Damped response of thin plates to step loads including geometric nonlinearity

Summary This paper presents an approximate solution of the large deflection damped response of thin isotropic circular and rectangular plates subjected to step loads. Simply-supported and clamped plates with movable and immovable inplane conditions are considered. Von Kármán-type equations are employed in terms of the transverse deflection and the stress function. The deflection is approximated by a one-term spatial shape function and Galerkin's method is used to obtain the differential equation for the central deflection. This equation is solved by the Newmark- scheme. Comparison with available results has demonstrated that satisfactory engineering accuracy is achieved by the present method.

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Die Antwort dünner Platten auf sprungförmige Lasten bei geometrischer Nichtlinearität und Dämpfung

Übersicht Eine Näherungslösung für große Durchsenkungen von dünnen, isotropen Kreisund Rechteckplatten wird hier beschrieben, wobei die Randbedingungen einer gelenkigen bzw. festen Lagerung mit Beweglichkeit oder Fesselung in der Plattenebene behandelt werden. Ausgedrückt durch die Durchsenkung und die Spannungsfunktion ergeben sich Grundgleichungen des von Kármán-Typs. Die Durchsenkung wird als Produktansatz einer Biegeform und Zeitfunktion approximiert und Galerkins Methode angewandt, um eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Durchsenkung der Plattenmitte zu erhalten. Diese Gleichung wird mit Hilfe von Newmarks -Methode gelöst. Vergleiche mit zugänglichen Ergebnissen zeigen, daß mit hiesigem Vorgehen eine ingenieurmäßig zufriedenstellende Genauigkeit erzielt wird.

     

Instationäre Grenzschichteffekte an Tragflügelprofilen

Übersicht Es wird ein Verfahren zur Berechnung von laminarer Ablösung sowie Stabilität und Transition von instationären, zweidimensionalen Grenzschichten angegeben. Die laminare Grenzschichtlösung erfolgt mit einem instationär modifizierten Kármán-Pohlhausen-Verfahren. Der Instabilitätspunkt wird mit einer instationären Stabilitätstheorie erhalten, wobei das zeitabhängige Eigenspektrum der Sommerfeld-Gleichung durch ein Galerkin-Verfahren approximiert wird. Der Umschlagspunkt wird durch eine Anfachungsrechnung, kombiniert mit empirischen Kriterien, erhalten. Die mit dem hier vorgestellten Verfahren vorhergesagten instationären Grenzschichteffekte stimmen qualitativ gut mit verfügbaren experimentellen Daten überein.

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Unsteady boundary layer effects on airfoil sections

Summary A method is presented for the prediction of laminar separation, instability and transition of unsteady, two-dimensional boundary layers. The laminar boundary layer solution is obtained by a time dependent modification of the Kármán-Pohlhausen-method. The stability of the boundary layer is analyzed by a time dependent instability theory, where the time dependent Eigenspektrum of the Sommerfeld equation is approximated by a Galerkin method. The transition point is predicted from the Tollmien-Schlichting growth rates, combined with semiempirical criteria. The present predictions of the unsteady boundary layer effects are found to be in qualitative agreement with available experimental data.

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Verküzte Fassung der von der Universität Hamburg, Institut für Schiffbau, angenommenen Dissertation 1992. Vollst. Fassung Ber. Nr. 529. Inst. f. Schiffbau, Dez. 1992.     

Nonlinear vibration of generally laminated anisotropic thick plates

Summary Nonlinear equations of motion of generally laminated anisotropic plates are derived by use of Hamilton's principle. The effects of transverse shear and rotatory inertia are included in the analysis. The equations of motion so obtained readily reduce to those obtained in a recent nonlinear theory of anisotropic plates including transverse shear and rotatory inertia and to the dynamic von Kármán equations of plates. Based on the Galarkin procedure and principle of harmonic balance approximate solutions to the governing equations of generally laminated rectangular plates are formulated for various boundary conditions. Including the effects of transverse shear and rotatory inertia numerical results for the ratio of nonlinear frequency to linear frequency of symmetric angle-ply and cross-ply laminates, unsymmetric angle-ply and cross-ply laminates and an arbitrarily laminated plate are presented graphically for various values of elastic properties, fiber orientation angle, number of layers, thickness-to-span ratio and aspect ratio. Present results are also compared with the existing data.

