排列、組合应用題的教学

高中代数里的排列和組合,不仅为深入学习某些数学理諭所需要,就是在实用科学中也有它的应用,在教学必須面向生产面向实际的今天,学好这些教材就具有特別重要的意义。有关排列、組合的教学間題,数学通报1958年8、9月号刊載的汪述云同志一文已有述及,本文拟着重就排列、組合应用题的教学发表几点意見。首先谈談怎样解决存在于学生间的几个主要难点。 (1)要使学生在判別排列或組合問题时做到迅速     

排列、組合的教学

1.前言排列、组合是高中代数教学中比較难讲的一个課題,“怎样分辨排列問題和組合問題?”,“怎样正确地审查題意并列出簡捷的算式?”,“在一个問題里所获得的若干个数字,应当相乘,还是应当相加?”这一連串的問題都是不易使学生搞清的。但是,这一单元不仅和下一单元二項式定理密切相关,还是将来学习具有广泛应用的概率論的重要工具,因此还是必須教好学好的。現仅提出我在教学中的一些体会,供大家研究。 2.概念从m个元素里,每次取出n个元素,按照一定的順序摆在一排,叫做从m个元素里每次取出n个元素的排列;从m个元素里,每次取出n个元素,不管怎样的顺序并成一組,叫做从m个元素里每次取出n个元素的組合。     

我对講解算术应用問題的一点体会

初一学生,有时常常这样反映:算术应用問題难,遇到一道题,找不到解題的途径,无从下手;有的对某些应用問題,虽然会解,但不会讲解道理,因此缺乏判断解法是否合理的能力;有的不会分析已知条件和未知条件之間的数量关系,乱套公式,以致造成錯誤。我觉得产生这种情况的主要原因是学生缺乏独立思考的能力,这反映了在我过去的教学中,过多地注意了如何教懂学生,而疏忽了如何教会学生。另一方面也反映了学生对一些基本知識掌握得不透彻。事实上,任何一个較复杂的应用題,經过分析可以看出它是若干簡单問題的綜合,只要让学生学会分析,掌握規律,那末他們就会举一反三地去解决他們所遇到的一些問題。当我认識到这些后,在教学中作了改进,学生的解題能力有了一些提高。下面簡单地談談我讲解一个应用問題的过程: 甲用每小时4.25公里的     

排列与組合

排列与組合数的計算在很多方面都有应用,中学教材中对不重复的排列数与組合数有了初步的討論。本文将討論某些更一般的排列与組合問題。在討論这些公式中,也适当介紹一些方法,即在§1,§2中介紹直接数个数的方法,在§3中簡单地介紹一下某些組合数的递推公式以及应用这些公式来求組合数的方法,     

一個組合問题

有一個問題:“以20冊數學通報任意分配給37個圖書館,有多少種方法?”這個問題的解決,一般說來,與下面所述是完全相同的,即:設有p個正整數r_1,r_2,r_3,…r_p,其中可以有零和相等的,不過,它們之間有一個關係式r_1+r_2+…+r_p=n…(1) 存在,n是一個給定的正整數,則能適合(1)的r_1,r_2,…,r_p的組數為H_n~p=C_(n+p-1)~p。 現在把這結果稍加推廣:設有p個正整數r_1,r_2,…,r_p,其中可以有相等的,但是每一個都不准小於一個給定的正整數a,而且它們之間仍有關係式(1)存在,n是一個給定的不小於p·a的正整數,試求能適合(1)的r_1,r_2,…,r_p的組數。 關於這個問題,我們這樣來討論:依假設,r_1,r_2,…,r_p都不准小於a,也就是說,它們的值至少是a。     

談談布列方程解应用問題的教学

分析应用問題的內容,正确地布列用以求解的方程是代数教学中培养学生解題技能和思維能力的一个課題。从經驗中可知,不少同學对于列方程解应用題常常不知如何下手,或者是虽然能列出方程,但也还沒能掌握解应用題的規律。因此在讲授这样課題时怎样由例及类比給学生讲清解应用题的規律,使得他們掌握分析問題的方法,就成为必須解决的問題了。根据我个人的經驗写出以下一些初步意見,供同志們参考。一、使能找出应用題的未知数和数量关系看到一个应用題之后,首先确定它所求的未知数和所包括的数量关系(即已知数和未知数间的关系)。譬如: 例1。少年文娱宣传队共分若干組,每組8人工作一天以后,又重新編組,每组12人,这样就少了两組,問少年文娛宣传队共有多少人?     

