同余数

1 引言有理数n叫做同余数,如果它是三边边长都是有理数的直角三角形的面积。用式子来表示就是说:如果有三个正有理数X,Y,Z适合条件     

关于某些椭圆曲线的Tate—Shafarevich群的注记

本文首先考虑某个四元代数，通过对此四元代数的算术的研究，得到某类丢番图方程的解数与某些虚二次域类数之间的关系，最后，应用Ｔｕｎｎｅｌｌ的定理，得到一簇椭圆曲线的Ｔａｔｅ－Ｓｈａｆａｒｅｖｉｃｈ群的阶的上界。     

椭圆曲线y~2=x(x-p)(x-q)的整数点(Ⅰ)

设p,q为奇素数,m为正奇数,且p+2~m=q,p≡3(mod4).证明了:当m=1或3时,椭圆曲线y~2=x(x-p)(x-q)(xq)至多有1对整数点(x,y);当m≥5时,该椭圆曲线至多有2对整数点(x,y).同时具体给出了(p,q)=(71,103)时椭圆曲线的全部整数点.     

超椭圆曲线y~k=x(x+1)(x+3)(x+4)上的有理点

针对超椭圆曲线y~k=x(x+1)(x+3)(x+4)上是否存在有理点这一问题,运用了分类讨论的方法求解出当k≥3且k≠4时,该超椭圆曲线上的有理点只有(0,0);(-1,0);(-3,0);(-4,0).     

椭圆曲线和 Steinhaus 的一个问题

考虑Steinhaus的一个问题,并将其与一类椭圆曲线的研究联系起来．在某些情形下,给出明确的结果．     

别忘了，今天是星期几——谈余数问题

学生每天都要上课，当然不会忘记今天是星期几．要是忘了，怎么办?在日常生活中，有时我们需要注意某些正整数用一个固定正整数除所得余数。比如．1998年元且是星期四．1999年元旦是星期几?1998年是365天．1998年元旦的这个星期还有3天，所以365—3=7×51 5，故知1999年元旦是星期五。     

椭圆曲线y~2=x~3-21x+90的正整数点

利用初等方法证明了椭圆曲线y~2=x~3-21x+90无正整数点.     

关于丢番图方程1+5~x+2~y5~z11~u=2~v·11~w,yvw>0,x+z>0的解

讨论了丢番图方程1+X+Y=Z的一个特殊情形.借助计算机,用初等方法给出了指数丢番图方程1+5~x+2~y5~z11~u=2~v·11~w,yvw>0,x+z>0的全部非负整数解.     

关于丢番图方程x~3±1=6qDy~2的整数解的研究

设D=n∏i=1p_i(n∈Z~+),p_i≡5(mod6)(i=1,2,…,n)为彼此不相同的奇素数,q≡1(mod6)为奇素数,运用Pell方程的解的性质、同余式、平方剩余、递归序列等给出了丢番图方程x~3±1=6qDy~2仅有平凡解的三个充分条件.     

椭圆曲线y~2=(x+2)(x~2-2x+15)的正整数点

利用初等方法证明了椭圆曲线y~2=(x+2)(x~2-2x+15)无正整数点.     

关于丢番图方程x~2+y~2=p与x~2+2y~2=p的整数解

利用p次单位根e~((2πi)/p)作为原始材料,通过不同层次的组合,当p≡1(mod 4)时,给出了方程x~2+y~2=p的整数解.在此基础上,当p≡1(mod 8)时,进一步给出了x~2+2y~2=p的整数解.     

同余数问题与椭圆曲线 献给杨乐教授80华诞

设n为一个模8余5的正整数,使得n的所有素因子均模4余1且Q((-n)~(1/2))没有阶为4的理想类.本文引入对n的素因子个数的归纳方法,给出椭圆曲线E(n):ny~2=x~3-x上Heegner点的非平凡性,从而给出n为同余数的证明(定理6.1).本文还综述对同余椭圆曲线的Goldfeld猜想及BSD猜想(Birch和Swinnerton-Dyer猜想)方面的结果.一方面,基于这种归纳方法, Tian等(2017)推广这一结果得到了更多的同余数,再结合Smith (2015)及Heath-Brown (1994),本文证明同余数问题的弱Goldfeld猜想(主定理A).另一方面,基于定理6.1以及Li、Liu和本人(2019)的工作,本文证明完整BSD猜想对椭圆曲线E~((n))成立(主定理B).这样得到了完整BSD猜想对无穷多条秩为1的椭圆曲线成立.     

丢番图逼近、环面T2上的Gevrey亚椭圆性与几乎周期运动

文中考虑一类最多可以指数地有理逼近的无理数,并指出它们自然地存在于偏微分方程解析理论及动力系统中．     

椭圆的切线与法线引出的高次曲线

对椭圆的切线和法线有关的三个轨迹问题展开新的探索,发现了三条优美对称的高次曲线和相关长度、距离公式.