圆錐曲綫的极坐标方程

大家都知道圓錐曲线可定义为动点的軌迹,該动点到一定点和一定直线的距离的此恆为常数。这个常数称为离心率,定点称为焦点,定直线称为准綫。若取焦点F为极点,F到准线g的垂綫作极軸,垂足D到F的方向为极軸的正向,如此选定极坐标系以后,則以e为离心率的圓錐曲綫的方程应为     

曲綫族

我十分荣幸地接受中国数学会的邀請,向諸位作一个报告。据我了解,今天这里的听众的主要兴趣在于教学。为了准备这篇报告,我努力寻找一个深浅适度而又在任何书籍中找不到的課題作为本报告的內容。如果我在这方面估計有錯的話,則請大家原諒。在进入报告的正題以前,請允許我先向諸位介紹一下澳大利亚以及西方国家中存在于中小学数学教学方面的一些趋向,你們可能想了解这些情况。 (1)小学阶段。对象是年龄从五、六岁至八、九岁的儿童。在教育方法上进行了积极的研究,目的是使儿童真正懂得算术与初等代数的意义,避免死背他們所不懂的条条。借助于具体教育法,特别是依靠了法国基賽奈先生(Monsieur Cuisenaire)創造的“数杆”的帮助,在这方面取得了很大成功。所謂“数杆”是长度与1至10的数目成比例的杆子,它們各有特征顏色。相关的数,例如2,4,8,有相近的顏色。通过玩数杆游戏,儿童們学会了加法乃至各种更为复杂的概念,諸如分数与比例。 (2) 中学阶段。作了許多关于修改課本的討論与教育实驗,目的是改变那种传統的讲授代数式的教育方法,使課本內容更紧密地与实际生活以及現代数学     

二次曲綫的漸近綫

平面上给定直角坐标系以后,要作出方程F(x,y)=0所确定的曲线,为了简化描绘工作和提高作图的准确度,首先应该研究方程的种种特性。尤其当曲线存在渐近线吋,事前能求出渐近线方程,则在描绘曲线的过程中将会起到很重要的作用。本文中只谈一下有关二次曲线的渐近线问题。对于判断二次曲线的浙近线是否存在以及存在时如何求出渐近线方程,完全可以利用极限运算予以解决,这里不准备叙述。现在要谈的是利用在平面上引入无穷远点、无穷远直线等概念来解次上面提出的问题。现在先介绍曲线C的渐近线定义。定义。当一点M沿曲线C趋向无穷远时,点M与某一直线(如果这样直线存在的话)无限地接近(即点M与该直线的距离趋于零),则此直线叫做曲线C的渐近线。如果曲线C是二次的,容易证明:上述定义与把渐近线定义为“切点沿曲线趋向无穷远时,切线的极限     

皮亚諾曲綫

1.1890年意大利数学家D.皮亚諾(1858-1932)构造了一个通过某一正方形的所有的点的平面連續曲綫的例子。自然,具有如此絕妙的性貭的曲綫引起了广泛的注意,因而,很快又找到了这种曲綫的另外的例子。它們都按第一个作者的名字而命名为皮亚諾曲綫。其中,較为簡单的皮亚諾曲邁是德国學者D.希尔伯特(1862-1943)在1891年构造的。本文的目的就在于叙述希尔伯特的构造。 2.“平面連續曲綫”这一术語有着各种不同形式的定义,在本文中只引用其中的一种。     

圓錐曲綫小史

人民教育出版社出版的《平面解析几何》引言上說:“解析几何产生在17世紀初期。由于当时生产的发展,各种科学和生产技术都有了很大进步,这就迫切需要解决随着发生的許多数学上的問題。……因而有关圓錐曲线的計算就成为迫切需要。解析几何就是由于这种需要而产生的”。本文就圓錐曲线发展的历史,略作介紹。不足之处在所难免,尚希讀者指正。 (一) 圓錐曲綫研究的起源 圓錐曲线的研究,起源于希腊。它与几何三大問題中的二倍立方問題有关。几何三人问題曾轰传一时,研究者很多,曾研究过二倍立方問題的希腊学者計有:阿契塔(Archytas,約公元前428-347),拍拉图(Plato,約公元前427-347),欧多克斯(Eudoxus,約公元前408-355)及蒙爱启瑪斯(Meneachmus,約公元前375-325)等。蒙爱启瑪斯是欧多克斯的門徒,可能受到阿契塔及欧多克斯的启发;他的解法也可能是希腊学者研究的总汇。取三个正圆錐,一为直角,一为銳角,另一个是鈍角的,各作一平面垂直于一条母线,并与圓錐相截;称截线为“直角圓錐截线”、“銳角圓錐截线”、“鈍角圓錐截綫”;(即今之抛     