中学三角教学中的两个問題

一、三角学中的恒等变換 我們知道,加法定理以及由加法定理推出的各种公式(指簡化公式,倍角半角公式,积化和差、和差化积公式等等)与基本三角恆等式是三角恆等变換的基础。这些恆等变換就其作法来說不尽相同,因而很难給出一般的法则,也很难預知各种能以簡化的因素。要作到合理变换,除必須依靠不断实践和树立頑强学习精神外,还必須相应地掌握一些解題的技能和技巧。下面就用倍角的正弦和余弦的代数和表示正弦和余弦的方冪公式(或簡称‘降冪公式’)以及积化和差等問題談談自己的一些体会: 1.关于用倍角的正弦     

問題一瞥

1.証明不論n为何值,((5-5~(1/2))/10)((1-5~(1/2))/2)~n+((5+5~(1/2))/10)((1+5~(1/2))/2)~n为一整数。 2.令k=sum from i=0 to n i则式k(k-1)可以写成C_M~2 C_(m-2)~2的形式,並把m表为k的函数。 3.試証:不論自然数k和n为何值,     

在“用一元二次方程解应用問題”教学中的两个問题

問題虽然是发生在师大同学的实习課中,但对于中学老师們来說,也不无研究的意义。因此,写出来和中学的老师們商榷,并希予以指正。一、关于設x(或y)代表什么数的問題 有些实习生在教学这一課題时說:“对某些应用問題只能用x(或y)代表另外的未知数,从而間接地求得題中所要求的未知数。对这样的問題根本不能设x(或y)直接代表题中所要求的未知数而解出。”这种說法是不对的。根本沒有不能用x直接代表題中所要求的     

敎四則应用問題的几点体会

算术四則应用題,对初中一年級学生說来,是比較难于接受的,敎师講解时也感到困难。往往是学生听懂了,課后却不能独立思考、完成作業。其原因就是这些問題沒有固定的解法,不知如何把一些分散的条件联系起来逐步推到要求的問題上去。过去有过很多这方面的經驗,特別是圖解法,在講解应用題中起着很大的作用。本文打算从另外几个方面来談。 1.使学生牢固的掌握最常見的数量关系大綱說:“应用題的內容应当由最常見的数     

关于复习課中的例題选择問題

为了使学生获得系統而牢固的知識,需要經常进行复习。复习課較难組織。这是由于要通过复习課把学生所获得的知識系統化,深刻化,不仅要把学生所学过的知識重新由記忆中呈現出来,同时还要闡明所学問題的某些新的方面,在重新理解旧知識的基础上,扩大、加深和修正某些概念,补足在知識或技能上某些缺陷,最后使学生获得系統、完整而牢固的知識,显然在有限时間內完成这个任务是有困难的。这就提出了这样一个問題,就是怎样在有限时間內,发揮复习課的最大效能。根据笔者在教学实践中的体会,我认为在复习課中有計划的选择适当的問題和例題,是解决上述問題的极为重要的一环。 現在把我在这方面的一些作法和看法写在下面: 一、选择典型性題目,变化題目的条件,分析比較,使学生掌握解这种問題的一般規律。比如在复习多面体这个单元时,选择了下面的一个例題,“已知正四棱台上下底面的边长分别为a和b,側面和底面所成的角是60°,求它的高、斜高、側面积、全面积和体     

指導複習应用問題

1)应用問题与方程:在我們講課中应明確:要解决我們生活实际中的应用問题,必須在數学中產生方程这个內容。反之任何一个具有实根的方程都有它的实际意义,方程式「現代学校代數課的內容的四个主要發展系統之一。」「在現在的代數課中無疑的是很重要的。」(伯拉斯基著,吳品三譯中学數学教学法第三册§2) 2)解应用問题之意义:解应用問題就是要把關於數量的事实問題,化成代數問題,換一句話說就是要做一次翻譯工作,把普通語言譯成代數語言,这首先是用字母代未知數,其次是用+、-、×、÷等符号联合字母与已知數成代數式,以表各种事实關係,再用等号联合兩代數式以表合乎条件的相等關係,於是事实間題,化成方程的關係,解方程即求出合於事实条件的未知數。事实問題中的限制很多,方程往往不能完全顧到,同時解方程的过程可能有違背事实的情形,故解方程求得根之後是否合事实仍須審查。 3)定未知數:一个題中未知數往往不止一个,题中指定要求的为直接未知數,題中不必求出的为     

运用直观教具中的一个問題

恰当地运用直观教具,对加强教學直观性、培养学生空問想象力从而提高教学貭量有重要作用。我发現,有时由于对演示教具注意不够,也会影响教学效果。有一次,听某教师的課,他在演示圓柱面这一教具的过程中(图1),当說到用垂直子母綫的平面截圓柱面得到是圓时,本应将模型轉90°,使学生获得图2的形象,由于教具角度摆的不好,多数学生却获得了模型側面正投影的形象(图3)。显然,这是沒充分发揮教具的应有作用。     

物理学中的极大极小問題

极大与极小問題是有很大实际应用意义的,因而人們对它有相当浓厚的兴趣,微分学給出了解决这一类問題的一般方法。但讀者要注意,有些問題利用初等数学的知識来解决往往更簡单更敏捷更巧妙。下面我們就准备用初等数学的方法来解决一些物理学中的极大与极小問題。 1.将一物体以初速v_0垂直向上抛出,問此物体的最高点在何处?何时到达? 解。设最高点与地面的距离为h,此物体經过t秒钟到达最高点。由于地球引力的作用,垂直向上拋出的物体作匀减速运动。显然物体在最高点的速度等于零。所以     

