重要不等式的一个证明

下面的不等式称为算术平均———几何平均不等式 :Gn =na1 a2 …an ≤An=1n∑ni=1ai　 (ai>0 ,i=1 ,2 ,… ,n)本文通过添加一个零项ln Gnna1 a2 …an =0给出证明可设a1 ≤a2 ≤… ≤an,显然a1 ≤Gn ≤an　存在k,使得　ak ≤Gn ≤ak+1 .AnGn - 1 =1n ∑ni=1aiGn-n=1n ln Gnna1 a2 …an + ∑ni=1aiGn-n=1n ∑ni=1lnGnai + ∑ni=1aiGn-n=1n∑ki=1lnGnai - 1Gn(Gn-ai) +1n∑ni=k+ 1lnGnai - 1Gn(Gn-ai)=1n ∑ki=1 ∫Gnai1t -1Gn dt +1n ∑ni=k+ 1 ∫Gnai1t -1Gn dt=1n ∑ki=1 ∫Gnai1t -1Gn dt +1n ∑ni=k+ 1 ∫aiGn1Gn-1t dt以上每…     

再析一道以二进制为背景的高考题

题 (2011年湖南卷理16)对于n∈N+,将n表示为n=a0×2k+a1 ×2k-1 +a2 ×2k-2+…+ak-1 ×21 +ak×20,当i=0时,ai=1,当1≤i≤n时,ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数.(例如:1=1 ×20,4=1 ×22+0×21 +0×20,故I(1)=0,I(4)=2),则(1)I(12)=____;(2)127∑n=12I(n)=____.     

不等式研究成果集锦(15)

178　设 xi>0 ,yi>0 (i=1 ,2 ,… ,n,n≥2 ) ,实数 p≥ 2 ,如果 ∑ni=2x2i ≤ x21,∑ni=2y2i ≤ y21,那么[(xp1- ∑ni=2xpi) (yp1- ∑ni=2xpi) ]1p ≥ x1y1-∑ni=2xiyi- ∑ni=2|y1xi- x1yi|,当且仅当 p =2 ,x1y1= x2y2=… =xnyn时取等号 .(文家金 .2 0 0 0 ,5～ 6)1 79　设 b1,b2 ,… ,bn是实数 ,而 a1≥ a2 ≥…≥ an >0 ,又设 ∑kj=1aj≤ ∑kj=1bj(k=1 ,2 ,… ,n- 1 ) .∑nj=1aj ≥ ∑nj=1bj,则当 0

相似文献   

具有递推关系的一类计算对象的解法

1.定理　设 Dn 是一个与自然数 n有关的计算对象 ,具有递推关系 Dn=a1Dn- 1+a2 Dn- 2 +…+ak Dn- k,其中 a1,a2 ,… ,ak 是 k个已知常数。如果矩阵A =a1a2 … ak- 1ak1 0… 0 00 1… 0 0……………0 0… 1 0可对角化 ,即存在可逆矩阵 P,P- 1AP=Λ,Λ=λ1λ2 λk;并且 PΛn- 1P- 1Dk廌2D2=b1廱k- 1bk,则Dn=bk。证明　∵ Dn=a1Dn- 1+a2 Dn- 2 +… +ak Dn- k,∴ Dn+k- 1=a1Dn+k- 2 +a2 Dn+k- 3+… +ak Dn- 1,从而Hn =Dn+k- 1Dn+k- 2Dn+k- 3廌n=a1Dn+k- 2 +a2 Dn+k- 3+… +ak Dn- 1Dn+k- 2Dn+k- 3廌n=a1a2 … ak- 1ak1 0… 0 00 1…     

一个最值问题的求解方法

文[1 ] 对如下问题进行了研究 :已知实数x1 ,x2 ,… ,xn 满足x21 +x22 +… +x2 n= 1 ,当n≥ 3时 ,求maxi≠j mini≠j|xi-xj|.本文给出如下简捷解法 .由题意 ,不妨设x1 ≤x2 ≤…≤xn -1 ≤xn,并令mini≠j|xi-xj|=min|xi+ 1 -xi|=a(i=1 ,2 ,… ,n - 1 ) .则当 j>i时 ,xj-xi=(xj-xj-1 ) +… +(xi+ 1 -xi)≥(j-i)a∴ ∑1≤i相似文献   