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Nichtlineare Schwingungen von anisotropen, dicken Verbundplatten

übersicht Die nichtlinearen Bewegungsgleichungen anisotroper, dicker Verbundplatten werden mit Hilfe des Prinzips von Hamilton hergeleitet. Dabei werden die Einflüsse der Schubspannungen und der Drehträgheit berücksichtigt. Mit dem Verfahren von Galerkin und der Methode der harmonischen Balance werden Näherungslösungen für Rechteckplatten bei verschiedenen Randbedingungen gewonnen. Numerische Ergebnisse für verschiedene Materialparameter sind graphisch dargestellt und werden mit bereits bekannten Ergebnissen verglichen.

     

The derivation of dual extremum and complementary stationary principles in geometrical non-linear shell theory

Summary In non-linear elasticity dual extremum principles can be formulated for some class of elastic deformations, for which uniqueness of the solution is assured. These results are used in the present paper to derive extremal variational principles for geometrical non-linear shells with moderate rotations. Furthermore two complementary variational principles are considered, which are stationary principles without any extremum property. The proposed theorems are valid also for the special cases of linear plates and shells, for the non-linear von Kármán plate theory and for non-linear Donnell-Marguerre type shells.

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Übersicht In der nichtlinearen Elastizitätstheorie lassen sich duale Extremalprinzipe für solche elastische Verformungen herleiten, für die Eindeutigkeit der Lösung gewährleistet ist. Diese Resultate werden in der vorliegenden Arbeit benutzt, um für geometrisch-nichtlineare Schalen mit moderaten Rotationen Extremalprinzipe zu erhalten. Darüber hinaus werden zwei komplementäre Variationstheoreme angegeben, die Stationaritätsprinzipe ohne Extremaleigenschaft sind. Die vorgeschlagenen Verfahren gelten auch für die Sonderfälle der linearen Platten- und Schalentheorie, für die nichtlineare von Kármánsche Plattentheorie sowie für die nichtlineare Donnell-Marguerresche Schalentheorie.

     

Postbuckling of angle-ply and anisotropic plates

Summary An analysis based on the von Kármán-type large-deflection equations of plates is presented for the postbuckling behavior of homogeneous and symmetrically laminated anisotropic rectangular plates. Boundary conditions for both simply supported and clamped edges are considered. A solution is obtained by expressing the force function and transverse deflection as double series involving the appropriate beam eigen-functions. Numerical results are presented for graphite-epoxy angle-ply laminates and homogeneous anisotropic plates. In the cases of buckling of anisotropic plates and postbuckling of isotropic and orthotropic plates, the present solution is in good agreement with existing solutions.

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Übersicht Es wird das Nachbeulverhalten von homogenen, symmetrisch geschichteten, anisotropen Rechteckplatten auf der Grundlage der von Kármán angegebenen Platten-Gleichungen für große Auslenkungen untersucht. Dabei werden sowohl einfach aufliegende, wie auch eingespannte Ränder als Randbedingungen berücksichtigt. Lösungen werden dadurch gewonnen, daß die Belastungsfunktion und die Querauslenkung als doppelte Reihen von geeigneten Balken-Eigenfunktionen angesetzt werden. Für Graphit-Epoxid-Schichtplatten und anisotrope homogene Platten werden numerische Ergebnisse mitgeteilt. Die erhaltenen Lösungen stimmen in den Fällen des Beulens von anisotropen Platten sowie des Nachbeulens von isotropen und orthotropen Platten gut mit bekannten Lösungen überein.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National Research Council of Canada.     

On the use of a rheogoniometer

Summary Further consideration is given to the usefulness of theWeissenberg Rheogoniometer in the characterization of elastico-viscous liquids. The theory for free and forced oscillation experiments in the parallel-plate system is developed. The advantages of the parallel-plate geometry in the case of forced oscillation experiments is stressed, and the limited value offree oscillation experiments is indicated.