介紹網絡問題

所謂网絡問題,首先是由哈立斯(T.Harris)提出的,原来的問題是: “在a,b两个城市之間,有若干个中間站,用鉄路网連通一气,在每两站之間的铁路线上,都給予一个数,作为这段线路的通过能力,现在在一切固定的条件下要求从a到b的极大运輸量。”自从这个問題提出之后,在1955、56、57、58这几年里,有很多人做了很多研究工作,不但大体上解决了原提的問題,而且把研究所得反轉來用到綫性图上,导出一些結果。这个問題的求解,     

关于复习問題

学期快結束了,对学生进行一次全面的复习,把过去所学过的知識加以整理,使之更有系統,更加巩固是非常必要的。中学数学教学大綱(修訂車案,1956-1957学年度)的說明部分明确地指出“进行复习的目的,不仅是使学生在記忆上重現一下个別的公式、法則、定义、定理或者解答习題的方法,还要使学生能够对于新旧課題作更巩固而明确的联想以及邏輯的联系,能够确定解决同类問題的法則和方法的异同,并且能够以新的更全面的观点闡明所学习过的教材”。教师必須完整地領会这一精神进行組織教材与恰当运用教法,才能获得預期的效果。     

圓錐截线教学中的几个問題

(一) 本单元教学在平面解析几何的教学中的地位和作用根据中学数学教学的总要求,以及该学科的教学要求,不难看出:直线和圆锥截线是该学科教学的重点。然而两相比较,圆锥截线的教学则又是重点中的重点。理由如下: 1.圆锥截线的教学,是使学生对于直角坐标系中曲线和方程的相互关系的认识,达到全面、深刻的极重要(也是最后)的阶段。曲线和方程的相互关系是指:曲线方程的概念,已知曲线求它的方程,已知曲线的方程求作曲线。这些知识虽然在第一章内作了较系统的阐述,然而由于学生是初次学习,很难使他们一下子就牢固地掌握住这些知识的实质;在第二章直线中,这些知识又得到了进一步的印证,但是由于所处理的曲线十分简单,因此还不能使学生对这些知识得到全面、深刻的认识。而圆锥截线则能充分地体现出这些知识的精神实质。譬如,由曲线求它的方程的关键问题之一,是能根据曲线的特征,妥善地选择坐标系。这一点,是决定解析法是否简便的关键。对于圆锥截线的讨论,     

关于分配問題

引言及符号本文中所谓分配问题(或称“占位问题”),指的是给定了n个物件,r个容器,在各种限制下(如某k个容器不空等)将全部物件分入所给容器的有关问题。这里我们感兴趣的是不同分法的总数。我们不考虑物件在容器中的顺序,也不考虑容器的排列顺序。为行文简洁,不妨以“室”代表容器,如果物件是相同的,以“球”代表物体,如果物件是相异的,以“人”代表物件,这样就将分配问题分为“人分室”及“球分室”两种类型。什么叫不同的分法?在“球分室”问题中,对于任二分法,当且仅当至少有一室球数不等时,称此二分法是不同的。在“人分室”问题中,对于任二分法,当且仅当至少有一室人数不等,或人数等但人不同时,称此二分法是不同的。这类问题在统计力学中有重要意义(见[2]p.41)笔者认为在高中代数讲完“排列组合”一章后,在课外活动中适当启发学生考虑这类问题,或有助于帮助学生了解所学知识在实际中的应用,从而激发学生的学习热情,如果进而解决这些问题,或可巩固并加深对所学知识的理解,培养综合运用所学知识的能力。实际上,比如学生在做完高中代数课本习题“将6本不同的     

“三角函数周期性”教学中的几个問題

本文对“三角函数周期性”这一节教材在实际意义上,在研究問題方法上,在教学思想方法上,在对教材处理上作一番探討。因限于作者的水平,錯誤难免,希望得到同志們的批評和指正。問題的提出为什么要对“三角函数周期性”这一节教材进行教学上的探討呢?我現在陈述如下: 第一,我們在0°—360°的三角函数的基础上,根据函数的一般概念,定义了任意角α的六种对应关系,并且专門給了这些对应关系的命名,它們分別称为任意角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数,統称为三角函数。这种定义任意角α的六种对应关系的科学性乃是由科学的欧几里得几何和严格的实数理論給予保証。     

談談算术根問題

算术根是中学数学的重要概念之一,它不仅和代数式的恆等变換、解方程、函数的图象有密切关系,甚至在三角学的恆等变換中也有它的应用。可是这些問題,在現行高中数学課本中并沒有得到很好地闡明,学生对这个概念也就掌握得不够好,于是造成了升入高等学校后学习数学的困难。为此,本文企图在中学数学范围內比較全面地闡述有关算术根問題,供同志們教学上参考。