关于布尔矩阵行空间基数的若干存在区间

Let B_n be the set of all n×n Boolean Matrices;R(A) denote the row space of A∈B_n,|R(A)| denote the cardinality of R(A),m,n,k,l,t,i,γ_i be positive integers,S_i,λ_i be non negative integers.In this paper,we prove the following two results: (1)Let n≥13,n-3≥k > S_l,S_(i+1)> S_i,i = 1,2,…,l-1.if k+l≤n,then for any m=2~k+2~(S_(l)) + 2~(S_(l-1))+…+ 2~(S_(1)),there exists A∈B_n,such that |R(A)|= m. (2)Let n≥13,n-3≥k>S_(n-k-1)> S_(n-k-2)>…>S_1>λ_t>λ_(t-1)>…>λ_1,2≤t≤n-k.If existγ_i(k+1≤γ_i≤n-1,i=1,2,…,t-1)γ_i<γ_...     

一个不等式的推广、加强及应用

文[1 ] 给出了一个不等式 :2 (n + 1 - 1 ) <∑nk=11k<2n - 1 (n>1 )……(Ⅰ)本文对 (Ⅰ )式进行推广并且给出 (Ⅰ )式的一种加强形式 ,最后指出其应用 .定理 1 :已知 {an}为等差数列且a1 >0 ,公差d >0 ,则 2d(an+1 - a1 ) <∑nk=11ak<2d(an - a1 ) + 1a1.证 :因为a1 >0 ,d>0 ,所以 {an}为严格递增正数列 .因为ak - ak- 1 =dak+ak- 1>d2ak(k≥ 2 ) ,所以 1ak<2d(ak -ak- 1 ) . (A)又因为ak+1 - ak =dak+1 + ak2d(ak+1 -ak) . (B)由 (A)式知 ∑nk =11ak<1a1+ 2d[(a2 -a1 ) + ( a3- a2 ) +… + ( an- an- 1 ) ]=2d(an - a1 )…     

Bounds for Two Classes of Graph Spectrum and Proof of Their Conjectures

Let λ_k be the kth greatest eigenvalue of forest F (or tree T) on n vertices, then λ_k=-λ_(n-k 1). Hong Yuan proposed the following conjecture: Conjecture 1. Suppose T is a tree with n vertices and edge independence number q. For k≤q, λ_k(T)≥λ_k(S_(n-2k 2)~(2h-2) with equality iff T≌S_(n-2k 2)~(2k-2), where S_(n-2k 2)~(2k-2) is formed from a K_(1,n-2k 1) and a path P_(2k-2) by joining with an edge a vertex of degree one of P_(2k-2) to the vertex of degree n-2k 1 of K_(1,n-2k 1).     

综合题新编选登

题147设数列{an}满足:当n=2k-1(k∈N*)时,an=n;当n=2k(k∈N*)时,an=ak.1)求a2 a4 a6 a8 a10 a12 a14 a16;2)若Sn=a1 a2 a3 … a2n-1 a2n,证明:Sn=4n-1 Sn-1(n≥2);3)证明:S11 S12 … S1n<1-41n.解1)原式=a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8=a1 a1 a3 a1 a5 a3 a7 a1=4a1 2a3 a5 a7=4×1 2     

Exact Solution to an Extremal Problem on Graphic Sequences with a Realization Containing Every 2-Tree on k Vertices

