二元二次方程组为何产生增解

学生解二元二次方程组x y 1=0① x~2 4y~2=8②一般先从①式得y=-x-1③,代入②得x_1=-2,x_2=2/5。再将x_1,x_2代入③或①式得y_1=1,y_2=-7/6。于是原方程组的两个解是     

解二元二次方程组的通法

对于一般的二元二次方程组A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0,A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0。可以写成下列形式 A_1x~2+(B_1y+D_1)x+ A_2x~2+(B_2y+D_2)x+ (C_1y~2+E_1y+F_1)=0 (1) (C_2y~2+E_2y+F_2)=0 (2)也可以把它写成y的降幂排列形式,如果把x~2、x作为两个未知数,那么解此二元一次方程组,有     

二元二次方程组求解的一个几何解释

在解析几何学中,我们把二元二次方程在平面的仿射坐标系(包括直角坐标系作为其特别情形)里所代表的曲线叫做二阶曲线。通过用坐标变换把方程化简的方法,最后可以断定,二阶曲线按其形状来分共有九种,各种曲线的最简单的方程是: 1.椭圆(包括圆) x~2+y~2-1=0, 2.虚椭圆 x~2+y~2+1=0, 3.双曲线 x~2-y~2-1=0, 4.一对相交的直线 x~2-y~2=0, 5.一个点(点椭圆或者说是一对虚的相交直线) x~2+y~2=0, 6.抛物线 x~2-y=0,     

关于有限区间上二次函数的最大(小)值

先看一道问题的解答: 问题:x、y是实数,且满足等式3x~2 2y~2=6x,求x~2 y~2的最大值. 解由3x~2 2y~2=6x,得y~2=-3/2x~2 3x,从而K=x~2 y~2=x~2-3/2x~2 3x=1/2x~2 3x.故由-1/2<0,可知当x=3/2×(-1/2)=3时,有(x~2 y~2)_(max)=4(-1/2)×0-3~2/4(-1/2)=9/2. 这是一道在约束条件下可化为求二次函数最大值的问题.上述解题过程显然是错误的,而这种错误不易被学生所觉察,常常出现在作业中.错误的根源在于没有考虑到“约束条件”,而乱用二次函数y=ax~2 bx c的极值公式来求在有限区间上该函数的     

求变量间的某种组合问题

1 一个方程两个未知数在练习题和竞赛题中,我们常常会遇到下列类型的方程: 例1 解方程 4x~2-12xy+10y~2-4y+4=0 例2 求方程 2x+3y=13的正整数解。这类方程的特征是在一个方程中有两个未知数。这种方程,我们称之为不定方程。在一般情况下,不定方程的解是不定的。不过,有时根据方程的某些特殊性,我们可以求出它的确定的解。     

关于Pell方程组X~2-3y~2=1与y~2-Dz~2=1的解

设D=2p_1…P_s(1≤s≤4),P_1…,P_s是互异的奇素数.证明了:Pell方程组x~2-3y~2=1,y~2-Dz~2=1除开D=2×7,2×3×5×7×13外,仅有平凡解(x,y,z)=(±2,±1,0).     

关于不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4的解

设p1,…,ps(1≤s≤3)是互异的奇素数,则当D=p_1…p_s,1≤s≤3时,不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4仅有正整数解D=195,(x,y,z)=(97,28,2).     

x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的应用

“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为     

一类三参数四次Thue方程的一个注记

给出一类三参数的四次Thue方程x~4-4sx~3y-(2ab+4(a+b)s)x~2y~2-4absxy~3+a~2b~2y~4=1,s≥1,当a=2,b=1时的所有整数解(x,y).     

从一个方程談起

本文是围绕一个方程,做为一个高三学生汇报自己如何读数学书籍的初步体会,敬请老师们指正。试证含有x,y的不定方程: x~2-2y~2=1有无穷多组(正)整数解。现把“格点和面积”书中证明过程摘录如下: “显然x~2-2y~2=1有解x=3,y=2, 即 (3+2 2~(1/2)(3-2 2~(1/2))=1。平方并化简,得(17+12 2~(1/2))(17-12 2~(1/2)=1, 即 17~2-2×12~2=1。即 x=17,y=12,是另一组解。取立方,四次方……,即得无穷多组解。”这个证明,实际上提供了不定方程x~2-2y~2=1的解法。一开始,感到这种解法非常巧妙。仿照这种方法,试解了方程x~2-2y~2=-1。显然,x=1,y=1,是这个方程的一组自然数解(以下“自然数解”均写“解”)。随后发现,必须将原方程两边立方,才能得到第二组解x=7,y=5。以后便是五次方,七次方…。这样,便初步掌握了这种类型的方程的解法。在翻阅一本名叫《趣味的数和图》时,其中第一章“趣味的数字”里有一题:     

分式方程(组)的几种特殊解法

解分式方程(组),一般都是两边同乘以各个分母的最简公分母,把分式方程化为整式方程再求解。但在分式方程(组)中,还有一些习题直接利用这一般方法来解是很繁杂的,因此需要探究一些特殊解法。现归纳九种方法,供参考。一、换元法这种方法较为常用,课本也作了介绍。这里简单举例说明。例1、解方程x~2 3x-(20/(x~2 3x))=8〔《代数》第三册P_(152)) 解:比较两个式子,含有未知数的项都有x~2 3x,令y=x~2 3x,则原方程化为y-20/y=8。∴y~2-8y-20=0 得y_1=-2,y_2=10。由x~2 3x=-2,解得x_1=-1,x_2=-2, 由x~2 3x=10,解得x_3=-5,x_4=2。经检验这四个值都是原方程的根。     

