奇完全数的几个命题

本文证明形如3m-1的正整数不是完全数,由此推出当所有的qi≡-1(mod 3)时,奇数n=p~αП_(i=1)~sq_i~(2β_i)若是完全数,那么1/2σ(p~α)必是合数.指出k倍完全数的素因子必须满足一个不等式.运用此不等式证明当a≥n-2时形如a~(2~n)+b~(2~n)(a>b>0,a,b,n∈N~+)的奇数不是完全数.还指出当a与b都与3互素时,对于任意的正整数m,n,奇数a~(2~n)+b~(2~m)不是完全数.     

奇完全数的两个猜想

运用初等方法讨论有关奇完全数的两个猜想.证明了:(i)如果n=p~αq_1~(2β_1)q_2~(2β_2)…q_s~(2β_s)是奇完全数,其中P,q_1,q_2,…,q_s是不同的奇素数,α,β_1,β_2,…,β_s是正整数,p≡α≡1(mood4),而且q_i≡-1(mod m)(i=1,2,…,s),m是大于2的正整数,则.1/2σ(p~α)必为合数;(ii)如果n=a~2~x+b~2~x,其中a,b,x是适合ab,gcd(a,6)=1,2|ab的正整数,则当x≥log_2log_2log_2 a时,n不是奇完全数.     

一类二阶递推数列含有平方数的充要条件

设a,b是适合a~2>b,(a,b)=1的非零整数;数列{L_n}_(n-1)~∞满足L_o=1,L=a,L_(n 1)=2aL_n-bL_(n-1)(n>0).本文证明了:当b≡1(mod4)时。{L_n}_(n-1)~∞中含有平方数的充要条件是某-L_m是平方数,这里m∈{1,2,4,8}.     

关于丢番图方程X~2+4Y~4=pZ~4

设p为素数,p=4A~2+1+2|A,A∈N~*.运用二次和四次丢番图方程的结果证明了方程G:X~2+4Y~4=pZ~4,gcd(X,Y,Z)=1,除开正整数解(X,Y,Z)=(1,A,1)外,当A≡1(mod4)时,至多还有正整数解(X,Y,Z)满足X=|p(a~2-b~2)~2-4(A(a~2-b~2)±ab)~2|,Y~2=A(a~2-b~2)~2±2ab(a~2-b~2)-4a~2b~2A,Z=a~2+b~2;当A≡3(mod4)时,至多还有正整数解(X,Y,Z)满足X=|4a~2b~2A-(4abA±(a~2-b~2))~2|,Y~2=4a~2b~2A±2ab(a~2-b~2)-A(a~2-b~2)~2,Z=a~2+b~2.这里a,b∈N~*并且ab,gcd(a,b)=1,2|(a+b).同时具体给出了p=5时方程G的全部正整数解.     

与Euler函数φ(n)有关的非线性方程的正整数解

在Euler函数φ(n)的性质的基础上,利用整数分解的方法证明了对任意的正整数m,n,非线性方程φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c~2(a,b,c为勾股数且gcd(a,b,c)=1)当(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)时无正整数解,并证明了当a,b为任意的一奇一偶,c为任意的奇数,且满足a~2+b~2=c~2,gcd(a,b)=1,2|b时,方程无正整数解.     

C~n中复超球上的一类奇异积分方程的解

设 a(t),g(t)和 K(t,u)分别是复超球面 S 和 S×S 上满足 Lipschitz 连续条件,且K(t,u)/{a(u)-b(u)}是 B×B 上的解析函数在 S 上的边界值,在 S 上有 a~2(t)±b~2(t)≠0,则方程a(t)f(t)+2/w ∫_S (K(t,u)f(u)du)/((1-t)~n)=g(t) (1)当且仅当 g(t)使函数(b(t)g(t))/(b(t)+a(t))+(b(t)-a(t))/(b(t)+a(t)) ∫_S (2K(t,u)g(u)du)/(w{b(u)-a(u)}(1-t)~n)是复超球 B 上的解析函数的边界值函数时,方程(*)有唯一解:f(t)=(a(t)g(t))/(a~2(t)-b~2(t))+2/(w-{a(t)+b(t)}) ∫_S (K(t,u)g(u)du)/({b(u)-a(u)}(1-t)~n)这里 b(t)=K(t,t).     

