反思—发现—再反思—再发现

学习数学的过程是发现问题和解决问题的过程 .要想发现问题 ,首先要思考 .思考的方式很多 ,在解决一个问题后 ,反思就是一种常用的思考方法 ,这种思考是在一定基础上对问题进行比较、深化和提高 ,这样的思考有利于我们优化解决问题的方法 ,培养思维的广阔性 .下面是笔者在教学中遇到的一例 .问题　已知点A( -1,-3 )为圆x2 +y2=4上一定点 ,B、C为圆上另外两动点 ,且∠BAC =3 0°,求△ABC面积的最大值 .分析　这是一个解析几何中的最值问题 ,解决这类问题的常用方法是 :引入参数 ,建立关于面积的目标函数 ,然后再求解 .设立怎样的参数是解…     

平面向量问题典型错误拾遗

为了帮助同学们提高解题的正确率,避免解题错误的发生,本文就同学们处理平面向量问题常出现的几种典型错误剖析如下．     

发现法教学与数学知识的再发现

著名数学教育家波利亚指出：“教学必须为发明作准备,或至少给一点发明的尝试．无论如何,教学不应该压制学生中间的发明萌芽．”波利亚在这里所说的发明,大多是指客观上早已被前人发现了的知识的再发现．这段话深刻地阐明了教学中教师应认真为学生实现知识的再发现作好...     

发现、发现、再发现——一道高考题的研究性学习

这一篇设计 ,带给我们什么启示呢 ?主要启示是 ,一旦从“大量重复性的题海”的缰绳中解脱出来 ,青年学子的潜能是不可限量的、巨大的 .不过 ,这也只是“纸上谈兵”而已 ,要实现真正解放又谈何容易 !要是没有高明的教师发挥良好的指导作用 ,许多学生 (甚至是多数学生 )都只能做“壁上观”.象这一篇设计那样 ,首先要能自己提出几个关键性问句 ,又要为它们排好一个有利的序 ,即要理清思路 !这一切又怎样培养学生自己来完成呢 ?可见 ,要做好一个个优秀的发现设计 ,同时要逐步培养学生自己来完成这种思路的设计 ,不是那么容易办的事 ,也许不是每一位在职的数学老师都能够轻易胜任的 .这就是“题海战术”易受普遍青睐 ,而这样一椿美事却极难“遍地开花”的道理之所在 !一颗好苗 ,有幸碰上那么一个崇尚思维与发现的好园丁 ,说不定一个大数学家将会扎扎实实蓬蓬勃勃地从这里起步了呢 !你说事情是这样的吗 ?]     

153发现、发现、再发现--一道高考题的研究性学习

[主持人按这一篇设计,带给我们什么启示呢? 主要启示是,一旦从"大量重复性的题海"的缰绳中解脱出来,青年学子的潜能是不可限量的、巨大的.     

一道竞赛题的拾遗

本刊1989年第8期刊登武钢三中高一数学邀请赛的第八题:“空间中无四点共面的六个点,过每四点作球面 1)最多能作多少个?最少能作多少个? 2)若上述球面中没有相同的球心,试证必有六个球心在同一平面上;且三个球心共线;这六个球心分属于四条线。”在此基础上作这样的引伸: 1)能不能有七个球心共面? 2)15个球心如何分布?     

再发现过程的设计与组织

1.一个重要的课题G·波利亚说:已严格地提出的数学是一门系统的演绎科学,而正在形成过程中的数学是一门实验性的归纳科学,教科书呈现在我们面前的大多数正是严格地提出的数学,它直截了当地给出了发现结果,而隐去了发现的过程,可是正是这种发现的过程可以加深对知识的理解与记忆,特别是可以有效地发展创造性思维能力.因此,如何从数学思维的结果出发,回溯数学思维的过程,就成为数学教师备课活动中的一个重要课题,同时也成为贯彻暴露数学思维过程教学     

基于“问题发现”的类比学习——再认识线段和角

《义务教育数学课程标准(2011年版)》从强调“分析问题、解决问题”到“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”,特别增加了“发现问题、提出问题”.在课堂上如何引导学生发现问题、提出问题,对于学生自身的发展和创新意识的培养很重要.在学习完线段与角的相关知识后,基于线段与角的相似之处,利用学习的通性套路让学生领悟学习的路径与方法,从而能自主学习.通过类比学习,让学生体会数学课堂注重以“问题”为中心,以“问题”促思考,以“问题”促探究,以“问题”促创新.本文借助线段与角的通性,借助类比思想诱导学生发现问题、提出问题,进而解决问题.     

