关于Cramer法则的证明

为叙述方便,将Cramer法则引述如下:定理:若线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组(1)有唯一解:     

广义行列式与Cramer法则

设A是一个n阶方阵,B是一个n×m矩阵,则容易证明:当A可逆时,矩阵方程AX=B有唯一解:X=A~(-1)B。如果m=1,则由此便得到熟知的Cramer法则。因此,以上结论自然可视为Cramer法则的一种推广。文[4]利用k阶子式阵曾给出Cramer法则的另一种推广。本文则定义一种广义行列式,并由此给出Cramer法则的又一种非常自然的     

关于三元齐次线性方程组的一个定理在解题中的应用

十年制高中数学第三册《三元齐次线性方程组》一节中有定理: 三元齐次线性方程组 a_1x+b_1y+c_1z=0 a_2x+b_2y+c_2z=0 a_3x+b_3y+c_3z=0有非零解的充要件是系数行列式     

三元一次方程組解的討論及其几何意义

三元一次方程組的一般形式为在現行中学代数中只研究了当系数行列式有唯一一組解的情形。而当系数行列式D=0,方程組(*)(以下簡称(*))是无解还是有解,有多少解等等情况是比較复杂的。下面我們仍采用初等的方法将(*)的解的一切可能情形加以討論,并指明其相应的几何意义。 (*)的初等解法是指中学代数中习慣用的消去法,在(*)中可以假設至少有一个未知量的系数不为     

关于方程的几个问题

历年来在高等代数的教学中,总发現某些学生对方程有着模糊的概念。例如,按照現行教材,中学毕业生进入高等学校后第一次接触到方程概念的是克萊姆規則:n个未知量n个方程的綫性方程組 a_(11)x~1+a_(12)x_2+ …+a_(1n)x_n=b_1, a_(21)x_1+a_(22)x_2+…+a_(2n)x_n=b_2, a_(n1)+a_(n2)x_2+…+a_(nn)x_n=b_n (1)的系数行列式D=|aij≠0时,(1)有解且仅有一解,即x_i=Di/D,i=1,2,…,n。 証明分两步:第一步是假定(1)有解,得出xi=Di/D。第二步是用真x_i=Di/D代入(1),得出真的等式,因而x_i=Di/D的确是(1)的解。較多的同学感到第二步是多余的,沒有必要。另一个例子是在討論向量方程     

从几何直观理解行列式与Cramer法则

在对行列式几何意义给出直观解释的基础上．利用直观的二维图说明n维的情况．给出线性方程组AX=β的解的一个几何解释,并运用这个几何解释诱导Cramer法则．说明教师在教授学生时更重要的是使其把握代数拼凑技巧背后的思想．     

齐次线性方程组有非零解的几何应用

含有n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零.利用这个结论可以解很多解析几何问题,这里所给实例的解法不同于有关教材或参考书.     

对“关于线性方程组的解的讨论”的一点补充

数学通报80年11月号刊登的陈金辉同志的“关于线性方程组的解的讨论”一文(以下简称“讨论”),着重论述了三元一次线性方程组当D=Dx=Dy=Dz=0时解的各种情况。指出:此时“若D中至少有一个二阶子行列式不等于零,则方程组(Ⅰ)有无限多组解:若D中所有二阶子行列式都等于零,而Dx(Dy或Dz)中至少有一个二阶子行列式不等于零,则方程组(Ⅰ)无解;若D和Dx(Dy且Dz)中所有二阶子行列式都等于零,则方程组(Ⅰ)有无限多组解”。从而对现行全日制十年制高中数学课本第三册中的有关内容:“当D=Dx=Dy=Dz=0时,方程组(Ⅰ)无解或有无穷多解”加了注释,进行了引伸。     

關於行列式理論的公理構成

行列式起源於解綫性方程組的問題,為了將解2未知量或3未知量綫性方程組的克來母规則推廣到n未知量的情形,我們從2階及3階行列式去找它們的內在规律,然後依照這種規律去定義n階行列式,並證明這樣定義的n階行列式確能使克來母規則成立。這在一般高等代數書上都有介紹,這裏不多說(可參看柯召譯庫洛什著高等代數教程第二章,此書以下簡稱庫高。) 由n階行列式的定義可以推出它們的很多性質,在庫高§23中曾指出利用這些性質中的若干條也可以反過來决定行列式。即若一方陣函數適合該若干條性質,則此函数必為方陣的行列式,這告訴我們對行列式可以有比較抽象的講     

