Riemann Zeta函数的七阶和式

通过构造一个Riemann Zeta函数ζ(k)的部分和ζ_n(k)的幂级数函数,利用牛顿二项式展开及柯西乘积公式可以计算出一些重要的和式.再将该幂级数函数由一元推广到二元甚至多元,由此得到Riemann Zeta函数的高次方和式之间的关系.并利用对数函数与第一类Stirling数之间的关系式及ζ(k)函数满足的相关等式,可得出Riemann Zeta函数的18个七阶和式,以及其它一些高次方的和式.     

一类Genocchi数与Riemann Zeta函数多重求和的计算公式

本文利用计算技巧建立Genocchi数Gn与Riemann Zeta函数ζ(2n)多重求和的一般结果,推广王大明,张祥德^[5]的结果。     

(ζ)(i)的一个新的卷积公式

本文利用概率方法讨论了关于Riemann Zeta函数ζ(i)的卷积∑k-2 i=2ζ(k-i),k≥4, Euler证明了这个卷积与级数∑n≥1 Hn/nk-1有关,使用Stirling展开我们发现了一个新的不同的结果．     

一类新的包含Riemann Zeta函数的求和计算公式

1引 言 本文ζ(s)表示Riemann Zeta函数,当Re(s)>1时,ζ(s)=sum from n=1to∞(1/n~s).包含ζ(s)的形如     

Riemann Zeta函数的一个表达式

在本短文中,我们考虑整函数sum from n=1 to ∞((1/n~2)e(-(z~2)/n~2)),得到Riemann Zeta函数;ζ(s)的一个表达式。 由伽码函数知,当σ=Re(s)<2时,     

关于ζ函数的积分表示

由Riemannζ函数的函数方程得到Hurwitzζ函数的Hermite公式,再从Hermite公式得到Γ(s)的Binet′s第二表达式,从而由ζ函数推得Γ(s)的性质.     

关于RiemannZeta函数的几个级数的渐近展式

在[1]、[2]中分别得到下面两个渐近展式及其应用:■其中q是任意自然数,ζ(s)=sum from n=1 to ∞(1/n~?)(Re(s)>1)是Riemann Zeta函数在这篇短文中,我们得到另外一些渐近展式。定理当t→+∞时,下列渐近展式成立:     

Riemann-Zeta函数在σ=1/2线上零点个数的一个下界

<正> 设T>0,N(T)表示Riemann Zeta函数ζ(s)(s=σ+it)在区域0≤σ≤1,0相似文献   

一个包含Smarandache函数的混合均值

利用素数函数π(x)和Riemann zeta-函数ζ(s)的解析性质,通过分区间讨论的方法研究了一个包含Smarandache函数的加权均值,并给出了它的一个渐近公式.     

分圆域的Zeta函数若干特殊值的计算公式

设K=Q(ζm)为m次分圆域,K 为其最大实子域,ζK(s)和ζK (s)为K和K 的DedekindZeta函数.对于m=pS和pq(其中p,q为奇素数),本文分别得到了Zeta函数值ζK (1-n)和ζK(1-n)/ζK (1-n)的计算公式,其中n为任意正整数.这发展了F.Hazama最近的关于p次分圆域的结果,还纠正了其一处系数错误.     

ζ(2k)的一种简便算法

给出了Riemannζ函数中ζ(s)=∑1/ns,当s=2k(k∈N+)时的欧拉公式的简便证明方法和若干应用.     

分圆域的Zeta函数若干特殊值的计算公式

设K=Q(ζm)为m次分圆域,K+为其最大实子域,ζK(s)和ζK+(s)为K和K+的DedekindZeta函数.对于m=ps和pq(其中p,q为奇素数),本文分别得到了Zeta函数值ζK+(1-n)和ζK(1-n)/ζK+(1-n)的计算公式,其中n为任意正整数.这发展了F.Hazama最近的关于p次分圆域的结果,还纠正了其一处系数错误.     

一类扩展Euler和的表示问题

应用Parseval定理和Nielsen广义多重对数函数的性质,给出了非线性扩展Euler和的Riemann Zeta函数表示.对来自于实验数学中的扩展Euler和∑n=1∞H2n/n2的经验公式给出了严格的理论证明.此方法也适用于求其它扩展Euler和的计算问题.     

ζ(k)的部分和五阶和式的计算

u1,u2…是独立、同分布于(0,1)区间上均匀分布的随机变量.本文证明了1-u1u2…uk的n-1阶矩(n≥1)是以调和数的部分和ζn(r)=∑j=1n 1/jr,r≥1为变元的指数型完全Bell多项式,因此Riemann-Zeta函数ζ(k),k≥2能够被展开成第一类无符号Stirling数s(n,k)的级数,从而计算出与ζn(r)有关的全部6个五阶和式.它们都是ζ(5)与ζ(2)ζ(3)的有理组合.     

关于ζ函数的积分表示

主要研究了ζ函数的积分表示形式;通过解析数论的研究方法,利用黎曼ζ函数方程,给出了关于赫尔维茨ζ函数的埃尔米特公式,利用埃尔米特公式得出关于Γ函数的比内第二表达式,通过ζ函数得出Γ函数一些性质.     

ON THE ERROR FUNCTION OF THE SQUARE-FULL INTEGERS

Let L(x) denote the number of square-full integers not exceeding x. It is proved in [1] thatL(x)～(ζ(3/2)/ζ(3))x~(1/2) (ζ(2/3)/ζ(2))x~(1/3) as x→∞,where ζ(s) denotes the Riemann zeta function. Let △(x) denote the error function in the asymptotic formula for L(x). It was shown by D. Suryanaryana~([2]) on the Riemann hypothesis (RH) that1/x integral from n=1 to x |△(t)|dt=O(x~(1/10 s))for every ε>0. In this paper the author proves the following asymptotic formula for the mean-value of △(x) under the assumption of R. H.integral from n=1 to T (△~2(t/t~(6/5))) dt～c log T,where c>0 is a constant.     

Ramanujan公式与Riemann Zeta函数在正奇数点上的值

在Ramanujan的“Notebooks”[1]中,有以下包含Zeta函数在奇数点上的值的两个公式:其中Bi是Bernoulli数,正数α,β满足条件αβ=π~2,Σ′表示当k是奇数2m—1时,最后一项应是(—1)~mπ~(2m)B_(2m)~2/(m！)~2. Hardy[2]证明了公式(A).1972年E.Grosswald[3]证明了公式(B).在此以前,E.Grosswald[4]还给出了ζ(2k+1)的一个表达式. 本文的目的是:(1)用Hardy证明公式(A)的方法证明公式(B);(2)用Siegel证明Dedekind函数方程的方法[5]简便地证明公式(B);(3)由公式(B)导出ζ(2k+1)的表达式,并在此过程中得出一些其他关系式.     

ξ（i）的一个新的卷积公式

本文利用概率方法讨论了关于Riemann Zeta函数ξ（i）的卷积∑^k-2 i=2 ∑（k-i）,k≥4,Euler证明了这个卷积与级数∑ n≥1 Hn/n^（k-1）有关，使用Stirling展开我们发现了一个新的不同的结果．     

Riemann的Zeta函数论简介

本文将介绍Riemann Zeta函数的发展梗概、基本结果和它的主要研究方面。众所周知,Riemann Zeta函数的定义是     

Riemann‘s zeta函数零点分布的几个性质

表示Riemann’s zeta函数ζ(z)在半直线{Re(z)=1/2,Im(z)>0}上的零点,再记