再論皮亚諾曲綫

《数学通报》1964年第9期刊登了И.П那湯松的“皮亚谱曲线”一文,叙述了希尔伯特关于皮亚诺曲线的构造。本文将借助于无穷级数的理论,解析地给出皮亚诺曲线。首先,我们在闭区间[0,2]上定义函数φ(t+2m)=φ(t) (m为整数),其中λ为闭区间[0,36]上的任一实数。显然,φ(t)在(-∞,+∞)上连续,且0≤φ(t)≤2。现在我们定义两个函数如下:     

論曲綫的全曲率(Ⅱ)

<正> 在前一文[1]中,作者曾用折线逼近曲线,以研究曲綫的全曲率.本文目的,是要証明一个关于用光滑曲綫逼近具有有限个角点的曲线的定理.藉此定理之助,关于光滑曲綫全曲率的許多已知的定理,如Fenchel定理等,都可以推广到具有有限个角点的曲綫去. 本文的方法和結果都可以毫无困难地推广到高維欧几里得空間中去,但为簡单起見,我們只就3維欧几里得空間的情况来討論.文中所述及的曲綫是分段光滑的,且除有限     

拋物綫开口的方向和精簡二次曲綫教材的几点注意

1.引言.本文給出一个决定拋物綫开口方向的一个簡单办法:即証明当二次曲綫 Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0 (1)是拋物綫时(在直角坐标或仿射坐标中),它开口的方向是向量(BE—CD,DB—AE)所指的方向。另外,关于一般二次曲綫(1)的两个問題,即根据(1)底系数来判断它底軌迹底形状和确定这軌迹在所給坐标系中的位置的有关問題,在一些书上是分开来討論的。(見[1]和[2])这是由于后一問題需要引入較多的概念和牽涉到較深的理論。另一些书上,为了精簡教材(見[3]和[4]),用移軸和轉軸的办法尽可能地把这两个問題統一起来处理,但有些重要結果和簡便方法尚未能包括进去。对此,本文提出几点补充注意,說明怎样可     

在熵损失函数下定数截尾情形的参数估计——指数分布情形

本文研究了在熵损失函数下,定数截尾时指数分布的参数估计,得出在熵损失函数下的最小风险同变（ＭＲＥ）估计的精确形式．证明了（ｃＴ＋ｄ）~(－１)形式的一类估计的可容许性和不可容许性．     

在没有台劳定理情形下的幂级数

在现代微积分教科书中,一般的写法是:在推导任何标准超越函数的幂级数展开式以前,就建立数列和无穷级数的完整理论。台劳多项式和台劳定理通常是对任意的函数给出的,只有在大量的展开后,学生们才看到,例如对计算数e至五位小数的应用。我们这里提出一种相     

中学平面解析几何課中“曲綫和方程”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“曲綫和方程”部分的具体內容主要是指“曲綫方程的意义”、“依已知曲綫求它的方程”、“就已知方程作出它的曲綫”等。其中后两部分常称为曲綫和方程的两个基本問題。由于直角坐标系的建立构成了平面上的点与有序实数偶間的一一对应,使平面解析几何中“就数論形”打下了物貭基础,从而在曲綫方程的概念中,再由于构成了某些方程与平面上的某些曲綫間的一一对应,进一步就使得平面解析几何中“就数論形”获得了現实意义。这就是說,由于曲綫是被看作具有某些共同性貭的点的軌迹,而曲綫方程正是具有某些共同性质的点在坐标平面上的坐标之間关系的反映,这样一来,几何中的形(点之間的关系)与代数中的数(数之間的关系)原为对立,而被揭示以統一,为“就数論形”与“依形判数”的相互轉化开辟了切实可行的途径。而全部平面解析几何的內容正是在这种相互轉化的过程中展     

