On the theory of grossone

A trivial formalization is given for the informal reasonings of a series of papers by Ya. D. Sergeyev on a positional numeral system with an infinitely large base, grossone; the system which is groundlessly opposed by its originator to the classical nonstandard analysis.     

On the sheaf theory

The“Gel’fand sheaf” of a topological algebra is endowed with auniform structure, this being complete if and only if, the spectrum of the algebra considered is complete. Examples are also provided.     

On the theory of Schur-Rings

Zusammenfassung Diese Arbeit versucht, die von Issai Schur[1] entdcckte und von Wielandt ([14], [15], [16], [17]) betr?chtlich neiterentwickelte Methode zur Untersuchung von endlichen Permutationsgruppen zu einer Theorie der Schur-Ringe zu entfalten. Der Grundgedanke ist sehr einfach: Die Schur-Ringe werden nicht als eine spezielle Klasse von Ringen aufgefaβt, sondern als eine eigene mathematische Struktur. Nach unserer heutigen Ansicht f?llt der Begriff der mathematischen Struktur weitgehend mit dem Begriff der Kategorie zusammen. Daher wird für die Schur-Ringe (genauer: für die Schur-Algebren) ein eigener Homomorphiebegriff (Definition1.5) eingeführt, der eine Kategorie liefert (Theorem1.6). Ein weiterer Leitgedanke ist mit dem kategoriellen Grundgedanken sehr eng verknüpft. Die Theorie der Schur-Ringe wird als eine Verallgemeinerung der Theorie der endlichen Gruppen aufgefaβt und in diesem Sinne entwickelt. Dabei ist die Theorie der endlichen Gruppen vermittelst der Gruppenringe der endlichen Gruppen (die eine spezielle Teilkategorie der Kategorie aller Schur-Ringe sind) in die Theorie der Schur-Ringe eingefügt. Hierfür ist es wichtig, daβ die Morphismen der Gruppenringe in der Kategorie der Schur-Ringe genau die von den Gruppenhomomorphismen induzierten Gruppenringhomomorphismen sind. Die Einbettung der Theorie der endlichen Gruppen in die Theorie der Schur-Ringe vollzieht sich entlang dreier Entwicklungslinien. Die erste ist eine verallgemeinerte Charakterentheorie ([2], [3], [5], [6], [7] und[8]), die die Theorie der (gen?hnlichen) Charaktere von endlichen Gruppen als Spezialfall enth?lt. Die zweite ist die Verknüpfung der Struktur jedes Schur-Ringes T auf einer endlichen Gruppe G mit gewissen Klassen von Untergruppen von G. Es werden die Begriffe der T-Untergruppe (Abschnitt 3), des T-Normalteilers (Abschnitt 4), und der T-subnormalen Untergruppe (Abschnitt 8) eingeführt. Die T-Untergruppen bilden einen Teilverband des Verbandes aller Untergruppen von G (Theorem3.4). Die T-Normalteiler sind genau die Kerne (Definition6.1) der Homomorphismen der Schur-Algebren QT (Theoreme6.2 und6.3). Der dritte und wohl zugleich der wichtigste Aspekt ist die Gültigkeit des Homomorphiesatzes (Theorem6.2) und der Isomorphies?tze (Theoreme7.1 und7.2) für Schur-Algebren. Auf diese S?tze gründet sich der Vier-Untergruppen-Satz (Zassenhaus’ Lemma; Theorem9.1), der den Verfeinerungssatz für T-Subnormalketten (Theorem9.2) und den Jordan-H?lder Satz für T-Kompositionsketten (Theorem10.3) nach sich zieht. Als die Theorie der Schur-Ringe ungef?hr den soeben geschilderten Stand erreicht hatte, tauchte die Idee auf, diese Theorie auf beliebige Gruppen zu verallgemeinern ([9], [10], [11], [12], [13]). Das führte zum Begriff der Schur-Halbgruppe (Definition1.9). Der zugeh?rige Homomorphiebegriff (Definition1.11) liefert die Kategorie aller Schur-Halbgruppen (Theorem1.12), die die Kategorie aller Gruppen als echte Teilkategorie enth?lt. Jedem Schur-Ring T über einer endlichen Gruppe G wird eine Schur-HalbgruppeT über G zugeordnet (Theorem1.15). Jedem Homomorphismus ϕ einer Schur-Algebra ΘT über G wird ein Homomorphismus φ vonT zugeordnet (Theorem1.16). Das Paar der Zuordnungen ΘT →T, ϕ → Φ ist ein Funktor auf der Kategorie aller Schur-Algebren in die Kategorie aller Schur-Halbgruppen über endlichen Gruppen (Theorem1.17).      