A simple graph G is a 2-tree if G=K_3,or G has a vertex v of degree 2,whose neighbors are adjacent,and G-v is a 2-tree.Clearly,if G is a 2-tree on n vertices,then |E(G)|=2 n-3.A non-increasing sequence π=(d_1,...,d_n) of nonnegative integers is a graphic sequence if it is realizable by a simple graph G on n vertices.[Acta Math.Sin.Engl.Ser.,25,795-802(2009)] proved that if k≥2,n≥9/2 k~2+19/2 k and π=(d_1,...,d_n) is a graphic sequence with∑_(i=1)~n di(k-2)n,then π has a realization containing every 1-tree(the usual tree) on k vertices.Moreover,the lower bound(k-2)_n is the best possible.This is a variation of a conjecture due to Erdos and Sos.In this paper,we investigate an analogue problem for 2-trees and prove that if k≥3 is an integer with k≡i(mod 3),n≥ 20[k/3] ~2+31[k/3]+12 and π=(d_1,...,d_n) is a graphic sequence with ∑_(i=1)~n d_imax{k-1)(n-1), 2 [2 k/3] n-2 n-[2 k/3] ~2+[2 k/3]+1-(-1)~i}, then π has a realization containing every 2-tree on k vertices.Moreover,the lower bound max{(k-1)(n-1), 2[2 k/3]n-2 n-[2 k/3] ~2+[2 k/3]+1-(-1)~i}is the best possible.This result implies a conjecture due to [Discrete Math.Theor.Comput.Sci.,17(3),315-326(2016)].     

活用两个简单结论巧解两类高考试题

数学中有如下两个人人皆知的简单结论: 　　I 设f(n)=a1+a2+…+an, 　　g(n)=b1+b2+…+bn. 　　若ak=bk(k∈N),则f(n)=g(n). 　　若ak≤bk(k∈N),则f(n)≤g(n). 　　Ⅱ 设f(n)=a1a2…an,g(n)=b1b2…bn. 　　若ak=bk(k∈N),则f(n)=g(n), 　　若ak＞0,bk＞0且ak≤bk(k∈N), 　　则f(n)≤g(n). 　　利用这两个简单结论解答高考试题中与自然数n有关的不(恒)等式的证明问题,思路清晰,通俗易懂.……     

又一广义勾股数组

定义[1]设a1＜an,a1,a2,…,ak,ak 1,…,an是连续正整数,若∑ki=1a2i=∑ni=k 1a2i,则称a1,a2,…,an为一个广义勾股数组,记作(a1,…,ak|ak 1,…,an).     

一个不等式猜想的证明

对于正数ai>0,i=1,2,…,n,k为给定的正整数,若∑ni=1ai=1,笔者在文[1]末提出了猜想:∏n-1i=1(1∑kj=1ai j-∑nj=k 1ai j)≥(nk kn-1)n(1)其中an i=ai(i=1,2,…,n-1),k为常数,且0相似文献   

Estimates for eigenvalues of Laplacian operator with any order

Let D be a bounded domain in an n-dimensional Euclidean space Rn. Assume that 0 ＜ λ1 ≤λ2 ≤ … ≤ λκ ≤ … are the eigenvalues of the Dirichlet Laplacian operator with any order l{(-△)lu=λu, in D u=(δ)u/(δ)(→n)=…(δ)l-1u/(δ)(→n)l-1=0,on (δ)D.Then we obtain an upper bound of the (k 1)-th eigenvalue λκ 1 in terms of the first k eigenvalues.k∑i=1(λκ 1-λi) ≤ 1/n[4l(n 2l-2)]1/2{k∑i=1(λκ 1-λi)1/2λil-1/l k∑i=1(λκ 1-λi)1/2λ1/li}1/2.This ineguality is independent of the domain D. Furthermore, for any l ≥ 3 the above inequality is better than all the known results. Our rusults are the natural generalization of inequalities corresponding to the case l = 2 considered by Qing-Ming Cheng and Hong-Cang Yang. When l = 1, our inequalities imply a weaker form of Yang inequalities. We aslo reprove an implication claimed by Cheng and Yang.     

