欧拉-拉格朗日方程的形式讨论

众所周知方程 (1)是欧拉-拉格朗日方程,其中 F≡F(x_1,…,x_m,u,u_(x_1),…u_(x_m),…,u_(x_(i_1)x_(i_2)…x_(i_k))…),F称为它的拉格朗日密度.反之,已给一方程,判断它是否是欧拉-拉格朗日方程,即所谓变分学逆问题,它的重要性已为物理学家、力学家、计算数学家所注意. 对已给方程(组),变分学逆问题有两种提法:一种是先判断方程(组)的解,是否可能     

寻找最优控制的具有约束算子的梯度算法

§1.具有约束算子的梯度算法 考虑连续的受控系统,其运动轨道及控制满足常微分方程组 x=f(x,u,t),x(t_0)=x_0, (1.1)其中x=(x_1,x_2,…,x_n)~T?E~n是系统的状态变量,u=(u_1,u_2,…,u_r)~T?E~r是系统的控制变量;f(·,·,·)=(f_1(·,·,·),…,f_n(·,·,·))~T是由E~n×E~r×E~1到E~n中的向量值函数;t_0是运动的起始时刻;x_0是运动的初始状态;t_f是运动的终结时刻.为简单起见,下面假定t_0,x_0,t_f均已给定。 我们把定义在区间[t_0,t_f]上的每一个在E~r中取值的分段连续函数u(t)=(u_1(t),u_2(t),…,u_r(t))~T称作系统(1.1)的一个控制。所有这样的控制的集合记作H,给定系     

GLOBAL EXISTENCE OF SOLUTIONS TO INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONS

§1. Introduction In this paper we are concerned with the following initial boundary value problem for nonlinear parabolic equations: where Γ is the smooth boundary of a bounded domain Ω∈R~n, x=(x_1,…x_n), D_xu=(u_(x_1),… u_(x_n)), D_x~2=(u_(x_ix_j)), (i, j=1, …,n). What we want do do in this paper is to consider the global existence of smooth solutions for (1.1) under the assumption of small initial data.     

姿态角计算方法

<正> 本文提出解决问题(dx(t))/(dt)=f(t,x(t),u(t)),x(t_0)=x_0,(1)g(t,x(t),u(t))=0 (2)的一套实用的数值计算方法,其中 t∈[t_0,t_f],t_f 可以是固定的,也可以是不固定的,x(t)=(x_1(t),x_2(t),…,x_n(t))~T∈R~n 是状态向量,u(t)=(u_1(t),u_2(t),u_3(t))~T=((?)_1(t),(?)(t),γ(t))~T∈R~3是火箭的姿态角,f=(f_1,f_2,…,f_n)~T 是 n 维向量值函数,g=(g_1,g_2,g_3)~T 是三维向量值函数.这套方法包括简单迭代法,简化牛顿法及简化梯度法,并给出判断简单迭代法收敛性的一个充分条件的准则.这个准则在具体条件下既简单又实用.     

Tricomi算子的基本解

考虑含三个自变量的Tricomi方程Tu=y(u_(x_1x_1)+u_(x_2x_2))+u_(yy)=0 (1)奇点为(a,b,0)的基本解.相对于两维的Tricomi方程,由于其奇性的增强,用通常的分布论计算基本解时,得到的积分发散,以致无法用该方法得到基本解,此时有必要引入散度积分主部来定义分布论中的基本解.我们利用特征线法在Cauchy主值意义下求得其基本解.     

集合论与代数的新运算(Ⅰ)

定义1 令X={x_1,x_2,…,x_n},n是自然数;对于任意给定的A,B∈p(X),A={x_(i_1),x_(i_2),…,x_(i_k)}1≤i_1相似文献   

拟线性方程组的时滞问题

§1.引理和定理1.在动力气象学中常用到可压缩流体力学的一组闭合方程组:(?)u_j/(?)t sum from i=1 to 3 u_i(?)u_j/(?)x_i α (?)P/(?)x_j ξ_(2j)fu_1 ξ_(3j)fu_2=f_j(t,x),j=1,2,3,(1.1)(?)_α/(?)t sum from i=1 to 3 u_i(?)α/(?)x_i=αsum from i=1 to 3 (?)u_i/(?)x_i,(1.2)Pα=RT,(1.3)C_P{(?)T/(?)t sum from i=1 to 3 u_i(?)T/(?)x_i}-α{(?)P/(?)t sum from i=1 to 3 u_i (?)P/(?)x_i}=0 (1.4)其中(?)x=(x_1,x_2,x_3),u_1,u_2,u_3,是风速的分量,α是比容,P 是压力,T 是绝对温度,柯氏参数 f=f(x_1,x_2)都是已知函数.R,C_p 为正常数.由于α(?)0,从(1.2)-(1.4)式消去 T,记     