一类求和公式发现过程的再探究

<正>《中学生数学》2017年1月下数苑纵横栏目刊登了《解析一类求和公式的发现过程》一文,其编后语:本文(2),(3),(4),(5)中归纳的一步是不完全归纳,得到的是猜想,因此最后的结果也只是猜想.本文展现了发现1~k+2~k+3~k+…+n~k求和公式的探索过程.至于发现的公式是否正确,尚须用数学归纳法证明.正是这段编后语引发了笔者对这类求和公式推导的再思考:对于未学习数学归纳法的     

程大位故居资料拾遗

今年适我国明代伟大数学家、珠算家及教育家程大位巨《算法统宗》成书４１０周年之际，我于２００２年８月３日专程前往程大位故乡，安徽黄山市屯溪区前园率口渠东５号拜谒了程大位故居，并有幸访问了世居故宅的程大位十一世孙程庆圻同志。了解到有关程大位故宅及墓葬等至今鲜为人知的珍贵史料。鉴于目前研究程大位资料少，而１９８６年９月中日两国学在屯溪召开纪念馆程大位逝世３８０周年学术会议时，会前某些会务事项程氏后裔有未参加，故有关资料仍有缺漏，今依程永圻同志亲自口述，作一番补遗。     

问题的发现与探究

<正>学习了正弦定理内容后,我们懂得:关于已知两边及一边的对角条件情形下解三角形,会因为这条件的不同,解的个数不同,可能有两解、一解或无解等;笔者的老师在这里对解的一般性讨论讲得很清楚,我们听得也十分清晰,具体如下.引例在△ABC中,已知边长a、b,以及a边所对的角A,求解三角形.     

如何引导学生发现问题

全日制义务教育《数学课程标准》第三学段(7—9年级)目标解决问题第一条就是:能结合具体情景发现并提出数学问题,同时明确提出:学生是学习的主体,所有的数学知识只有通过学生自身的再创造活动,才能纳入认知结构中,才可能成为有效的利用得上的知识。     

四面体的一类向量关系拾遗

笔者于文 [1 ]给出了性质 1　P是四面体ABCD内任一点 ,用VA,VB,VC,VD 分别表示体积VP BCD,VP ACD,VP ABD,VP ABC,则VA·PA +VB·PB +VC·PC +VD·PD =0( 1 )性质 2　P是空间一点 (其它条件同上 ) ,若P与A在平面BCD两侧 ,则VA·PA =VB·PB +VC·PC +VD·PD ( 2 )这里的P点 ,说得明白些 ,就是不在四面体ABCD里 ,但在三面角A BCD内的点 .类似的关系式共有四个 .本文的问题是 ,空间的点被四面体所在四个平面分割后 ,除了上述两类区域的点外 ,其它区域内的点与四个顶点具有怎样的向量关系 .为方便读者 ,首先列出…     

网格问题再探讨

《中学生数学》(高中)2005年第2期刊登了《网格不反向路径数的简单算法》一文,给我们解决问题带来了极大的方便．但文中没有对该方法作进一步的推广应用．我读了该文后,结合平时的学习,发现很多问题都可以归结为“网格”问     

探究问题背景发现解题方法

数学教材之中的核心知识点总是高考重点考查的内容,一个核心知识点加上一个好的背景,是一道好题不可缺少的前提条件．了解一道题的出题背景,也是能够成功解决此问题的一个重要的前提．离心率是圆锥曲线核心的知识点,因此也就成为了高考数学出题者常常光顾的地方,对离心率问题的考查,常常要以一些边缘的知识为载体,综合考查离心率的知识．笔者就离心率问题的常见的背景作一些简单的分析和归纳．     

生长中发现 发现中生长——以折叠问题为例

生长数学教学观下的解题活动,是学生与所要解决的问题“互动”的过程,教师要根据问题的结构特征,挖掘问题的本质内涵,对问题进行生长变式.为此,教学中要找准生长点、选好生长路径,用宏观把握、微观刻画来发展学生的“四能”.     

再探等比数列开放性问题

这是一道开放性习题,探究者不乏其数．日前笔者以此为素材,在课外兴趣小组活动中与同学们共同探讨了以下更一般的问题,以丰富同学们的课余生活,陶冶数学情操．     

再探数学问题1803

<数学通报>数学问题1803是: an>0,且3n∑k=1a2k=(2n+1)n∑k=1ak,求an. 这是一道给出数列的递推关系,求通项公式的数学题,求出的结果也很简单:an=n,此题提供者的解答由k=1,2求出a_1,a_2人手,提出猜想,然后用数学归纳法证得a_n=n,从而解决了问题.所用的数学方法、数学思想也都是基本的同时也是重要的.笔者认为,这是一道很好的值得品味的数学题,它所提供的有价值的信息远不止这些,下面将笔者自己学习这道题的成果罗列如下.     

再探等比数列开放性问题

题目已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,试问Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等比数列吗?证明你的结论.这是一道开放性习题,探究者不乏其数.日前笔者以此为素材,在课外兴趣小组活动中与同学们共同探讨了以下更一般的问题,以丰富同学们的课余生活,陶冶数学情操.     

电线杆问题的再讨论

电线杆问题的再讨论黄军华（湖南师大附中４１０００６）一个广为流传的问题是：从材料工地运送电线杆到５００米以外的公路一旁立起来，每隔５０米竖立一根．若卡车每次最多只能运载２０根，要完成运载５０根电线杆并返回材料工地，问运输卡车至少要走多少公里？容易产生...