二项式展开式迭加的应用

将二项式(a b)~n和(a-b)~n展开后“迭加”,可得 (a b)~n (a-b)~n =2(C_n~0a~n C_n~2a~(n-2)b~2 C_n~4a~(n-4)b~4 …)此式有以下特点: 1 右边字母b的指数为偶数; 2 n为偶数时,右边a、b的指数都是偶数:     

C~n中复超球上的一类奇异积分方程的解

设α(t),g(t)和K(t,u)分别是复超球面S和S×S上满足Lipschitz连续条件,且K(t,U)/{α(u)-b(u)}是B×B上的解析函数在S上的边界值,在S上有α~2(t)±b~2(t)≠0, 则方程α(t)f(t)+2/w integral from n=s ((K(t, u)f(u)du)/((1-tu′)~n))=g(t) (*) 当且仅当g(t)使函数 (b(t)g(t))/(b(t)+a(t))+(b(t)-a(t))/(b(t)+a(t)) integral from n=s ((2K(t, u)g(u)du)/(w{b(u)-a(u)}(1-tu′)~n)) 是复超球B上的解析函数的边界值函数时,方程(*)有唯一解: f(t)=(a(t)g(t))/(a~2(t)-b~2(t))+2/(w{a(t)+b(t)}) integral from n=s ((K(t, u)g(u)du)/({b(u)-a(u)}(1-tu′)~n)) 这里b(t)=K(t, t)。     

重要不等式的变式在数学竞赛中的应用

将基本不等式a~2 b~2≥2ab(当且仅当a= b时等号成立)的两边加上a~2 b~2得:2(a~2 b~2)≥(a b)~2,即(a~2 b~2)/2≥((a b)/2)~2,当且仅当a =b时等号成立.不等式(a~2 b~2)/2≥((a b)/2)~2的左边为两个实数的平方的平均值,右边为此两个实数的平均值的平方.因而,我们称此不等式为     

一类有限p-群的因子分解数（英文）

Let p be a prime number and f_2(G) be the number of factorizations G = AB of the group G, where A, B are subgroups of G. Let G be a class of finite p-groups as follows,G = a, b | a~(p~n)= b~(p~m)= 1, a~b= a~(p~(n-1)+1), where n m ≥ 1. In this article, the factorization number f_2(G) of G is computed, improving the results of Saeedi and Farrokhi in [5].     

多维平稳序列最大值的渐近分布

设α=(a~(1),…,a~(m)),b=(b~(1),…,b~(m))是 m 维实向量,定义它们之间的四则运算:α±b=(a~(1)±b~(1)).…,a~(m)±b~(m)),ab=(a~(1)b~(1),…,a~(m)b~(m)),a/b=(a~(1)/b~(1),…,a~(m)/b~(m)).α≤b(a相似文献   

乘法公式应用举例

乘法公式有平方差公式(a b)(a-b)= a~2-b~2、完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab b~2,在学习中应掌握以下三种乘法公式的用法．一、直接套用公式掌握公式的特征、认清公式中的两数,给“a”、“b”对号入座．例1计算(-2m 3n)(-2m-3n)．分析题目中具备-2m、3n的和与差的乘积形式,符合平方差公式,直接套用公式．     

广义自生数

本文推广了文[1]中自生数的概念。 定义。A_n是n位正整数。若存在大于1的正整数k,使得A_n的k次幂A_n~k的末n位数仍是A_n,则称A_n是一个n位自生数。否则就说A_n是非自生数。 显然,正整数A_n是n位自生数的充分必要条件是k∈N-{1}使得A_n~k-A_n 0(mod10~n)。可以看出,以上的k不是唯一的。若k=min{m|m∈N-{1},A_m~n-A_n 0(mod10~n),则我们还特别称A_n是k次n位自生数。约定当A_n     