On the theory of disc-loaded waveguide

Zusammenfassung In einer vorangehenden Arbeit [1] wurde eine elektromagnetische Differenzengleichung aufgestellt. Die auftretenden Parameter folgen aus einem Variationsprinzip, das aus den Maxwell-Lorentzschen Gleichungen gewonnen wurde. In vorliegender Arbeit ist diese Methode auf den periodisch mit Lochblenden belasteten Wellenleiter angewandt. Die Ergebnisse beanspruchen praktisches Interesse im unteren Millimeter-Wellenbereich.

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Additional to the normal volume of the issue.

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Paper supported by a research fellowship of the Battelle Memorial Institute.     

On the theory of fugoid motions

In 1891 Zhukovslii in his paper “On soaring of birds” [1] solved the problem of the motion of a body of high lift — drag ratio in an atmosphere of constant density. In [2] this problem was considered in greater detail, but the basic assumption of a constant density was made here as well. There have recently appeared numerous papers concerning the analytical solution of the problem of entry into the atmosphere with orbital and escape velocities [3 to 5]. But these studies were concerned primarily with the problems of ballistic entry and entry with low lift — drag ratio. In considering oscillatory states, the authors limited their treatment to small angles between the trajectory and local horizon. In the present paper we consider the problem without imposing any limitations on the slope of the trajectory or initial velocity. The case examined will be that of a hypothetical glider spacecraft of sufficiently high lift — drag ratio. It is interesting to note that the solution of this problem reduces to the solution of Zhukovskii's problem, but for an atmosphere of variable density. The associated trajectories are termed “fugoid”. All of our assumptions about the parameters of such a glider are of a particular hypothetical character.     

On the theory of Lagrangian duality

It is shown that a general Lagrangian duality theory for constrained extremum problems can be drawn from a separation scheme in the Image Space, namely in the space where the functions of the given problem run.     

On the theory of n-nilpotent groups

The setv (G) of all integers n fbr which the group G is n-nilpotent is studied. A number of theorems generalizing fundamental results of F. Levi is proved for .Translated from Matematicheskie Zametki, Vol. 5, No. 6, pp. 653–664, June, 1969.     

On the theory of generalized quasi-isometries

Mathematical Notes - This paper is devoted to the study of so-called finitely bi-Lipschitz mappings, which are a far-reaching generalization of isometries and quasi-isometries. We obtain several...     

On the theory of option pricing

The objective of this article is to provide an axiomatic framework in order to define the concept of value function for risky operations for which there is no market. There is a market for assets, whose prices are characterized as stochastic processes. The method consists of constructing a portfolio of these assets which will mimic the risks involved in the operation. We follow the terminology of the theory of options although the set-up goes beyond that particular problem.     

On the theory of imploding shocks

This paper is concerned with the non-monotonic distribution of the static pressure behind self-similar imploding shocks as revealed by the numerical solutions of Landau and Stanyukovich. It is found that in terms of the ratio of the reduced gas velocity to the similarity variable, the exponent equation derived from the condition of zero pressure gradient and that derived from the theory of singularity are of identical form. The identicalness is shown to be formal only. It is shown that both equations can be obtained from a unified equation. Using these results, it is shown that within the framework of inviscid self-similar solutions, the zero pressure gradient cannot exist immediately behind the shock for2+3. Applying the unified equation, it is analytically shown that as approaches unity the similarity exponents also approach unity independent of the dimensionality, a result previously obtained by Lazarus and Richtmyer.

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Zusammenfassung Die nicht-monotone statische Druckverteilung hinter selbst-ähnlichen implodierenden Stößen, dargestellt in den numerischen Lösungen von Landau uad Stanyukovich, ist Gegenstand dieser Arbeit. Es wird gezeigt, daß in bezug auf das Verhältnis zwischen reduzierter Gasgeschwindigkeit und der Ähnlichkeits-Veränderlichen, die unter der Null-Druckgradient-Bedingung und der Singularitätstheorie abgeleiteten Exponentengleichungen identisch sind. Des weiteren wird gezeigt, daß die Identität nur formal ist, daß beide Gleichungen von einer Einheitsgleichung abgeleitet werden können und daß im reibungsfreien Bereich der Null-Druckgradient unmittelbar hinter dem Stoß für2+3 nicht bestehen kann. Bei Anwendung der Einheitsgleichung läßt sich zeigen, daß unabhängig von ihrer Dimensionalität, sowohl als auch die Ähnlichkeitsexponenten sich Eins annähern, wie bereits von Lazarus und Richtmyer angegeben wurde.

     

On the algebraic theory of scattering

Within the context of the algebraic theory for simple quantum mechanical potential scattering, we establish existence and completeness of generalized wave operators for a large class of long-range potential scattering problems. Our approach utilizes a priori knowledge of the spectral properties of the scattering Hamiltonian and an algebraic theorem on the uniqueness of a particular Euclidean group representation.