生发散思维培养及提高解决问题的能力.     

微分学简史

17世纪时笛卡儿,费尔玛及其他学者解决曲线的切线问题及变量的极大值和极小值的问题是走向建立微分学最初尝试.各别的这类问题也曾为古希腊数学家解决过.比如,他们发现圆,圆锥曲线和一些别的曲线的切线作法;同时,他们把与曲线相遇但不穿过曲线的直线定义为该曲线的切线(不难看出,这种切线定义是与现在的定义不相符的);培尔加的阿波罗尼(??曾研究过从定点到已知圆锥曲线上之点的最长的和最短的线段问题,等等.但是这些古代数学家所研究出来的解决     

线性空间中微分学的一些问题

一般性的微分学是泛函数分析中最早兴起的项目之一。古典变分学在某些类的泛函数和运算子上运用了微分(变分)的概念。已经在上世纪的前半叶就已有一些工作出现,在它们之中论述了具有相当一般性的微分概念(包括变分概念)。一般性的微分学的思想在泛函数分析的某些基本概念和基本方法的产生上起了很大的作用。在线性泛函数分析的严整的理论被创立了以后,转回到一般性的微分学的问题就成为很自然的了。在才出版不久的Л.А.留什吉尔尼克和B.И.索波列夫的泛函数分析教程中(译者注:此书已有汉译本:杨从仁译:“泛函数分析概要”科学出版社出版),有专门的一章是讲述关于在线性空间中的微分学。     

微分学很有用

高等数学核心内容是微积分学,学习微分学以后可以帮助我们掌握很多技能,例如可以求非均匀变化量的瞬时变化率、可以求各种方程根的近似值、可以求函数的极值和最值、可以精准地画出函数的图像、可以计算近似增量、可以利用函数的幂级数展开式求非幂函数初等函数的函数近似值等.     

“多元微分学概念”的研究性教学尝试

针对多元微分学中概念多,并且概念之间的关系难以把握这一教学难题,采用研究性教学模式,通过具体例子对概念以及概念间的关系进行分析、证明与反思,从中了解概念本质,并建立这些概念间的正确关联.     

多元函数微分学中的反例构造技巧

文中给出了多元函数微分学的四个定义"连续、可偏导、可微、偏导数连续"之间关系的反例及其构造思路.     

一元函数微分学解题策略初探

本文结合典型例题,将一元函数微分学的解题策略作基本归纳与解释说明.将抽象的数学问题与公式,联系形象的趣味实例,探讨一题多解、变量代换、列方程求解、联想应用等破题策略,为广大师生及数学爱好者自学、复习相关内容及教学工作提供参考.     

多元微分学中探究式的教学案例

在学习多元函数性质时,一定要和一元函数性质加以比较,找出它们的异同点,因此有很多探究性问题可供学生思考.文中给出了多元微分学的五个探究式教学案例,供同行参考.     

微分学基本定理论证的"积分辅助函数法"

用积分的观点可以统一处理微分学中几个基本定理论证中辅助函数的构作问题。     

谈多元微分学中几个概念间的关系

学习多元函数微分学,一定要弄清连续、偏导数、全微分、方向导数之间的关系,并与一元函数中连续、可导、可微之间的关系比较,看看有何类似.有何区别,才能更好地掌握和使用这些基本概念.从教材中我们知道这几个基本概念间的关系(以二元函数为例)由下面定理给出:     

多元函数微分学中几个基本概念之间的关系

针对多元函数微分学中用以刻画函数局部性态的基本概念,给出连续、偏导数、可微、方向导数之间的关系图,采用证明和举反例的方式．深入分析这些概念之间的关系．     

从微分学观点看二次曲线中心和对称轴

解析几何中已知二次曲线Ax~2 2Bxy cy~2 2Dx 2Ey F=0其中A、B、C不全为零,当△=B~2-AC(?)0时,有中心,其坐标(x_0,y_0)为Ax By D=0和Bx cy E=0的解。本文试图用微分学的方法给出证明,同时给出对     

球面上两点间距离的微分学证明

在高中数学选修课程《球面上的几何》中,球面上两点间距离的概念依赖如下结论:结论1设A,B是球面上两点,在连接A,B两点的球面曲线段中,以过这两点的大圆弧中的劣弧长最短.教材对结论1作了一个直观解释,却并未给出严格证明,本文将用微分学知识对这个结论作一论证.引理1三面角中任意两个面角的和大于第三