面积与体积

面积与体积王申怀（北京师范大学１００８７５）什么叫多边形的面积？这个问题不太容易回答．我们先来看一下矩形的情况．为了确定一个矩形的面积，可以拿一个边长为１的正方形（称它为单位正方形）来测量矩形．如图１，得到６（单位正方形）还剩下三个小矩形ＥＢＩＨ，Ｆ...     

为啥多了一个单位

某资料上有一道有趣的题：边长１３英尺的正方形地毯，按图１剪成四块，拼成一个长２１英尺、宽８英尺的长方形地毯．图１　　结果，正方形面积为Ｓ正＝１３２＝１６９（英尺２），长方形面积为Ｓ长＝（１３＋８）×８＝１６８（英尺２）．那么，１英尺２的地毯哪里去了呢？这样有趣的题目还可编写如下：边长为５５ｃｍ的正方形纸片，如图２截成四块，再拼成一个长方形．图２　　结果，正方形面积是Ｓ正＝５５２＝３０２５（ｃｍ２），长方形面积为Ｓ长＝（５５＋３４）×３４＝３０２６（ｃｍ２），比原来多了１ｃｍ２．以上两例说明，将正…     

巧算周长

<正>如图,有两个全等的正方形与一个矩形。分别以各边为一边作正方形,12个正方形的面积之和为2018,求它们的周长。     

由一道中考模拟题引起的思考

背景在直线l上摆放着三个正方形.(1)如图1,已知水平放置的两个正方形的边长依次是a,b.斜着放置的正方形的面积S=____,两个直角三角形的面积和为____;(均用a,b表示)(2)如图2,小正方形的面积S1=1,斜着放置的正方形的面积S=4,求图中两个钝角三角形的面积m1和m2,并给出图中四个三角形的面积关系;     

画九分之二的正方形

<正>图中大正方形由九个小方格组成,现要取一个面积为大正方形的九分之二,使取出的正方形中和剩下的部分都有2016字样,该如何取?     

整体思维 简求面积

贵刊 2 0 0 2年第 7期刊登了两篇关于求阴影面积的文章 .可谓思路新颖 ,方法独特 ,值得学习和借鉴 .对于某些阴影面积的问题 ,运用整体思维 ,可以简便地得到解答 ,现以上述两篇文章中的部分例题为例 ,加以说明 .图 1如图 1 ,ＡＢＣＤ是边长为ａ的正方形 ,分别以各顶点为圆心 ,以对角线的一半为半径作弧 ,交成图中的阴影部分 ,求阴影部分的面积 .分析　阴影部分为四个全等扇形的重叠部分 ,且四个扇形围成一个正方形 ,由图可知Ｓ阴影 =4Ｓ扇形ＡＥＦ-Ｓ正方形ＡＢＣＤ.图 2如图 2 ,已知边长为ａ的正方形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ ,分别以正方形的各…     

一道课本习题的多解与变式

<正>一、问题如图1,将边长为6的正方形ABCD和边长为10的正方形CEFG并排放在一起,连结AG、AE、GE,求△AGE的面积.解法一如图2,连结AC,由于正方形ABCD、正方形CEFG,可知AC∥GE,所以△AGE的面积等于△CGE的面积,所以△AGE的面积为50.解法二如图3,延长BA、FG交于点H.由题意,HBEF为矩形.因BC=6,CE=10,得到AH=4,HG=6,所以△AGH的面积为     

一道课本题的变式探究

题目(人教版·数学·八年级下册,第116页,实验与探究1)如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,两个正方形的边长相等,那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的14,想一想为什么?     

挖掘潜在信息 释放图形内涵

思维始发于入微的观察,升华于丰富的联想．今诠释几例图形问题,以供大家探究．一、拼图型问题例1(第四届“希望杯”全国数邀赛)如图1,十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形(其中有三个小正方形的边长已标出字母x、y、z)．试求满足上述条件的矩形面积的最小值．     

一道面积问题的思考

<正>看课外书时,遇到这样一道题:如图1,当E在正方形ABCD的对角线上,作Rt△FEG,与BC,DC相交于M,N.正方形ABCD的边长为a,EC=2AE,求重叠部分的面积.第一眼看到这道题时,不知从何下手.想着想着,突然想起书上的"丰富多彩的正方形"中的一个问题:如图2,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A_1B_1C_1O的     

一位房地产商遇到的难题

一位富有的房地产商去参加一次土地拍卖会,遇到了一个奇特的难题．所拍卖的那块地如图1所示,由三块正方形的土地组成,并围着一个三角形湖泊．问题是：如果买下那三块正方形土地,就不能不买被夹在中间的三角形湖泊；而如果把湖泊一并买下,却不知湖泊的具体面积．因此,拍卖双方相持不下,左右为难．令人欣慰的是,这位房地产商有一个聪明的儿子,他是当时美国最杰出的趣味和智     

