一元多项式整根的判定

由高中代数第三册第一章的内容可知,若整系数多项式f(x)=a厂+a,:一l了一’+…+alx+吻有因式二一冬(其中p I’定是首项系数a,,的约数,q是互质的整数)那么P ?一定是末项系数内的约数.当户二1时,因式即成为x一q.为了判定x一q是否为f(x)的因式,对于q的可能值要经过检验,这是够麻烦的。下面的整根判定定理可以帮你减轻部分劳动量,特别是在判断当a,=1时f(x)有无有理因式方面有独到的功效. 盆根判定定理:一个整系数的多项式f(x),若f(o)和f(l)均为奇数,则当x不管为任何整数时,f(x)手0,(即多项式f(x)无整根). 证明:设f(x)二a,了+a,一;广一’+…+。x…     

二次函数图象性质的应用点滴

一、利用“性胶”求扭值. 例1求x〔〔0.,l〕s月,/(二),x“+(2一6a)x+sa,的最小位,刀将得到的最小值看作是。的函数g(。).洲出它的图象. 解厂整理:/(二)盖〔,一(3a一1)〕’一6a“+6a一1. 设j(x)在x〔〔。,幻内鼓小值为夕.”势“3一<。,“·:·泣{J·<{.在。(二、1讨、,f(二)是增区数(图l)…g二f(0)=3。“2’)当:、,a一<,,尽},;‘·<:竹寸.口J、二工一3。一1时j(x)最刁、(图2),所以夕=f(3。一l)二一6。“+〔a气l3‘)当s。一J):。JJ。);时,在。《二<,;”:j、,) O是减函数(图3).所以g=l(l)=3。“一助+3二:(。一l)“ l龙{此得 3(。一)2g(a)=一…     

整系数多项式有理根一个新求法的再探讨

设f (x)为整系数多项式,α为有理数,对n个不同的整数t1,…,tn,gα(tk) =f (tk)tk-α都是整数,那么α是f (x)的根的充要条件是f (t) =∑ni=1∏1≤j≤nj≠it-tjti-tjgα(ti) ( t∈Z) .     

关于整系数多項式的因子分解

数学教学1955年第一期刊登了雅可夫金著李伯藩译“寻找不可約因式的一个方法”一文,下簡称文[1]。該文扼要的介紹了雅可夫金創立的分解整系数多項式的一个新方法。这个方法就理論上說是不同于我們所熟知的克洛湼克方法;就实用上說,在被分解多項式的次数及系数均不太大时是具体可行的。因而雅可夫金的方法是一个有价值的新方法。雅可夫金的方法基于下面的一个引理和一个定理: 引理一 設 f(x)=sum from k=0 to n akx~(n-k),φ(x)=sum from‘k=0 to P bkx~(P-k),ψ(x)=sum from k=0 to q ckx~(q-k) (1)是有非負整系数的多項式;如果f(x)=φ(x)ψ(x),那末参項式f(x)系数中最大的絕对值不小于多項式φ(x)和ψ(x)所有系数的絕对值。     

在实数体上讨论二元二次多项式的因式分解

设二元二次多项式f(x,召)=ax“ 2吞xg eg“ Zdx Zey f(a,b,。中至少有一不等于0)则 l0f(x,万)a沪0(或c铸0)有axZ 2(右g d)x c夕2 Ze夕 faf二“一壑丝土自:十‘一鱼吐兰一、’ La八a, ey“ 2 ey f 一 a一了丝丝j’1 占a IJ·t(X l。设各=业并-)’}、。,贝。一‘6“一““,“’ 2     

1980年第四期数学问题

1.已知函数f(劝的定义域是全体实数,对任意的实数二,,二2成立等式:j(Xl) f(‘2)一Zf(兰工护)·厂(芒卫云些),且了(1)=。j(x)不恒等于0.求证(1) (2) (3)f(二)是周期为2二的周期函数f(x)是偶函数成立f(Zx)二2[.l(“)〕“一12.证明含参数t其中黔铸一:奥行三鱼,所表示昨02“2 一一 yd︷r口 一 戈.宁一一r口 程 方 线 直 的五热 一一al一仇一切直线经过同一点的充要条件是212 一一叙一73试证。。53粤 l 。。53弩 cOS3(本题由沈阳杨锦生提出)‘解方程{x(x“ 6夕2)=2401夕(3x“ 2夕“)=17155没“‘>O(f=1.2.二心求证当。》2时 (本题由甘肃天…     

