椭圆与双曲线的两个统一性质

由于椭圆与双曲线具有统一的定义，所以二者具有很多统一的性质，本文给出这两种曲线的两个统一性质．     

同轴椭圆与双曲线的两个性质

<正>如果椭圆的长轴、短轴分别与双曲线的实轴、虚轴(或虚轴、实轴)重合,则称这样椭圆与双曲线是同轴曲线.同轴椭圆与双曲线方程的形式类似,应该有内在的联系,本文进行初步探讨.题目如图1,已知椭圆D:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,双曲线C:x2=1,双曲线C:x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(或y2=1(或y²/b2/b²-x2-x²/a2/a²=1),其中a>b>0.     

“椭圆与双曲线的两个统一性质”的相关结论

文[1]中介绍了定理1：已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1的左右顶点分别为A1，A2，已知直线l：x=t（｜t｜≠a，t≠0），P为l上一动点（P不在椭圆上），直线PA1与椭圆交于另一点M，直线PA2与椭圆交于另一点N，则MN与x轴交于定点．并对它进行了征明．同时文[1]认为用同样的证明方法可得出双曲线也具有这样的性质，对此笔者存有疑异，觉得“双曲线也具有这样的性质”中有欠严谨的地方。     

“椭圆与双曲线的两个统一性质”的相关结论

文[1]中介绍了定理1:已知椭圆x2a2 y2b2=1的左右顶点分别为A1,A2,已知直线l:x=t(|t|≠a,t≠0),P为l上一动点(P不在椭圆上),直线PA1与椭圆交于另一点M,直线PA2与椭圆交于另一点N,则MN与x轴交于定点.并对它进行了证明.同时文[1]认为用同样的证明方法可得出双曲线也具有这样的性质.对此笔者存有疑异,觉得“双曲线也具有这样的性质”中有欠严谨的地方.显然作者在求双曲线与过左顶点A1的直线的交点,即解方程组x2a2-y2b2=1y=k1(x a)(1)(2)时,将(2)代入(1)得:(b2-a2k12)x2-2a3k12x-a4k12-a2b2=0,便直接利用求根公式得出交点坐标,而没有考虑到…     

椭圆两个性质的统一与推广

椭圆两个性质的统一与推广简超（武汉铁路成人中专４３００１２）设ＰＱ为椭圆Γ的弦，经过Γ的中心Ｏ作半弦ＯＲ∥ＰＱ，则有［１］—［３］１°当Ｐ为Γ长轴上的顶点（图１），Ｂ为ＰＱ与Γ短轴的交点时，｜ＯＲ｜２＝１２｜ＰＱ｜·｜ＰＢ｜．２°当ＰＱ经过Γ的焦点Ｆ...     

共焦点椭圆、双曲线的两个性质及应用

在求解一道共焦点的椭圆和双曲线的题目时,从离心率的视角展开了探究,发现了两个性质,并举例说明其应用.     

椭圆和双曲线的两对性质

椭圆和双曲线有许多相似的性质,我们不妨称之为它们俩的姊妹性质.本文再介绍两对椭圆和双曲线的姊妹性质,以使同学们对它们俩有更多的了解.     

椭圆和双曲线中两个统一的定值及其应用

本文介绍椭圆和双曲线中几个统一的定值及其应用． 定理1如果直线z与离心率为P的双曲线C：     

椭圆和双曲线中两个统一的定值及其应用

本文介绍椭圆和双曲线中几个统一的定值及其应用.定理1如果直线l与离心率为e的双曲线C:x~2/a~2-y~2/b~2=1(或椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0)交于A、B两点,P为线段AB的中点,且l与双曲线C(或椭圆)的对称轴不平行,则k_(OP)·k_(AB)=e~2-1.本文仅证明双曲线中的公式,椭圆中的公式留给读者自证.     

椭圆和双曲线的两种新的统一方程

根据圆锥曲线的统一定义所建立的椭圆、双曲线的统一方程为我们所熟知 ,笔者将椭圆、双曲线与直线进行类比得到它们的另外两种统一方程 ,现介绍如下 ,供同学们学习参考 .一、椭圆、双曲线的点离式方程与直线的点斜式方程 y -y1 =k(x -x1 )相类比 ,可以建立由椭圆、双曲线的离心率e及其上一点P(x1 ,y1 )所确定的方程 ,这种形式的方程称为椭圆、双曲线的点离式方程 .命题 1　若点P(x1 ,y1 )是离心率为e,且中心在坐标原点 ,焦点在坐标轴上的椭圆 (或双曲线 )上一点 ,则(1)当焦点在x轴上时 ,方程为y2 -y21 =(e2 -1) (x2 -x21 ) ;(2 )当焦点在y…     