谈矩阵表示的顺序消元法解线性方程组

在讲授“行列式和线性方程组”一章时,学生提出:“三元线性方程(Ⅱ)的系数行列式D=0时,究竟在什么情况下有无穷多解,在什么情况下无解?用顺序消元法(矩阵表示)解线性方程组时是否一定要限制在D≠0的条件下?”本来这些问题在高等代数中都得到了满意的解决,但要用到一些较深的高等数学中的概念。我们只把课本上介绍的顺序消元法(矩阵表示)的知识稍加深化,在不涉及高深概念的前提下满足了这一部分学生的求知欲望。课本上已写明:顺序消元法解线性方程组的矩阵表示实际上是通过方程组的系数和常数项的变化来表示方程组的消元过程。基于这个思想,我们认为解三元线性方程组     

齐次线性方程组有非零解条件的应用

线性代数中关于线性方程组的理论有这样一个重要结论:定理[1]含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于零.这一结论不仅在线性代数中有广泛应用,而且在数学分析、解析几何等数学分支中也有不少应用.下面我们通过几个实例给予说明.例1设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C2为任意常数)是某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为.(全国2001年硕士研究生入学考试试题)解y=ex(C1sinx+C2cosx)两边对x分别求1阶及2阶导数,并整理,得(C1-C2)exsinx+(C1+C2)excosx-y′=0,(1)-2C2exsinx+2C1excosx-y…     

Toeplitz方程组极小范数最小二乘解的快速算法

给出了求以m×n阶Toeplitz矩阵为系数阵的线性方程组极小范数最小二乘解的快速算法.     

一类齐次线性方程组有非零解的充分条件的一种新证法

利用行列式基本理论,给出了由n个方程n个未知量组成的齐次线性方程组有非零解的充分条件的一种新证法.     

构造辅助函数计算准Vandermonde行列式

通过构造线性方程组和一元高次方程,利用线性方程组的解与一元高次方程根与系数的关系推导出第一类准Vandermonde行列式的值.通过构造辅助函数计算一个特殊的第一类准Vandermonde行列式,并把这种方法推广于两类特殊第二类准Vandermonde行列式的计算.     

含参数线性方程组解的判别方法注记

当线性方程组中含有未知参数时,线性方程组解的情况往往需要进行讨论.本文给出了在非齐次线性方程组系数矩阵中含有未知参数且系数行列式等于零的情况下,判定对应参数值下方程组的解是无解还是有无穷多解的两个判定定理.和以前的方法比较,本文提出的讨论方法更直接.     

sum from r=1 to (k-1)(r~2)的行列式算法

散见于各种杂志上,有许多求法．本文利用行列式和线性方程组的有关结果给出这一问题的一种算法,所得结论在形式上是非常简洁的．本文中表示n中取k的组合数．在恒等式中,令X一1,2,3,…,h－1并将所得各式相加,可得上式中用n－1,n－2,…,2,1代替n,可得以下n个等式上述n个等式,可以看成以人（k）,又（k）为未知县的线性方程组并且此线性方程组的系数行列式为,由Crammer法则‘的行列式表达式．sum from r=1 to (k-1)(r~2)的行列式算法@贾利新$解放军电子技术学院     

Hilbert空间中的二阶线性发展方程

本文应用K-T-阶发展方程理论讨论Hilbert空间中形如 (*)的二阶线性发展方程解的存在唯一性及(*)中各项依各自范数对t的连续性,作为准备,本文证明了:若A(t)是由某种拟双线性型导出,则有从而证明一阶发展方程解的一阶导数在初始点t=O连续,在t>O解有二阶导数,由此给出(*)解的存在唯一性和(*)中各项依各自范数对t连续的条件。     

构造线性方程组证明几何竞赛题

本文运用三元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零的定理,运用构造方程组的方法解四道国内外几何竞赛题.……     

Cramer法则的推广

在行列式的理论中,有下列两个重要的而且是众所周知的定理: 定理1、任何行列式都可以按任意一行(列)展开,即若a_(i1),a_(i2),…,a_(in)为n阶行列式D的第i行元素,则     

广义范德蒙行列式

把n阶范德蒙行列式D中任一行(设为第i行)上元素的幂指数一般化,换成任意的整数k(正,零或负),这样得到的行列式与三个参数有关:阶数n,行数i,指数k.它既包含了原来的行列式D,又涵盖了其他许多不同的行列式.本文对指数k的不同情形分别进行讨论,并以D与D第二行元素的初等对称多项式分别表示出k≥n与k0时行列式之值.