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椭圆的离心率e∈(0,1),当e=0+√5-1/2=√5-1/2时的椭圆称为黄金椭圆,文[1]中叙述了几个优美的性质,由于双曲线的离心率e∈(1,+∞), 相似文献
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关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质 总被引:2,自引:0,他引:2
平面解析几何中关于椭圆、双曲线及抛物线的离心率的定义分别是这样给出的:椭圆的焦距与长轴长的比e=ca,叫做椭圆的离心率.双曲线的焦距与实轴长的比e=ca,叫做双曲线的离心率,抛物线上的点与焦点的距离和准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示,按抛... 相似文献
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一个换算公式的启示 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [2 ]在文 [1 ]的基础上给出如下一个换算公式 .定理 AB是过圆锥曲线焦点F的弦 ,其长度为d ,AB相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠90°) ,tanθ=k ,e为离心率 ,p为焦点到相应准线的距离 ,则有d与k的关系式 :d=2ep(1 +k2 )| 1 +k2 -e2 | 或k2 =e2 dd± 2ep- 1 .在该定理的启示下 ,笔者进一步探究 ,得到一个类似的公式 ,现说明如下 .AB是经过横向型圆锥曲线顶点 (指的是抛物线的顶点、椭圆长轴顶点、双曲线实轴顶点 )A的弦 ,其长度为d ,斜率为k ,e为离心率 ,p为焦点到相应准线的距离 ,则有d=2ep 1… 相似文献
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1 求离心率的值对于求曲线的离心率的值的题目 ,应从曲线的性质入手 ,通过距离之间的关系 ,来求离心率 .例 1 ( 1999年全国高考题 )设椭圆 x2a2 y2b2 =1(a >b >0 )的右焦点为F1 ,右准线为l1 .若过F1 且垂直于x轴的弦的长等于点F1 到l1 的距离 ,则椭圆的离心率是 .解 设F1 (c ,0 ) ,则右准线为l1 :y =a2c ,将x =c代入椭圆方程 ,得y =±b· a2 -c2a2 =± b2a .即过F1 的弦长为 2 |y| =2b2a .∴ a2c -c =a2 -c2c =2·b2a=2·a2 -c2a .故 e=ca =12 .例 2 根据下列条件分别求出各圆锥曲线… 相似文献
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给定一椭圆和它的一条定长的动弦,本文对动弦为一边,椭圆中心为顶点的三角形面积的最大值进行探求,得出如下结论.定理 设AB为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一条长为l的弦,椭圆中心为O.则当2b≤l≤2a时,△AOB面积的最大值为12ab;当0<l<2b时,△AOB面积的最大值为al4b4b2-l2;当2a<l<2a时,△AOB面积的最大值为bl4a4a2-l2.为了证明定理,先给出两个引理.图1引理1 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的弦AB与圆x2+y2=a2的弦A′B′对应… 相似文献
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椭圆两条平行弦的性质的推论及应用玉邴图(云南广南一中663300)文[1]介绍椭圆两条平行弦有如下两个性质.图1性质1如图1,经过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)长轴顶点A的弦AQ交y轴于R,过椭圆中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=... 相似文献
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椭圆两个性质的统一与推广简超(武汉铁路成人中专430012)设PQ为椭圆Γ的弦,经过Γ的中心O作半弦OR∥PQ,则有[1]—[3]1°当P为Γ长轴上的顶点(图1),B为PQ与Γ短轴的交点时,|OR|2=12|PQ|·|PB|.2°当PQ经过Γ的焦点F... 相似文献
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文[1]利用伸缩变换讨论了椭圆内过定点的直线与椭圆的两个交点与原点构成的三角形面积的最大值.本文将利用行列式及二次函数在闭区间上的最值理论讨论这一问题.为此先给出下面两个引理.引理1 坐标平面内逆时针排列的三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)构成的△ABC的面积S△ABC=12x1y11x2y21x3y31.(证明略).引理2 二次函数在闭区间上的最值要么在顶点取得,要么在区间的端点取得(证明略).定理 椭圆mx2+ny2=1(m、n∈R+)内有一定点M(p,q),过M的直线… 相似文献