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Zusammenfassung Die Brauchbarkeit des Weissenberg'schen Rheogoniometers bei der Charakterisierung viskoelastischer Flüssigkeiten wird einer weiteren Erörterung unterzogen. Es wird die Theorie für Versuche mit freien und erzwungenen Schwingungen im Parallelplattensystem entwickelt. Die Vorteile der Parallelplattengeometrie im Falle von Versuchen mit erzwungenen Schwingungen werden betont, auf den beschränkten Wert von Versuchen mit freien Schwingungen wird hingewiesen.

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Paper read at the Annual Meeting of the German Rheologists, Bad Ems, May 18–19, 1967.     

The viscosity of a polar fluid with suspensions

Summary The apparent viscosity of a polar fluid with suspensions of rigid spherical particles undergoing a prescribed bulk motion is calculated. It is shown that the increased rate of dissipation in a polar fluid with suspensions is greater than that of a Newtonian fluid. It is found that the relationship between the viscosity and the concentration has a same form with that of a Newtonian fluid suspension of which ambient fluid has a shear viscosity multiplied by a factor which is greater than unity.

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Zusammenfassung Die scheinbare Viskosität einer polaren Flüssigkeit mit suspendierten steifen, kugelförmigen Teilchen, die eine vorgeschriebene Bewegung ausführen, wird berechnet. Es wird gezeigt, daß die anwachsende Dissipationsgeschwindigkeit in einer polaren Flüssigkeit mit suspendierten Teilchen größer ist als die einerNewtonschen Flüssigkeit. Es zeigt sich, daß die Beziehung zwischen der Viskosität und der Konzentration die gleiche Form hat wie die einerNewtonschen Flüssigkeitssuspension, bei der die umgebende Flüssigkeit eine Scherviskosität besitzt, multipliziert mit einem Faktor größer als 1.

     

Stability and secondary bifurcation for von Kármán plates

Summary The Movchan-Liapunov theorem is used to establish a sufficiency criterion for stability of equilibrium configurations of the von Kármán plate under edge loads and displacements. This criterion is used to characterize the possible occurrence of secondary bifurcation from the first buckled state of the perfect plate. A Koiter-Fitch post-bifurcation analysis of the secondary solution leads to a tentative explanation of the mode-jumping phenomenon that is observed experimentally. A numerical study of the rectangular plate for various aspect ratios is given. For this example, the base solution is represented as a perturbation power series in an appropriate load parameter.

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Zusammenfassung Der Movchan-Liapunov Lehrsatz wird benutzt, um ein Zulänglichkeitskriterion für die Stabilität von Gleichgewichtskonfigurationen der von Kármán Platte bei Randbelastungen und Verschiebungen herzustellen. Dieses Kriterion wird benutzt, um den möglichen Eintritt sekundärer Gabelung vom ersten verbogenen Zustand der perfekten Platte zu charakterisieren. Eine Koiter-Fitch Nachgabelungsanalyse der Sekundärlösung führt zu einer tentativen Erklärung des sprunghaften Konfigurationswechsels, den man experimentell beobachtet. Eine numerische Untersuchung der rechteckigen Platte für verschiedene Längenverhältnisse ist gegeben. Für diese Beispiele wird die Primärlösung als Störungspotenzreihe im angemessenen Belastungsparameter gegeben.

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This paper is based in part upon the thesis submitted by the first author to the University of Minnesota in partial fulfillment of the requirements for the Ph. D. degree. Support given by a NASA traineeship is gratefully acknowledged.     

Rheological simulation of synovial fluid by a synthetic macromolecular solution

Summary The flow characteristics of a series of potential synthetic synovial fluids have been examined. These were mainly solutions of polyvinyl pyrrolidone in water. The techniques leading to the production of a fluid with flow properties very similar to normal synovial are described.The apparent shear elasticity and relaxation time data of the synthetic fluid as compared to normal fluid are discussed in terms of the relative importance of intermolecular entanglement and intermolecular complexing in the 2 fluids.

