函数f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x最小值猜想的推广

文[1]中猜想：f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x（0〈x〈π/2,a,b∈R^＋,n∈N＋），当且仅当x=arctan ^n＋2√a/b时，取最小值（a 2/n＋2＋b 2/n＋2）n＋2/2。笔者发现不但此猜想是正确的，而且还得到它的一个推广，下面给出推广及证明（初等证明）．     

On the Terai-Jésmanowicz conjecture

In this paper, we prove that if a, b and c are pairwise coprime positive integers such that a^2＋b^2=c^r,a〉b,a≡3 （mod4）,b≡2 （mod4） and c-1 is not a square, thena a^x＋b^y=c^z has only the positive integer solution （x, y, z） = （2, 2, r）.
Let m and r be positive integers with 2｜m and 2 r, define the integers Ur, Vr by （m ＋√-1）^r=Vr＋Ur√-1. If a = ｜Ur｜,b=｜Vr｜,c = m^2＋1 with m ≡ 2 （mod 4）,a ≡ 3 （mod 4）, and if r 〈 m/√1.5log3（m^2＋1）-1, then a^x ＋ b^y = c^z has only the positive integer solution （x,y, z） = （2, 2, r）. The argument here is elementary.     

一个优美不等式的再推广

瓦西列夫不等式： 设n，b，c〉0，n＋b＋c=1，则a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2.     

例谈“辅助角公式”在解高考题中的应用

形如y=asin x＋bcos x型的函数,可采用如下变形：asinx＋bcosx=a2＋b2（1/2）（sinx·a/a2＋b2（1/2）＋cos x·b/a2＋b2（1/2））=a2＋b2（1/2）sin（x＋φ）,其中sinφ=b/a2＋b2（1/2）,cosφ=a/a2＋b2（1/2）.这种＂合一变形＂公式通常称为辅助角公式,它是研究三角函数问题的一个强有力的工具.     

瓦西列夫不等式的再推广

贵刊文[1]介绍了俄罗斯杂志《中学数学》刊登的一组不等式，其中之一是下面的瓦西列夫不等式： 设a，b，c〉0，且a＋b＋c=1，则 a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2 （1）     

一道“希望杯”竞赛题的研究

题目（第二十一届“希望杯”高二第2试）已知a,b∈R＋,且ab=2,则b/2＋a2＋a/2＋b2的最小值是.本文从两个角度对问题进行研究,先对问题作一题多解,然后对问题作多方面变式,供大家参考.1.一题多解解法1∵a,b∈R＋,且ab=2,∴b=2/a,∴b/2＋a2＋a/2＋b2=2/a2＋a2＋a/2＋4/a2=2/a（2＋a2）＋a3/2（2＋a2）=4＋a4/2a（2＋a2）,     

一道奥赛问题的几种基本解法

第三届北方数学奥林匹克邀请赛有这样一道试题：设△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋b＋c=3，求f（a，b，c）=a^2＋b^2＋c^2＋4/3abc的最小值．     

瓦西列夫不等式的加强

本刊曾刊登了瓦西列夫提出的如下优美的不等式：设a，b，C〉0，a＋b＋c=1，则，^2a＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/＋a＋b≥2①笔者经过探索，得到了①的一个加强结果：     

巧用椭圆的切点弦方程解题

命题从椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）外一点p（x0,y0）作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB的方程为x0x/a2＋y0y/b2=1．     

对一道自创题的引申和总结

题目 已知a1＋a2＋a3=4，b1＋b2＋b3=3，且a1，a2，a3，b1，b2，b3均为正数，试求√a1^2＋b1^2＋√a2^2＋b2^2＋√a3^2＋b3^2的最小值。     

不等式中的一对姐妹花

若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有（1/b＋c -a）1/c＋a-b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3当且仅当a=b=c=1/3时取等号。     

一类最值题的命制及其求解

第20届伊朗数学竞赛中有如下一道三元不等式题：已知a,b,c为正实数,a2＋b2＋c2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3.如果退化为二元情况,不妨令c=b,则题设条件变为a2＋2b2＋ab2=4（＊）,整理得a＋b2=2,在此式中再分别令a=x＋y/2,b=xy（1/2）或者a=2x＋y/3,b=xy（1/2）等,并代入后进行整理,就得到下列几道最值题：问题1已知x,     

基本不等式√ab≤a＋b/2的应用

定理如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”）.这个定理适用的范围：a,b∈R^＋；我们称a＋b/2为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．此不等式常称为均值不等式．     

一道习题引发对减元策略的探究

问题提出 已知对任意实数r,二次函数f（x）=ax2＋bx＋c恒非负,若a〈b,则M=a＋b＋c/b-a的最小值等于____．     

两个题目的内在联系

题1 若实数a，b，c满足2a＋2b=2a＋b,2a＋2b＋2c=2a＋b＋c，则c的最大值是——．     

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为：若方程x＋f（x）=m和x＋f^-1（x）=m的根分别为a，b．则a＋b=m．     

一道高考填空题的解法探究

2013年高考新课标卷I理科第12题为：设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…,若b1〉c1,b1＋c1=2a1,an＋1=an,bn＋1=cn＋an/2,cn＋1=bn＋an/2,则（）     

不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)及其应用

设△ABC的三边为a、b、c,f=1/2(a b c),面积为s,外接圆、内切圆的半径分别为R、r。上述这些元素间存在着许多基本不等式,各不等式间有什么内在联系?能否用一个基本等式推导出其它不等式?这就是本文讨论的问题。一、不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)的证明及推论在△ABC中,求证tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~1/2(当且仅当A=B=C时等号成立)。证明 ∵     

A Conjecture Concerning the Pure Exponential Diophantine Equation a^x ＋ b^y = c^z

Let a, b, c, r be fixed positive integers such that a^2 ＋ b^2 = c^r, min（a, b, c, r） 〉 1 and 2 r. In this paper we prove that if a ≡ 2 （mod 4）, b ≡ 3 （mod 4）, c 〉 3.10^37 and r 〉 7200, then the equation a^x ＋ b^y = c^z only has the solution （x, y, z） = （2, 2, r）.     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c -a） （1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3