关于 Davenport一定理的注记

<正> 用 x,a,c 等表示 n 维实矢量.用|x|=|(x_1,…,x_n)|=(x_1~2+…+x_n~2)~(1/2)表示 x 的模。又用∧表示 n 维格(Lattice),即下面全体矢量所成的集合u_1a_1+…+u_na_n,此处 a_1,…,a_n 为 n 维实欧氏空间的一组固定的线性独立矢量,而 u_1,…,u_n 为任意整数.a_1,…,a_n 称为格∧的基底.本文的目的为用 Brun 筛法证明     

高维非线性Schrdinger方程的Fourier谱方法

其中i=(-1)(1/2),△为Laplace算子,q(·)为实变量实值函数,u_0(x)和u(x,t)分别为关于x以2π为周期的已知和未知复值函数,J=(0,T](T>0),β为一实常数,e_j为R~m的第j个单位向量,x=(x_1,…,x_m)∈R~m. 方程(1.1)在非线性光学、等离子体物理、流体动力学及非相对论量子场论中用得很     

NA样本部分线性模型估计的强相合性

考虑回归模型:Y~((j))(x_(in),t_(in))=t_(in)β+g(x_(in))+σ_(in)e~((j))(x_(in)),1≤j≤m,1≤i≤n,其中σ_(in)~2=f(u_(in)),(x_(in),t_(in),u_(in))为固定非随机设计点列,β是未知待估参数,g(·)和f(·)是未知函数,误差{e~((j))(x_(in))}是均值为零的NA变量.给出基于g(·)和f(·)一类非参数估计的β的最小二乘估计和加权最小二乘估计,并在适当条件下得到了它们的强相合性.     

完全三次非协调板元的误差估计

本文考虑以下重调和方程的边值问题:△~2u=f,在G上,u=?u/?n=0,在?G上,其中G为R~2上多边形区域,n为单位外法向量.此问题的变分形式为:找u∈H_0~2(G),使得: α(u,v)=(f,vv)?v∈ _0~~2(G),其中 α(u,v)=∫_G[△u△v+(1-σ)(2u_(x_1x_2)v_(x_1x_2)-u(x_1x_1)v_(x_2x_2)-u_(x_2x_2)v_(x_1x_1))]dx_1dx_2 设τ_h为G的一致正则矩形剖分,h为所有元的最大直径.文[5]中构造了一个完全三次非协调板元,它的形函数为完全三次多项式;自由度集合由函数在四个顶点之值及两个三阶     

高维非线性Schrdinger方程的Fourier谱方法

其中i=(-1)(1/2),△为Laplace算子,q(·)为实变量实值函数,u_0(x)和u(x,t)分别为关于x以2π为周期的已知和未知复值函数,J=(0,T](T>0),β为一实常数,e_j为R~m的第j个单位向量,x=(x_1,…,x_m)∈R~m. 方程(1.1)在非线性光学、等离子体物理、流体动力学及非相对论量子场论中用得很     

关于复Schr(?)dinger方程和实Klein-Gordon方程耦合方程组整体解的不存在性

§1.具Neumann边界条件的初边值问题 考虑如下初边值问题其中Ω是R~n中具光滑边界Ω的有界域,v是Ω上的外法向,u(t,x)与f是实值函数,v(t,x)与g是复值函数,Du=(u_1,u_(x_1),…,u_(x_n)).     

右端非增非连续微分方程组一对伪最小最大解的存在性

<正> 设 E 是 Banach 空间,P 是 E 中正规锥,E 中半序由 P 导出.设 u_0,v_0∈E,u_0(?)v_0,D=[u_0,v_0],A(·,·):D×D→E.若存在 x,y ∈D,使得 x(?)A(x,y),A(y,x)(?)y,则称x,y 是 A 的一对伪上下不动点;若 x,y∈D 满足 x=A(x,y),A(y,x)=y,则称 x,y 是 A的一对伪不动点;如果 x_*,x~*∈D 是 A 的一对伪不动点,并且对 A 在 D 中的任一对伪不动点 x,y,x(?)y,都有 x_*(?)x(?)y(?)x~*,则称 x_*和 x~*是 A 的一对伪最小最大不动点;若x∈D 满足 A(x,x)=x,则称 x 是 A 的不动点.如果对任给固定的 v∈D,A(·,v):D→E是增算子,并且对任给固定的 u∈D,A(u,·):D→E 是减算子,则称 A 是 D 上的混合增减算子.     