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Zusammenfassung Die Synovialflüssigkeit von normalen menschlichen Gelenken zeigt ein charakteristisches Theologisches Verhalten, das stark verändert ist, wenn das Gelenk von rheumatischer Arthritis befallen ist. Um die Möglichkeit der Substitution mit einer synthetischen Gelenkflüssigkeit im krankhaften Gelenk zu bewerten, mit dem Ziel die Symptome zu erleichtern und den Prozeß der Gelenkzerstörung zu verzögern, wurde besonders Wert darauf gelegt, eine Polymerlösung zu finden mit ähnlichen Theologischen Eigenschaften wie eine normale Synovialflüssigkeit. Es wird angenommen, daß das besondere rheologische Verhalten einer normalen Synovialflüssigkeit (hohe Viskosität und Elastizität, ausgeprägtes nicht-Newtonsches Verhalten und Thixotropie) von Bedeutung für das Schmieren von Gelenken ist, obwohl ihre genaue Bedeutung im Bezug auf Reibung noch nicht gesichert ist und augenblicklich diskutiert wird.Fließexperimente wurden mit einemWeissenberg-Rheogoniometer usgeführt und mit einem UV-Schreiber registriert, um genaue Fließ-Spannungswerte zu erhalten.In dieser Abhandlung werden Ergebnisse über das Fließverhalten verschiedener möglicher synthetischer Flüssigkeiten veröffentlicht einschließlich der, die schließlich gewählt wurde: eine Lösung von umgewandeltem PVP (Polyvinylpyrrolidon). Dies ist ein wasserlöslicher hochmolekularer Stoff, der sich als physiologisch verträglich und nicht-toxisch gezeigt hat. Wäßrige 10%ige Lösungen mit hochmolekularem PVP ha ben ein Viskositätsverhalten, das bei niedrigerer Schubbel astung der normalen Synovialflüssigkeit ähnlich ist, aber nichtthixotropes und nur leicht nicht-Newtonsches und elastisches Verhalten zeigt. Im Labor hergestelltes hochgereinigtes PVP ergab ein Polymerisat, das in Lösung ein ähnliches Verhalten zeigte wie Handelsmaterial. Bestrahlung jedoch mit einer kritischen Dosis von 1,5 mrad in einem UCR 100 Reaktor erzeugte ein Polymerisat, das in 10%iger wäßriger Lösung ein Fließverhalten zeigte, das der normalen Synovialflüssigkeit sehr ähnlich war.Diese Ergebnisse werden im Detail dargelegt: besonders die Eigenschaften unter Höchstbelastung, die bei Beginn einer Schubbelastung in tangentialer als auch in normaler Richtung auftreten. Die Wirkung von anderen Bestrahlungsdosen auf das Theologische Verhalten wird auch beschrieben. Die Scher-Resistenz der synthetischen Flüssigkeit wurde mit einem Rheogoniometer und einem Gelenk-Simulator getestet und die Schmiereigenschaften mit der normalen Synovialflüssigkeit verglichen.Die Bedeutung der Theologischen Ergebnisse wird im Licht der neuen Theorien für Lösungen von Polymeren, die einem Scherfließen unterworfen sind, diskutiert, und mögliche Anwendungen auf andere biologische Flüssigkeitssysteme werden vorgeschlagen.

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Paper presented to the British Society of Rheology Conference on Rheology in Medicine and Pharmacy, London, April 14–15, 1970.     

Zum Einfluß der Kompressibilität des Fluides bei sphärisch schwingenden Gasblasen in Flüssigkeiten

Übersicht Die von Herring und Trilling hergeleitete Differentialgleichung zur Beschreibung der Radialbewegung einer pulsierenden Gasblase in einer Flüssigkeit unter Berücksichtigung der Kompressibilität des Fluides wird ergänzt und numerisch gelöst. Die Ergebnisse werden mit dem bekannten RPNNP-Blasen-Modell, welches die Flüssigkeit als inkompressibel voraussetzt, verglichen. Die eigenen Rechnungen zeigen sehr gute Übereinstimmung mit den Experimenten von Lauterborn und Ebeling. Es zeigt sich, daß auch bei kleinen Radialgeschwindigkeiten der Blasenwand die Kompressibilität der Flüssigkeit eine wichtige Rolle spielt. Die Kollapszeit wird von beiden Modellen gut wiedergegeben.