竞赛中的递推数列问题

一般地，如果一个数列的第n项an与前面的k项a（n-1），a（n-2），…，a（n-l）（k为某个正整数，且k〈n）之间有关系an=f（a（n-1），a（n-2），，…，a（n-k）），则称该关系为k阶递推关系，或称为递归关系，这里厂是关于a（n-1），a（n-2），…，a（n-k）的k元函数，称为递推函数或递归函数。由k阶递推关系及给定的前k项a1，a2，…，ak的值（称为初始值）所确定的数列称为k阶递推数列或k阶递归数列．一阶、二阶递推数列是高中数学竞赛大纲要求的内容．     

一道高考压轴题的加强

2005年高考重庆卷(理)压轴题为:数列{an}满足a1=1,且an 1=(1 1/(n2 n))an 1/2n(n≥1).(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2).(Ⅱ)已知不等式ln(1 x)0成立,证明:an0(k∈N*),∴由已知ln(1 x)0)有ln(1 1k2 k)<1k2 k,∴1 1k2 k相似文献   

关于一对不等式的推广

文[1]证明了一对有趣的不等式:设a,b,c为正数,且a b c=1,则有(b1 c-a)(c 1a-b)(a1 b-c)≥(67)3,(b1 c a)(c 1a b)(a1 b c)≥(161)3.为了推广这两个不等式,文[1]提出下面四个命题,要求证明或否定之.设a1,a2,…,an为正数且其和为1.命题1∏ni=1(ai 1ai 1-ai 2)≥(2n-1n)n.命题2∏ni=1(ai 1ai 1 ai 2)≥(2n 1n)n.命题3∏n-1i=0(∑K1j=1ai j-∑nj=k 1ai j)≥(kn nk-1)n.命题4∏n-1i=0(∑K1j=1ai j ∑nj=k 1ai j)≥(kn-nk 1)n.其中an i=ai(i=1,2,…,n-1),k为小于n的正整数.本文先证明命题3为真,然后对其余三个命题给出反例.令f(x)=ln(1-1x-x),0相似文献   

一个积和不等式猜想

介绍一个积和不等式猜想,对任意的正整数n和α∈[0,1],有n-1∑k=0[(n-k)~(a-1)-(n-k+1)~(a-1)][(k+1)~(1-a)-k~(1-a)]≤(n+1)~(1-a)-n~(1-a).证明对于另外,证明与猜想相近的结论.对任意的正整数n和α∈[0,1],有n-1∑k=0[(n-k)~(a-1)-(n-k+1)~(a-1)][(k+1)~(1-a)-k~(1-a)]≤(n+1)~(1-a)-n~(1-a)+(a(2-2~(a-1)))/n~a-1/(n+1)成立.     

一道课本习题与竞赛题的联系

(a1+a2+…+an)2=a12+a22+an2+2(a1a2+a1a3+…+an-1an)(*)是课本中一道证明题,它显然是初中所学乘法公式的一种推广,而有些竞赛题却与此等式联系密切,请看下面两例.例1已知数列ak=2k(1≤k≤n).则所有可能乘积aiaj(1≤i≤j≤n)的和为多少?(1997年上海市中学生数学竞赛题)     

第42届IMO第2题隔离的推广

第42届IMO(2001年)第二题为:对所有正实数a、b、c,证明aa2 8bc bb2 8ca cc2 8ab≥1(1)文[1]将其推广为:设a,b,c∈R ,λ≥8,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥31 λ(2)文[2]给出了(2)的一个中间隔离:设a,b,c∈R ,λ≥8,∑a3=a3 b3 c3,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥(a b c)32∑a3 3λabc≥31 λ(3)并把(3)推广到n个字母的情形:设ai∈R (i=1,2,…,n),λ≥n2-1,则n∑i=1ani-2 1ani-1 λa1a2…anai≥(∑ni=1ai3n)32∑ni=1ain λna1a2…an≥n1 λ(4)本文给出(4)的推广,得到命题设ai∈R (i=1,2,…,n),n≥2,k∈R,0<α≤n-1,λ≥n1α-1,n则∑i=1k…