集合论与代数的新的运算(Ⅰ)

定义1 令X={x_1,x_2,…,x_n},n是自然数;对于任意给定的A A,B∈P(X),A={x_(i1),x_(i2),…,x_(ik)},1≤i_1相似文献   

关于Lekkerkerker格点分布定理的注记

<正> §1 引言我们用 x,c 等表示 n 维实矢量,用|x|=|(x_1,…,x_n)|=(x_1~2+…+x_n~2)~(1/2)表示矢量 x 的长.用∧表示 n 维格(Lattice),即下面诸矢量的集:u_1α_1+…+u_nα_n,(u_1,…,u_n 为整数),其中 α_1,…,α_n 是 n 维实欧氏空间的一组固定的线性无关矢量,称为∧的基底,并把|det(α_1,…,α_n)|称为格∧的行列式,记为 d(∧),它是不依赖于基底选取的不变量.我们还用∧_0表示以单位矢 e_i(i=1,2,…,n)为基底的格.     

准上半连续性不必蕴含上半连续性的例子

<正> 1.命 X,Y 是拓扑空间,多值映象 T:X→2~Y 称为上半连续的(upper semi-continuous),如果对任何 x_0∈X 和任何开集 G(?)T(x_0),存在 x_0 在 X 中的邻域 U(x_0)使得 x∈U(x_0)蕴含 T(x)(?)G.F.E.Browder 证明了下述卓越的不动点原理([1]定理3).定理1 命 K 是局部凸隔离实拓扑向量空间 E 的非空紧致凸集,T:K→2~E 上半连续,使得对每个 x∈K,T(x)(?)E 是非空闭凸集,命δ(K)={x∈K|(?)y∈E,使 x+λy(?)K,(?)λ>0}表示 K 的代数边界.假设对每个 x∈δ(K),存在 y∈K,z∈T(x)和λ>0使得z-x=λ(y-x),那么存在 x_0∈K 使 x_0∈T(x_0).     

一致区域与拟双曲度量

设 D 是 R~n(n≥2)的真子区域.F.W.Gehving 与 B.G.Osgood 证明,D 是一致区域的充分必要条件是:存在常数 c 和 d,使得 k_D(x_1,x_2)≤cj_D(x_1,x_2)+d,(?)x_1,x_2∈D.本文证明,这个条件可减弱为:存在一常数 A,使得K_D(x_1,x_2)≤A·j_D(x_1,x_2),(?)x_1,x_2∈D.这里 K_D(x_1,x_2)为 D 中任意两点 x_1,x_2的拟双曲度量,j_D(x_1,x_2)=1/2log([|x_1-x_2|]/[d(x_1,(?)D)]+1)([|x_1-x_2|]/[d(x_2,(?)D)]+1),d(x,(?)D)为 x 到(?)D 的欧氏距离.     

Lipschitz域上的帐蓬空间

一、预备知识在[1]中,R.Coifman, Y.Meyer和E.Stein定义了R_+~(n+1)上的帐蓬空间,并讨论它们的一系列性质及应用。本文把帐蓬空间推广到Lipschitz域上。有两种Lip域:有界的与无界的。定义1 设φ:R~(n+1)→R,满足|φ(x)-φ(x′)|≤M|x-x′|,那么区域{(x′,x_n)=(x_1,x_2,…,x_(n-1),x_n): x_n>φ(x′)}是一个无界的Lip域。定义2 设D是一个有界的连通开集。对任意Q∈D,存在以Q为中心的球B,在B内存在一个坐标系x′=(x_1,x_2,…,x_(n-1)),x_n,坐标原点是Q。还存在一个映射φ:R~(n-1)→     

一类非线性奇异积分方程组的离散近似解及其误差估计

<正> 本文用[1]的求积法给出了下面的НСИУ组的近似解: (1)令w_i(t)=f_i[z,u_1(t),u_2(t)],i=1,2.假定函数f_i(t,,u_1,u_2),i=1,2,t∈(a,b),u_1,u_2∈(—∞,+∞),满足条件