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Summary The differential equation of the radial motion of a pulsating gas bubble in a liquid including the fluid compressibility given by Herring and Trilling is completed and solved numerically. The results are compared with the known incompressible RPNNP-bubble model. The own calculations are in a very good agreement with the experiments by Lauterborn and Ebeling. It shows that the fluid compressibility is very important at small radial velocities of the bubble wall, too. The time of collapse is good represented by both models

     

The effects of random longitudinal vibration on pipe flow of a non-Newtonian fluid

Summary A perturbation solution to a pulsating pipe flow of a non-Newtonian fluid is developed. The pipe is vibrated longitudinally in a random stationary manner and the fluid is driven by a constant pressure drop. Three explicit constitutive equations are studied: the generalized Newtonian, the strain-rate and the strain-dependent constitutive equations. It is found that all three of them are capable of describing the flow enhancement phenomenon observed byMena et al. and that this effect is entirely an inertia effect which is exhibited only by shear-thinning fluids.

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Zusammenfassung Es wird eine Näherungslösung für die pulsierende Rohrströmung einer nicht-newtonschen Flüssigkeit entwickelt. Das Rohr vibriert dabei in Längsrichtung nach Art eines stationären stochastischen Prozesses, und die Flüssigkeit wird durch ein konstantes Druckgefälle angetrieben. Drei Formen rheologischer Stoffgleichungen werden untersucht: die einer verallgemeinerten newtonschen, einer deformationsgeschwindigkeits-und einer deformationsabhängigen Flüssigkeit. Es wird gefunden, daß alle drei Modelle imstande sind, das vonMena und Mitarbeiter beobachtete Phänomen der Durchsatzsteigerung zu beschreiben und daß dieser Effekt ein reiner Trägheitseffekt ist, der nur bei Flüssigkeiten mit Scherentzähung vorkommt.

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With 3 figures     

The principle of complementary energy in nonlinear plate theory

In this paper, the priciple of complementary energy is given for the von Kármán nonlinear plate theory. Thenecessary conditions are three linear and static equilibrium equations in the interior and static boundary conditions on that part of the boundary surface, where forces are prescribed. The stationary value of the complementary energy functional leads to the stress-displacement relations and the geometric boundary conditions.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das komplementäre Variationsprinzip für die nichtlineare Plattentheorie nach von Kármán untersucht. Als notwendige Bedingungen ergeben sich drei lineare statische Gleichgewichtsbedingungen sowie lineare statische Randbedingungen auf dem Teil des Randes, auf dem die Kräfte vorgegeben sind. Für den stationären Wert des Funktionals erhält man die Schnittgrößen-Verformungsbeziehungen sowie die geometrischen Randbedingungen.

     

Traction on a conductor and Helmholtz tensor

Summary A rigorous deduction of the force per unit area which acts on any electric conductor surrounded by a linear dielectric fluid at rest is presented. Moreover, it is proved that the Helmholtz stress tensor is one of the infinitely many second-order tensors which yield the stresses acting on the surface of a conductor immersed in the fluid.

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Die auf einen Leiter wirkenden Kräfte und der Helmholtz-Tensor

Übersicht Eine strenge Herleitung der Kraft pro Einheisfläche, die auf einen elektrischen Leiter wirkt, der von einer linear dielektrischen Flüssigkeit im Ruhezustand umgeben wird, wird gegeben. Überdies wird gezeigt, daß der Helmholtz-Spannungstensor einer der unendlich vielen Tensoren zweiter Ordnung ist, die Angaben über die Spannungen liefern, die auf die Oberfläche eines von der Flüssigkeit umgebenen Leiters wirken.