一元二次方程有根“1”的条件的应用续例

本刊1984年第二期发表了《一元二次方程有根“1”的条件的应用》一文,本文再举数例加以补充说明, 一、利用“若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,则有a+b+c=0”的结论证题。例1、若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,求证:a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3证明:∵ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,∴a+b+c=0, 即有c=-(a+b)。∴a~3+b~3+c~3=a~3+b~3-(a+b)~3=-3a~2b-3ab~2=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc两边同除以abc得a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3。二、利用“若a+b+c=0,则方程ax~2+bx+c=0(a≠0)必有一根为1”的结论证题,     

运用sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1进行代换解三角题

代数在三角和几何上的应用非常广泛,某些三角问题,如证三角恒等式、解三角方程、解三角不等式等,如能转化为代数问题来解,往往较之纯用三角知识来解会更顺利和简捷。如令sinx=a,cosx=b,则由 sin~2x cos~2x=1,得a~2 b~2=1。于是可得代换公式{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1}。本文拟用{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1} 进行代换,探索三角问题转化成代数问题的解法。现举例供参考。例1解方程1/(sinx) 1/(cosx)=2。解设sinx=a,cosx=b,则原方程化为方程组     

环的交换性定理

本文证明了: 定理1 设R是有左单位元e的结合环的而N为其诣零元集合,如果R中恒有。(i) x~(n(x))-x∈N x∈R此处n(x)是大于1的依赖于x的整数;(ii) x≡y(mod N)就导致x~i=y~i x~j=y~j i=i(x,y) j=j(x,y) (i,j)=1是与x,y有关的大于2的整数或者x,y与N中每一元都可交换。则R为交换环. 定理2 若R是kothe半单环,a,b∈R,存在k≥m=m(a,b)≥1;l≥n=n(a,b)》1使得[(ab)~m(ba)~n]∈Z(R)且R之特征为p(素数),则R为交换环。     

一类p~3阶群的Burnside环之增广商群

群环理论将群论和环论有机地结合了起来,是代数学中的重要分支之一,其中增广理想和增广商群是群环理论中的一个经典课题.设G有限群,分别记的Burnside环及其增广理想为Ω(G)和Δ(G).本文对任意正整数n,具体构造了Δ~n(I_p)作为自由交换群的一组基,并确定了商群Δ~n(I_p)/Δ~(n+1)(I_p)的结构,其中I_p=〈a,b|a~(p~2)=b~p=1,b~(-1)ab=a~(p+1)〉,p为奇素数.     

一类三参数四次Thue方程的一个注记

给出一类三参数的四次Thue方程x~4-4sx~3y-(2ab+4(a+b)s)x~2y~2-4absxy~3+a~2b~2y~4=1,s≥1,当a=2,b=1时的所有整数解(x,y).     

由两数差的平方公式引伸出来的一些重要不等式——中学数学课外活动资料

初中学生即知(a-b)~2=a~2-2ab b~2,且(a-b)~2≥0(a、b为实数),从而得出 ab≤(a~2 b~2)/2很多重要的不等式,都可由(A)得出。 在(A)中令a=x~(1/2)(x>0),b=y~(1/2)(y>0),得     

图的联结数与[a,b]-因子存在性

设G是一个n阶图,a,b,m1,m2是非负整数且满足1≤a＜b和b≥m1.H1和H2是图G的两个边不交的子图且满足|E(H1)|=m1和|E(H2)|=m2.证明下列结论:若图G的联结数bind(G)＞(a+b-1)(n-1)/bn-(a+b)-2(m1+m2)+2且n≥(b-1)(a+b-1)(a+b-2)+2b(m1+m2)/b(b-1),则图G有一个[a,b]-因子F满足E(H1)(∈)E(F)和E(H2)∩ E(F)=φ.进一步指出这个结果是最好的.