极坐标的解题技巧

极坐标是解析几何中的重要内容之一,运用其解题具有简便的特点,应予足够重视,由于学生较长时间地习惯了直角坐标题,加之教材中未配备运用极坐标解题的典型例题,因而学生不能灵活地选择和运用极坐标解题。本文就对极坐标选择的合理性、技巧性、灵活性加以浅述,以利提高学生灵活解题的能力。     

高阶退化情形下的Arnold定理

研究近可积Hamilton系统不变环面的保持性, 其中和满足Rüssmann高阶非退化条件. 主要克服了在Rüssmann条件下摄动项阶数不够高以及含小参数频率的部分小性进行测度估计时所造成的困难.     

临界情形下的全局拓扑线性化

非线性系ｘ＇＝Ａｘ＝ｆ（ｘ）线性化的基本条件是Ａ的特征根实部异于零．经典线性化的结论只限于原点小邻域［１］．后改进为全局性的［２,３］,但要求ｆ（ｘ）有界．在文［４］中我们去掉了ｆ（ｘ）有界的限制．本文将进一步去掉Ａ的特征根实部异于零的限制,证明了,只要ｆ（ｘ）有适当结构,全局线性化仍是可能的．     

空间情形下旋转体体积的近似计算

基于定积分的数值计算方法,解决了空间一般式曲线绕任意轴所形成的旋转体体积的近似计算问题,给出了相应的Matlab程序,并用两个实例进行说明.     

可积情形下的Gronwall不等式

在[6]讨论J．K．Hale指出的投影下Gronwall不等式u(t)≤ a(t)＋∫₀^tb(t-s)u(s)ds＋∫₀^∞c(s)u(t＋s)ds,?t≥ 0,基础上．指明[6]所要求的(?)a(t)=0是可以去掉的．进而,本文去掉了u(t),a(t)和c(t)的连续性以及a(t)的单调性,仅在可积性条件下得到了更一般的结论．所得的结果不仅真正包含了[5]的结果,而且新的证明方法使[5]中的疏漏得以补正．     

空间情形下旋转体体积的计算

运用定积分中的元素法,给出了空间曲线绕空间直线旋转一周所成的旋转曲面与垂直于旋转轴的两个平面所围成的旋转体体积的计算公式:V=π(m2+n2+p2)23∫tt12{[p(y(t)-b)-n(z(t)-c)]2+[m(z(t)-c)-p(x(t)-a)]2+[n(x(t)-a)-m(y(t)-b)]2}m.x′(t)+n.y′(t)+p.z′(t)dt从而将平面图形的旋转体体积推广到了空间情形.     

多参数情形下 MLE 的大偏差

在大样本点估计理论中,我们一般只考虑相合估计,对于任何一个相合估计 T_n 以及任何给定的ε>0,其尾概率     

筛选试验情形下可靠性评估

通过改变数据填充方式重新对筛选试验进行可靠性评估.在填充数据的方法上选择等分位点数据填充算法,使得改进后的算法所得的虚拟完全数据更接近于真实的完全数据.最后对所提出的筛选试验情形下可靠性评估方法进行了模拟验证.     

綫段的长度

一、引言在这篇文章里,准备比較严謹地談談綫段的长度問題。从几何基础的观点来看,必須有了結合公理,順序公理和合同公理的基础,才能引进連續公理,也就是阿基米德(Archimeder)公理和康脫尔(Cautor)公理或等价的戴德金(Dedikind)公理,有了連續公理才能說清楚綫段长度的概念。在这里,我們假定讀者已經熟悉前三組公理。不过,即使不熟悉前三組公理看这篇文章,也不致发生什么困难。为了叙述上的簡单,我們采用了二进小数,并在第二节中簡要地介紹了一下二进小数。采用了二进小数对于平分一个綫段来說,不用平行公理就能作到。如