     

Liquid oscillations in a prolate spheroidal container

Summary Free and forced oscillations of a frictionless liquid with a free surface in prolate spheroidal container geometries are investigated analytically. The container geometries treated here include all types of annular sectorial and truncated spheroids for which the natural frequencies of the sloshing liquid were determined. For a partially filled simple prolate spheroidal container the natural frequencies were evaluated numerically for different slenderness ratios and compared for a particular container with experimental results. The agreement of test data with the theoretical results is quite good. Equivalent cylindrical containers which exhibit equal liquid surface area and equal volume as the liquid in a spheroid show also good results and could be employed for design work of space vehicles.

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Flüssigkeitsschwingungen in Sphäroidbehältern

Übersicht Es wurden in annular-sektoriellen Sphäroidbehältern, die teilweise mit einer Flüssigkeit gefüllt sind, freie und erzwungene Schwingungen untersucht. Dabei wurden die Eigenfrequenzen der Flüssigkeit und ihre Antwort auf Translationsanregung für verschiedene Schlankheitsgrade des Sphäroids bestimmt. Für die Flüssigkeit in einem einfachen Sphäroid wurden die Eigenfrequenzen gemessen. Sie zeigen gute Übereinstimmung mit den theoretischen Ergebnissen. Das Schwappen in äquivalenten zylindrischen Behältern mit gleicher freier Oberfläche und gleichem Flüssigkeitsvolumen stimmt gut mit dem in einem Sphäroid überein, so daß die Ergebnisse eines Zylindertanks für den Entwurf von Raumflugkörpern mit Sphäroidbehältern benutzt werden können.

     

A variational solution of the Rayleigh problem for a power law non-Newtonian conducting fluid

Summary An investigation is made of the magnetic Rayleigh problem where a semi-infinite plate is given an impulsive motion and thereafter moves with constant velocity in a non-Newtonian power law fluid of infinite extent. The nonstationary flow of this electrically conducting fluid in a transverse magnetic field is then analyzed.The solution to this highly non-linear problem is obtained by means of a new variational principle developed by the authors. This new principle allows one to obtain the solution in a straightforward manner. Unlike other variational techniques in dissipative physics the authors' possesses a pure Hamiltonian structure and obeys all the laws of the classical variational calculus.It is shown that the influence of the magnetic field is greater on the coefficient of friction of dilatant fluids than pseudo-plastic fluids. In the absence of a magnetic field the thickness of the boundary layer increases with increasing powers of the fluid. Finally, the shape of the velocity profile is more strongly dependent on the magnetic field strength for pseudo-plastic fluids than for dilatant fluids.

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Übersicht Es wird das folgende Rayleigh-Problem untersucht: eine einseitig unendliche Platte wird stoßartig in Bewegung gesetzt und bewegt sich anschließend mit konstanter Geschwindigkeit in einer unendlich ausgedehnten Flüssigkeit, die einem nicht-Newtonschen Potenzgesetz gehorcht. Die instationäre Strömung dieser elektrisch leitenden Flüssigkeit in einem magnetischen Querfeld wird untersucht. Die Lösung des hochgradig nichtlinearen Problems geschieht durch ein von den Autoren entwickeltes neues Variationsprinzip, das die Lösung auf direktem Wege abzuleiten gestattet. Zum Unterschied von anderen Variationsverfahren, die in der Physik dissipativer Medien verwendet werden, hat das Verfahren der Verfasser eine rein Hamiltonsche Struktur und genügt allen Bedingungen der klassischen Variationsrechnung.Es wird gezeigt, daß der Einfluß des Magnetfeldes auf den Reibungskoeffizienten bei dilatanten Fluiden größer als bei pseudoplastischen Fluiden ist. Bei Abwesenheit eines Magnetfeldes wächst die Grenzschichtdicke mit dem Potenzexponenten der Fluid-Stoffgleichung. Schließlich hängt die Form des Geschwindigkeitsprofils für pseudo-plastische Fluide stärker vom Magnetfeld ab als dies bei dilatanten Fluiden der Fall ist.

