用函数的观点解决数列问题

数列是反映自然规律的基本数学模型,在数学研究中一直有不可低估的地位,是各级各类考试的热点内容．尤其是高考中十分重要的考查部分．2010年江苏省高考说明中数列部分的三项内容,其中两项能级要求达到C级,其重要性不言而喻．     

利用函数的观点解决数列问题举例

在学习数列内容时适当加强与函数的联系,运用函数的观点和方法处理问题,不仅有利于对数列知识的理解,而且可使学生对函数的认识进一步深化,提高学生综合应用知识的能力.1.数列与函数概念的联系与区别数列的通项公式与前n项和均可以看成定义在自然数集(或其有限真子集)上关于项数n的函数.但在这之前接触的一般是自变量连续变化的函数,所以在应用函数观点解决数列问题时要特别注意.例1已知数列{an}的通项公式为an=nn--78..88,判断an有无最大值、最小值,若没有说明理由,若有则求出最大值、最小值.解:∵an=nn--78..88=n-n-88.8.+81=1+n-18.8,由…     

用数列递推法解函数方程

解迭代型函数方程，若能转化为递推数列解，往往能使较复杂的问题得到新的简捷解法，本文就一些较典型的问题介绍如下：例1证明，存在正实数集R 到R 的唯一函数f,使得当x＞0时，f(x)＞0且证对任意x>0，定义可得到数列a0，a1，a2，...．由题设条件可得故a0，a1，a2，...为二阶线性递归数列，（1）的特征方程为r2 r-6=0，得特征根为-3，2，故。且C1 C2=x，其中C1、C2为常数．对于所有于是．因且x＞0时，2x＞0，为满足条件的唯一解．例2令N=｛1，2，3，...｝，论证是否存在函数f：N、N，使1）对一切n6N成立．解令a。一n，／（n）一「。；（…     

浅议函数与方程思想的运用

函数与方程思想是中学数学的重要思想方法之一,其首次出现在高中数学新知学习不久。这是一种知识性的思想方法,将函数与方程之间建立了桥梁、进行了沟通。函数与方程思想最初出现应该是在初高中衔接的一元二次不等式的解法这一内容中,从这里学生清晰地理解了一元二次函数、一元二次方程,以及一元二次不等式之间的紧密联系（如下表）,函数与方程之间的相互转化已经在头脑中初具雏形。     

函数与方程思想在等差数列中的运用

我们知道{an}是等差数列时,an=a1 (n .当d≠0时,an是n的一次函数(n∈三N*),Sn是n的二次函数,且不含常数项(n∈N*). 根据等差数列的定义,容易得到它的几个等价命题: {an}为等差数列d为常数) an=an b(a、b为常数) Sn=an2 bn(a、b为常数). 由此可见,等差数列中的通项及求和问题,与函数、方程知识有着密切关系.下面举例     

函数迭代与函数方程

1　函数的迭代　我们先来看下面的例子 .例 1　某人逛商场 .他先付一元钱进入第一家商场 ,并在商场花了剩余的钱的一半 ,走出商场时 ,又付了一元钱 .之后 ,他又付一元钱进入第二家商场 ,在这里他花了剩余的钱的一半 ,走出商场时又付了一元钱 ,接着他又用同样的方式进出第三和第四家商场 ,当他离开第四家商场后 ,这时他身上只剩下一元钱 .问 :他进入第一家商场之前身上有多少钱 ?解　设该人进入第ｉ个商场之前身上的钱为ｘｉ元 ,ｉ=1,2 ,3,4,且设ｘ5=1.于是ｘｉ 1=12 (ｘｉ- 1) - 1,(ｉ=1,2 ,3,4)令 ｆ(ｘ) =12 (ｘ - 1) - 1=12 (ｘ 3) - 3…     

数列与高斯函数综合问题

<正>2016年新课标全国Ⅱ卷数列文科和理科解答题属于姊妹题,两个题都是将数列与高斯函数相结合,设计新颖,构思巧妙,体现了落实基础,强化概念,能力立意,彰显素养的设计理念,坚持熟而不俗、俗中有变,变中出新,新而有梯的原则,入手容易,满分较难.     