不要轻易相信视觉和直觉

生活中我们常常相信亲眼所见,但又常常为自己的眼睛所骗,人的视觉是有限的,仅凭眼睛的直觉判断有时会使我们得出与事实不符的错误结论.请看下面问题1这两个图形,如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2,我们将会发现,与图1相比,图2多出一个洞!这怎么可能呢?图1图2我们再来看一个更简单的问题2吧,将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块儿何图形,然后重新拼接成图4,计算可知长方形的面积为8×21=168,比正方形少了一个单位的面积,真不可思议!图3图4这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解,值得我们花费一些时间动手按照…     

勾股定理一种证法及其在教学中的价值

勾股定理一种证法及其在教学中的价值哈家定（山东省济宁教育学院２７２１３７）我们知道，勾股定理的直观意义是：直角三角形中分别以直角边为一边的两个正方形面积合在一起恰好填满以斜边为一边的正方形．其直观性在于“填满”．但由于两个正方形难以合成一个正方形，因...     

由"想一想"而想到的

《几何》第二册第157页,"想一想": 如图1,正方形 ABCD的对角线相交 于点O,点O是正方 形A'B'C'D'的一个顶 点.如果两个正方形 的边长相等,那么正 方形A'B'C'D'绕点O 无论怎样转动,两个 正方形重叠部分的面 积,总等于一个正方形面积的1/4,想一想:这     

49 图形的面积──一节开放式的习题课

两天前的课堂上，教师布置了如下的一道开放性的题目：“正方形的边长为a，在此正方形的内部，以各边为直径，画一个或几个半圆．问在哪些图形情景下，哪些圆交成的图形面积可求？它们的面积各是多少？”要求以小组为单位（每组3—4人），通过讨论合作完成，并由一人写成解题报告上交．兴兴件转上课开始，教师用预先准备好的小黑板，剜览式地展示一下各组讨论到的图景有：T：我们把同学们研究的结果总括了一下：从图形的角度来看，可以画一个、二个、三个、四个半圆，其基本图形只有图形A（图1），B（图2），C（图3），D（图4），E（图5…     

例说几何图形的分割与拼接

1　提出问题2 0 0 3年 2月武汉市高三调研考试数学卷第 2 2题为 :如图 1甲、乙是边长为 4a的两块正方形钢板 ,现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱 ,将乙裁剪焊接成一个正四棱锥 ,使它们的全面积都等于一个正方形的面积 (不计焊缝的面积 ) .1)将你的裁剪方法用虚线标在图中 ,并作简要说明 .2 )试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小 ,并证明你的结论 .甲图　　　　　　　乙图图 1　正方形这是一道与 2 0 0 2年全国高考数学试题 (文史卷 )第 2 2题类似的几何图形的分割与拼接题 ,这道探索性题限制条件不多 ,存在着多种设计方案 ,有利于充…     

智慧窗

如图,是在一正方形中挖去一等腰直角三角形,请再画一正方形,使其面积恰为这图中正方形所剩余部分的面积.智慧窗《巧作图》参考答案 作一直角三角形,使其中一直角边等于挖去的那个等腰直角三角形底边的一半,令其斜边的长等于原正方形的一条边,则这直角三角形的另一边即为要作出的正方形的边长.为什么?请自证.口智慧窗@裴庄!北京     

一道赛题的补形解法及推广

第8届华罗庚少年数学邀请赛口试题如图1,P是正方形ABCD外一点,PB=12厘米.△APB的面积是90平方厘米,△CPB的面积是48平方厘米. 请你回答:正方形ABCD的面积是多少平方厘米? 答:正方形AB-CD的面积是289平方厘米.     

探究妙解面积趣题

题目如图,四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,CF交AD于H,已知三角形CDH的面积是8cm2,求三角形AFH的面积.该题图形似曾相识,但题设条件为面积,并未提供正方形的边长,加之G点是个不定     

关注模型 妙解中考题

同学们在学习勾股定理时,利用图1～图3中相关图形的面积关系证明了勾股定理.在图1中,S正方形ABCD=4S△ADE+S正方形EFGH,在图2中,S正方形ABCD=4S△AEF+S正方形EFGH,在图3中,S梯形ABCD=2S△ABE+S△ADE.图1图2图3勾股定理的证明是同学们学习过的非常重要的数学模型,利用它可顺利解决相关中考试题.