     

Die simultane Translations- und Rotationsbewegung einer Kugel in einer elastoviskosen Flüssigkeit

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß die Messung von Kraft und Moment bei der simultanen Translations- und Rotationsbewegung einer Kugel in einer allgemeinen inkompressiblen elastoviskosen Flüssigkeit die vollständige Bestimmung der Stoffkonstanten der rheologischen Zustandsgleichung bis zur dritten Ordnung ermöglicht. Diese Untersuchung, welche eine Verallgemeinerung des bekanntenStokesschen. Problems auf eine elastoviskose Flüssigkeit bedeutet, wird mit Hilfe eines Störungsverfahrens durchgeführt und bedient sich der Methode der vektoriellen Kugelfunktionen. Die Ergebnisse werden an Hand zweier Modellflüssigkeiten diskutiert. Die Beziehung zu Untersuchungen anderer Autoren wird aufgezeigt.

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Summary It is shown that measuring of the frictional force and couple in the simultaneous translational and rotational motion of a sphere in a general incompressible elastico-viscous fluid allows complete determination of the material constants of the rheological equation of state up to the third order. This investigation, which means a generalisation of the well knownStokes problem with respect to an elastico-viscous fluid, is executed by means of a perturbation method and uses vector spherical harmonics. The results are discussed in terms of two model fluids. Relations to papers by other authors are established.

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Vortrag, gehalten am 14. April 1963 auf der Rheologentagung in Bad Oeynhausen.

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Zum 100jährigen Jubiläum der Farbenfabriken Bayer AG.     

Extremum principles in the theory of plasticity for fluid-saturated porous media

Summary For ideal plastic deformed porous solids filled up with fluid, extremum principles are formulated: a minimum principle for the velocities and a maximum principle for the stresses. These principles enable to restrict the exact solution of boundary-value problems. This is shown in an example.

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Extremalprinzipe innerhalb der Plastizitätstheorie für flüssigkeitsgesättigte, poröse Körper

Übersicht Für ideal plastisch deformierte poröse Körper, die mit Flüssigkeit gefüllt sind, werden Extremalaussagen formuliert: ein Minimalprinzip für die Geschwindigkeiten und ein Maximalprinzip für die Spannungen. Sie gestatten die Einschränkung der exakten Lösung eines Randwertproblems. Dies wird an einem Beispiel gezeigt.

     

Zur Berechnung der Potentialströmung um quergestellte Luftschiffkörper

Zusammenfassung Zunächst wird das v. Kármánsche Verfahren, die Potentialströmung um quergestellte Luftschiffkörper mit Hilfe einer streckenweise konstanten Dipolbelegung auf der Achse des Körpers zu berechnen, kurz skizziert und einige Überlegungen für Beginn und Ende der Belegung angestellt. Dann wird dieses Verfahren verbessert durch Annahme einer stetigen, stückweise linear veränderlichen Dipolbelegung auf der Achse. Der zweite Hauptteil der Arbeit bringt die Berechnung der Potentialströmung mit Hilfe von Quellen und Senken, die auf der Oberfläche des Luftschiffkörpers angeordnet sind. Die Integralgleichung, der diese Oberflächenbelegung genügen muß, wird angeschrieben, und der Kern auf Funktionen zurückgeführt, die sich aus vollständigen elliptischen Normalintegralen zusammensetzen lassen. Für diese Funktionen werden Diagramme gegeben. Die Integralgleichung ist durch Iteration lösbar. Die Konvergenz des Verfahrens ist gut. Zum Schluß werden die Formeln zur Berechnung der Geschwindigkeit auf der Oberfläche und des Potentials für einen beliebigen Punkt angegeben.Herrn Prof. Dr.Betz bin ich für die Anregung zu dieser Arbeit und für seine Ratschläge bei ihrer Abfassung zu besonderem Dank verpflichtet.     