关于函数方程的研究

函数方程,至今还没有完整的理论和方法,因此,不论是对方程本身的研究或是函数方程中未知函数的求解,都须要有较强的技能和技巧以及良好的数学素质和数学能力。正是这个原因,函数方程成了近年来IMO的内容之一,也引起了数学教育界的广泛兴趣。值得注意的是简单的函数方程还出现在国内高中各次数学竞赛的试题中,所以本文拟对函数方程概念和函数方程常见解法做个初步研究。一、函数方程的概念 1.什么是函数方程定义1 表示一个未知函数或未知函数类的确定性质的关系式(方程或等式)称为函数方程。含一个未知函数f的函数方程一般可以表为F(f(x)、f(y))=0或F(x,f(x))=0等等。例如     

由数列定义的函数

We construct real valued functions from infinite sequences. We also consider some properties of such functions and null sequences.     

函数单调性与数列型不等式

<正>数列型不等式为高考数学的一个新的亮点问题,解这类问题需要我们具有扎实的数学基础知识和较强的观察、分析、构造和运算能力,有些题目具有一定的技巧性.对于含有lnn的不等式,我们通常是利用不等式ln(x+1)0)或者lnx1)进行证明.本文在此基础上进一步揭示证明数列型不等式的常用方法,特别是利用不等式e^x>x+1>ln(x+2)或其变形式,通过构造函数,经过合     

函数与数列综合问题例析

数列是高考的热点 ,是学生进一步学习的基础 .数列与函数知识的综合应用是学生学习的难点 ,下面列举这方面的例子进行分析 .例 1　已知函数f(x)在 ( - 1,1)上有定义 ,f 12 =- 1,且满足x ,y∈ ( - 1,1)有 f(x) +f(y) =f x + y1+xy .1)证明 :f(x)在 ( - 1,1)上为奇函数 ;2 )对数列x1 =12 ,xn + 1 =2xn1+x2 n,求 f(xn) ;3)求证 1f(x1 ) + 1f(x2 ) +… + 1f(xn) >- 2n + 5n + 2 .解　 1)令x =y =0 ,则 2 f( 0 ) =f( 0 ) ,∴ f( 0 )= 0 .令 y =-x∈ ( - 1,1) ,则f(x) + f( -x) =f( 0 ) =0 ,∴ f( -x) =- f(x) ,即f(x)为 ( - 1,1)上的奇函数 .( 2 …     

递推数列与函数“不动点”

数列综合题是高考数学中的热点和难点之一，特别是已知递推关系但又难求通项的数列综合题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，这里我们以例题的形式说明函数“不动点”与递推数列之间的关系，以及怎样利用函数“不动点”来分析、解决与递推数列有关的综合题，以期对同学们有所帮助．     

例谈函数与数列问题的交融

为了考查学生的创新意识和发展的潜能，近几年高考命题的思路，遵循在知识的整体意义和交汇点上加以设计试题的原则，加大了问题的综合程度和思想方法的运用的深度．为此，广大中学师生深感不适．函数与数列均为高中数学的重点内容，两者交融的试题常作为各类考试能力考查的把关题．其实，这一类问题在数学的知识体系中非常重要，应引起足够的重视．     

例说函数与方程思想在三角问题中的运用

函数思想与方程思想都是中学数学中基本的重要的思想,下面通过例题说明运用这些思想解决三角问题的方法． 一、构造函数求三角函数最值     

方程在数列中的应用

在学习数学归纳法时,我发现以下几个公式:这几个公式也就是通项公式为的数列的前n项和公式.仔细观察这几个数列,不难发现它们有一个     

函数与方程问题解读

函数与方程既是高中数学中的重要内容,又是重要的数学思想之一,因此务必熟练掌握,学习时只要紧紧把握:一个概念——函数零点的概念;个关系——函数的零点与函数图像和x轴交点的横坐标以及对方程根的关系;一个定理——零点存在性定理;一个求法——用二分法求方程的近似解,就不难熟练掌握这部分内容.下面这部分内容详细解读如下,供学习时参考.     

探析数列中的函数问题

<正>数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应一列函数值.最近,我上了两堂高三数学探究课"数列中的函数问题的讨论",目的是帮助学生进一步深化学习"数列中的项与和",寻找处理它们的函数方法.本文运用函数观点,探析数列中与函数特别暧昧的几类问题,供读者参考.