椭圆与双曲线焦点的完美统一

在椭圆双曲线中通常会遇到这样一类题目：求与某椭圆（或双曲线）同焦点且过某一点的椭圆（或双曲线）的标准方程．常规方法通常要求出焦点,根据焦点位置设出所求圆锥曲线方程的类型,然后联立方程组求解．本文介绍一个有关椭圆与双曲线焦点的结论,使椭圆与双曲线的统一更加完美．     

浅议椭圆与双曲线的两条性质及其应用

在解析几何学习中，同学们对椭圆与双曲线的焦点的性质已经有一个全面的了解．但是，对椭圆和双曲线的顶点具有什么性质不是十分清楚，本文给出椭圆与双曲线的顶点的两条性质，供大家参考．     

关联椭圆、双曲线的几个有趣性质

给定椭圆E1:x2/a2+y/2b2=1(b>a>0)和双曲线E2:x2/a2-y2/b2=1(b>a>0),O为E1(或E2)的中心,则关联椭圆E1与双曲线E2有如下几个有趣的性质.性质1设A、B是双曲线E2上满足∠AOB=90°的两点(A、B均不在两直线y=±x上,以下同),A在y轴、x轴上的射影分别为A1、A2,B在y轴、x轴上的射影分别为B1、B2,OA、OB分别交椭圆E于点C、D,则     

双曲线平行弦的两个性质

笔者通过对双曲线的探究，发现了它的平行弦之间的两个新颖有趣的性质．     

双曲线平行弦的两个性质

笔者通过对双曲线的探究,发现了它的平行弦之间的两个新颖有趣的性质.性质1如图1,过双曲线x2a2-2yb2=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=12|AR|·|AQ|.图1双曲线证设OP的参数方程为x=tcosα,y=tsinα,t为参数.将x,y代入双曲线方程并整理,得     

圆的两条性质对椭圆双曲线的推广

大家知道,圆里有两条重要性质: ①直径所对的圆周角是直角; ②平分弦的直径垂直于弦. 从解析几何角度看:在图1中若两条直线 的斜率存在,则有①kAP·kBP=-1;②kOM· kCD=-1.     

关于双曲线 椭圆的一个性质

1　引子笔者在研究圆锥曲线时 ,发现图 1中的凸四边形AF1BF2 有内切圆 .事实上 ,由双曲线定义 :｜AF1｜- ｜AF2 ｜=｜BF1｜ - ｜BF2 ｜即 ｜AF1｜+ ｜BF2 ｜ =图 2｜AF2 ｜ + ｜BF1｜表明 ,四边形AF1BF2的两组对边之和相等 .由平几知识 ,知 :AF1BF2 有内切圆 .进一步 ,若AF1BF2 为凹四边形时 ,会有什么情况 .经过探求 ,得到以下结论 .图 32　性质性质 1　A ,B分别是双曲线同支上两点 ,连AF1,AF2 ,BF1,BF2 .( 1 )若四边形AF1BF2为凸四边形时 ,AF1BF2 有内切圆 (图 1 ) .　　 ( 2 )若四边形AF1BF2 为凹四边形时 ,则四边…     

黄金椭圆与双曲线的一个新性质

由于(5~(1/2)-1)/2与(5~(1/2) 1)/2这两个数都与黄金分割有关,离心率e=(5~(1/2)-1)/2的椭圆不妨叫做黄金椭圆,离心率e=(5~(1/2) 1)/2的双曲线不妨叫做黄金双曲线.它们有许多性质,已被大家所知,下面介绍一个新性质.性质1设B是椭圆的短轴顶点,A是与椭圆焦点F相应的长轴顶点,当且仅当椭圆为黄金椭圆时,∠ABF最大,其最大值是arcsin (5~(1/2)-2).     

椭圆和双曲线切线一个性质

笔者发现椭圆和双曲线切线一个新性质,并由此得到椭圆和双曲线切线的一种新颖作法.     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析1)重点 :椭圆与双曲线的定义及相关概念 ;椭圆与双曲线的标准方程及其推导 ;椭圆与双曲线的几何性质及应用 .2 )难点 :利用椭圆与双曲线的第一定义和第二定义解题 ;椭圆与双曲线的几何性质的应用 ;直线与椭圆、双曲线的位置关系及与弦有关的问题 .2　典型例题选讲例 1　已知Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的左、右焦点 ,Ｐ为椭圆上的一点 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =π3.1)求椭圆离心率的取值范围 ;2 )求证 :Ｓ△Ｆ1ＰＦ2 =33ｂ2 .图 1　例 1图讲解　由椭圆的第一定义 :|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,而 |ＰＦ1| ,|ＰＦ…