On bubble motion in a Hele-Shaw cell,a possibility to study two-phase flows under reduced gravity

Summary In order zu simulate the motion of gas bubbles in a surrounding fluid under conditions of residual gravity in an earthbound workshop, a Hele-Shaw cell, i.e., a narrow rectangular channel filled with viscous liquid, can be utilized. Starting from the equations of creeping motion, the flow past a circular cylindrical bubble (as seen from above), located between the plates of the Hele-Shaw apparatus and surrounded by a viscous, incompressible and homogeneous fluid, has been investigated. A formula for the translational velocity of the bubble, relative to the liquid, has been derived. By employing the methods of conformal mapping noncircular (elliptical) bubble contours are taken into consideration also. The influence of surface tension at the liquid-gas interface has been dealt with approximately. Theoretical and experimental results show good agreement. The problem under study is related to the space processing of materials, especially degassing of molten matter.

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Übersicht Zur Simulation der Bewegung von Gasblasen in einer Flüssigkeit unter reduzierter Schwere kann in einem erdgebundenen Laboratorium ein Hele-Shaw Kanal verwandt werden. Die Apparatur besteht im wesentlichen aus zwei eng benachbarten rechteckigen Platten, deren Zwischenraum mit einer zähen Flüssigkeit gefüllt ist. Ausgehend von den Bewegungsgleichungen einer schleichenden Strömung wird die Umströmung einer kreiszylinderförmigen (von oben gesehen) Gasblase untersucht. Die Gasblase berühre, abgesehen von einem sehr dünnen Flüssigkeitsfilm, beide Plattenwände und sei von einer reibungsbehafteten, dichtebeständigen und homogenen Flüssigkeit umgeben. Für die Translationsbewegung der Blase relativ zur Flüssigkeit wird ein expliziter Ausdruck angegeben. Mittels konformer Abbildung lassen sich auch nicht-kreiszylinderförmige (elliptische) Blasen behandeln. Dem Einfluß der Oberflächenspannung an der Trennfläche FlüssigkeitGas wird näherungsweise Rechnung getragen. Theoretische und experimentelle Resultate zeigen gute Übereinstimmung. Das vorliegende Problem tritt auf im Zusammenhang mit verfahrenstechnischen Prozessen der Materialherstellung unter Weltraumbedingungen, insbesondere bei der Entgasung von Flüssigkeiten unter Schwerelosigkeit.

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Presented at the XXth COSPAR Meeting and Associated Symposia (Working Group 8 on Materials Sciences in Space), Tel Aviv, Israel, 7–18 June, 1977 (Paper VIII. 3.6).     

Numerical solutions of some unsteady laminar flows of viscoelastic fluids in concentric annuli with axially moving boundaries

Summary The numerical solution of the steady and nonsteady laminar, isothermal flow of the 6-constant Oldroyd fluid in concentric annuli with axially moving boundaries, is given. The steady flow problem involves the solution of a non-linear ordinary differential equation. In the non-steady flow problem, a modified finite difference method, given byTownsend, is used. It is shown that the steady flow solution obtained directly and the solution obtained from the start-up flow problem agree with each other, thus showing the validity of the finite difference method. In various flow situations, start-up flow, flow decay, decay of a disturbance in the pressure, the effect of superimposed oscillations in the pressure gradient and in the axial velocity of the boundaries on the mean state of flow, are illustrated.

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Zusammenfassung Es werden numerische Lösungen der stationären und instationären laminaren, isothermen Strömung einer Oldroyd-Flüssigkeit mit sechs Konstanten in konzentrischen Ringspalten mit axial bewegten Wänden angegeben. Das stationäre Strömungsproblem erfordert die Lösung einer nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichung. Beim instationären Problem wird in Anlehnung anTownsend eine modifizierte Finite-Differenzen-Methode angewandt. Es wird gezeigt, daß die direkt erhaltenen Lösungen des stationären Problems mit den numerisch erhaltenen Lösungen des instationären Problems übereinstimmen, wodurch die Anwendbarkeit dieser Methode nachgewiesen ist. Für verschiedene Strömungssituationen wie Anlauf- und Abklingströmung, Abklingen nach einer Druckströmung sowie der Einwirkung von überlagerten Schwingungen im Druckgradienten und in der Axialbewegung der Wände auf den mittleren Strömungszustand werden die resultierenden Ergebnisse veranschaulicht.

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With 15 figures