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圆锥曲线的一个重要性质及应用 总被引:3,自引:0,他引:3
众所周知,圆锥曲线的离心率e是用来刻画圆锥曲线形状的一个重要特征量,不同的圆锥曲线有着不同的离心率;椭圆型圆锥曲线 0<e<1抛物线型圆锥曲线 e=1双曲线型圆锥曲线 e>1笔者通过研究发现,圆锥曲线还存在着一个与离心率e相类似的重要性质;为了叙述方便,首先给出一个定义;定义1:过圆锥曲线内接三角形的三个顶点的三条切线所围成的三角形称为圆锥曲线的切线三角形;定理:圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比记为△,则(Ⅰ)椭圆型圆锥曲线 0<△<2(Ⅱ)抛物线型圆锥曲线 △=2(Ⅲ)双曲线… 相似文献
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离心率是圆锥曲线的一个重要的参数 ,下面例析几种常用求法 .一·估算法即利用圆锥曲线的离心率的范围来解题 ,有时可用椭圆的离心率e∈ ( 0 ,1 ) ,双曲线的离心率e>1 ,抛物线的离心率e =1来解决 .例 1 ( 2 0 0 2年全国高考题 )设θ∈0 ,π4,则二次曲线x2 cotθ -y2 tanθ =1的离心率的取值范围为 ( ) .(A) 0 ,12 (B) 12 ,22(C) 22 ,2 (D) ( 2 ,+∞ )解 由θ∈ 0 ,π4,故有cotθ >0 ,tanθ >0 ,因此所给的二次曲线是双曲线 .由双曲线的离心率e>1知 ,排除 (A) (B) (C) ,而选 (D) .二·公式法已知圆… 相似文献
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抛物线的弦对顶点张直角问题罗辉(湖南省冷水江市一中)通过对文[1]与文[2]的学习,很受启发.笔者进一步研究了抛物线的弦对顶点张直角的问题,也找到了一个充要条件和一个弦长公式,奉献给读者.1.抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件.定理设抛物线y2=2... 相似文献
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在平面解析几何教学中,二次曲线(圆锥曲线)是一个重要方面.笔者认为在教学内容上有些地方还值得改进.在推导得椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1①(a>b)后,明确了焦点坐标(±c,0),其中c=a2-b2,且定义了离心率e=ca.教材中然后指出:当焦... 相似文献
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“弦长”问题讲评课设计邱树林(山东省无棣一中251900)在高三的一次综合测试中,我们给学生出了这样一道题(以下称试题A):已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|,过左焦点F1作一直线交椭圆于M,N两点.设,求α的值,使|MN|等于椭圆短轴长... 相似文献
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用圆锥曲线的不变量表示离心率e与半正焦弦P杨寅(呼和浩特交通学校010023)作为圆锥曲线的不变量,人人。方已为人们所熟知·本文导出用不变量人,几方来表示离心率e与半正焦弦P的公式,从而解决从圆锥曲线的一般方程直接写出它的极坐标方程的一般方法.定理圆... 相似文献
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《数学通报》2 0 0 1年第 2期P2 5《焦点弦长度与斜率的换算关系》一文给出如下一个定理 :定理 设AB是圆锥曲线过焦点F的弦 ,其长度记为d ,AB相对于焦点所在对称轴的倾斜角为θ (θ≠ 90°) ,tgθ =k ,e为离心率 ,p为焦点到相应准线的距离 ,则d与k的关系式为 :d =2ep(1 k2 )(1 k2 ) -e2 (或k2 =e2 dd - 2ep- 1) ( )说明 :1)当θ =90°时 ,d =2ep ;2 )对于椭圆和双曲线 ,p =b2c;3)在移轴变换之下 ,长度与夹角都是不变量 ,当焦点所在对称轴与x轴重合或平行时 ,定理中k或 -k是弦AB的斜率 ;当焦点所在对… 相似文献
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熟知,对于中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆或双曲线,当给定两个独立条件后,便可确定标准方程.因此,椭圆或双曲线的标准方程可由其离心率以及其上的一点确定.笔者对这一方程进行了研究,发现其形式十分优美,并且用其处理有关涉及到椭圆或双曲线的弦的问题时,显得很方便和简捷, 相似文献