解析几何解题技巧点滴

熟悉并掌握解析几何解题的技巧,是正确、迅速解题的必要条件。下面根据本人平时教学中的粗浅体会,谈谈一些常见的技巧。一、紧密结合代数知识研究几何问题众所周知,解析几何中解析法是借助于坐标系用代数的方法去研究几何问题的方法。如果能把代数知识充分灵活地运用,则几何问题就可迎刃而解。例1 已知曲线x~2+y~2+2kx+c=0中,c为负常数,证明:无论k取何值时,曲线恒过两定点。证:把圆系方程化为关于k的一元一次方程: 2x·k=-(x~2+y~2)-c (1) ∵k有无穷解,∴{2x=0 -(x~2+y~2)-c=0} 即{x=0 y=±-c(1/2) 显然这是满足关于x、y的方程的一组解,故曲     

巧解方程一例

例题解方程x=(x~2-2)~2-2．思考与分析如果将右边展开,则方程为4次方程,解起来显得太繁,若令y=x~2-2,可得方程组(?)解此方程组①-②得x-y=y~2-x~2,即(x-y)(x y 1)=0．     

借助于圓的二次方程的图解

1.假設已知化簡后的二次方程 x~2 px q=0配成完全平方: (x p/2)~2-(p~2/4-q)=0, -(x p/2)~2 (p~2/4-4)=0。用y~2表示方程的左端 y~2=(p~2/4-q)-(x p/2)~2,由此, (x p/2)~2 y~2=p~2/4-q,所得到的是一个圓的方程,其圓心为点(-p/2,0),半径为r=(p~2/4-q)~(1/p~2/4-q),此圓与Ox軸的交点的横坐标就是二次方程的根。例.图解方程 3x~2-8x-51=0,化簡后的方程是 x~2-2(2/3x)-17=0,或者 -(x-1(1/3))~2 18(7/9)=0。用y~2表示它的左端,得到一个圓的方程 (x-1(1/3)))~2 y~2=18(7/9)。圓心在点(1(1/3),0)半径等于当x=1(1/3)时的y的     

不求交点的技巧

《解析几何(平面)》课本P.116页,例3.“求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。”课本中通过解方程组求出椭圆与双曲线的交点坐标,然后再分别求出椭圆、双曲线在交点处的切线方程,进而由两切线斜率的乘积为-1,得到切线互相垂直的结论。思路自然,但解题过程却比较烦琐。其实本题有如下简捷的解法。证明:设两曲线交点为(x_o,y_o),则过交点的两曲线的切线方程分别为:     

二元二次方程组的教学

教学改革运动开展以来,我們在教学上采取了一系列措施。首先,在备课时充分研究如何精雕細刻地进行教学,如何在进行新課的教学中巩固和提高旧知識。現在仅就“二元二次方程组”这一单元教学的初步經驗做些介紹。 (一)加强概念的理解对于二元二次方程的一般形式 ax~2 bxy cy~2 dx ey f=0,其中bxy是二次項,这个“二次”的概念,多数同学是模糊的,以为x~2,y~2才是二次,而xy只是一次。我从直观着手,联系几何,說明一次项是“綫”二次项是“面”,x~2及y~2都是正方形,是“面”;但xy是长方形,也是“面”,因此学生对“二次”的概念就清楚了。学生对于一个二元二次方程可以有“无数組解”的意义不太明白,教师可联系二元一次方陧,从列表、作图来說明无数組解的情况,根据学生接受情况还可以介紹“不定方程”这个名词。     

中考中二元二次方程组的新题型

近年来的中考数学试卷中 ,围绕二元二次方程组的知识 ,出现了一批考查应用与创新能力的新题型 ,归纳起来主要有 :一、探索构造型例 1　一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是ｘ =2 ,ｙ =4和 ｘ =-2 ,ｙ =-4 .试写出符合要求的方程组.(只要填写一个即可 )(2 0 0 2年安徽省中考题 )分析　注意到 ｙ =2ｘ ,ｘｙ =8,ｘ2 + ｙ2 =2 0 ,等 ,可以构造出许多符合要求的二元二次方程组 ,如 :ｙ =2ｘ ,ｘｙ =8;2ｘ -ｙ =0 ,ｘ2 + ｙ2 =2 0 ;ｙ =2ｘ ,ｙ =ｘ2 + 2ｘ -4 ;等等 .随着你探索的角度不同 ,答案也不一样 .二、整体思…     

对学生解题中五种病例的剖析

学生在平时的数学作业及考试中,常会产生各种错误.本文通过对学生在解題思维过程中常见的五种病例作一些剖析,并初步探索在教学中如何防止思维错误、提高解题能力的途径. 一、概念混淆的病例例1 已知直线{x=2-t/2 y=-1 t/2(t为参数)与圆:x~2 y~2=4交于B、C两点,求这两个交点到A(2,-1)的距离之积和线段BC的长.     

数学问题解答

131.解方程:x~3 2(3~(1/2))x~2 3x 3~(1/2)-1=0解:令3~(1/2)=a则原方程变形为: x~3 2ax~2 a~2x a-1=0 即 xa~2(2x~2 1)a x~3-1=0 由于x=0非原方程的解,解关于a的二次方程得:     

高等数学模拟试题

一、解答题(本大题满分14分,共有2小题,每小题7分)解题时要写出必要的步骤.1.(7分)设u=arcctg(y/x)-cos(xy~2),求u_x,u_y答案:u°x=y/(x~2 y~2) y~2sin(xy~2);u°y=(-x)/(x~2 y~2) 2xy sin(xy~2)2.(7分)设z=e~(3x 2y),而x=cost,y=t~2,求(dz/dt)答案:e~(3x 2y)(4t-3sint)二、解答题(本大题满分24分,其有3小题,每小题8分)解题时要写出必要的步骤.