问题与解答

一本期问题‘__1已知某等差数列的S一s二,二斗”,求葱正占。不.二0。2求锐角。的值,使方程劣2一铭co:a十2=O和方程x’一4x‘.:二一2二.有公共根。3一个四位数,若加上195完全平方数,则称这个四位数为’数的个数。5后就成为一个“好数”,求好山东高青一中不查表求证lo若函数f(x)胡称亚提供g:万+10多。万)2.对于任意正数a、bf(a二f(a)(a/b)二f 已知方程 +f(b),求证(a)一(b)满足xZ+1.一十众=器有一个根是吐事上其中幼负数,求k。翔能挤者二申肖继才提撰 7设才 (x+百)(夕+ (言+x)(劣+样的关系?今。,要使下列三式同时成立.”zx,(沙+之)(之+劣)。x…     

十二 综合练习

1.已知z=eoss+isin夕,口([0,二],w=1一分1一之且}w}=l,试确定口的大小. 2.已知函数f(x)二109。(矿一l)(a>o,且a手0,a为常数). (l)求刃x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性; (3)解方程f(2x)=f’(x). 3.已知函数f(x)=109:(x+一).当点(x,夕)在夕=f(x)的图象上运动时,(音,誉)运动所成曲线就是函数夕一不x)的图象. (1)写出函数娜x)的表达式; (2)若娜x)一f(x))O,求x的取值范围; (3)限于(2)中x的取值范围,求娜x)一f(x)的最大值. 4.设xl和掩是方程了一xsin口+sinZa二0的两个实数根.(口为锐角).连接A且召CCI),ACAD.DB. (l)求证:平面ABC工平面AO场…     

问题与解答

(一)本期问题 1已知一个止整数M的四次幂等于某个5位数ABCDE,其中不同的子母不必代表不同的数码,且A+C十E二B+D,求正整数M. 2设a》,/8,求证方舀硕不丙万了‘丁而不万万东二+刁a一(a+,)/3一了J而蕊二万兀飞l 3已知一木无穷数列x,,xZ,劣,,…,x,,(x,年0)在。>3时,满足条件(川刁一心+.二十二茗一,)(心十嘴+.“+心),(x:x:+x:“3+…+二。一,x。)2.求证这无穷数列是等比数列. 大庆市二十八中李世君一提供 ;化简刁厄一干万百~. 5设f(,)是一个整系数多项式,且f(0)与j(l)都是奇数,则f(二)=。不能有整数根. 福建周宁四中叶润才提供 6证明(军1)(4/…     

一个不等式命题

命翻:设x、夕eR,m、:任N且奇偶性相同,占交a十baZ+bZ 2a3则有+竺‘型_干尸22xm+夕m 2x”+夕” 2(x饥斗”+夕用十” 2(A)由七例的证明,a仍+b仍a”」一b”不难看到不等式等号仅当:二,时成立. 证:只需证(A)的等价不等式成立: 2(劣跳十”+y价十”)一(xm+夕,)(x”+夕”))0. 上式左边化简,可改写为 (劣.一鲜m)(劣,一y”))0.(B) (1)当m、,是奇数时 若多》夕,则x勿》梦m,:”)歹几; 若:(夕,则x加<夕m,x”‘夕,. 可知(B)式成立. (2)当解、n是偶数时 令们=Zk,。=21,k、l任N. 若:2),2,则劣m=(:2)“)(,2)七=夕州,仅当M二,n一十n+n、…、、PezV.…十…     

上期课外练习解答

高一年级夕一Zeos了一3sin了一瓜(一雀5 in二+ \丫IJ一甲不了sin(二+创,丁云cos了其中,an。一号·当:最大时,5 in‘二十,,一‘,二+,一借…t·nZ一(晋一。)一。一普·2.’:j(川~tanx中,x铸k二+要(k ez), 乙 且f(一川-一j(劝. tano=tan(2+3一5), tanZ十tan3+tan(一5)=tanZ·tan3·tan(一5), tans=tanZ+tan3+tanZ·tan3·tans.3.奇函数f(劝,二任(一二,0)U(0,+二). 又f(x)在(o,+二)上为减函数, f(x)在(一oo,0)上为减函数. f(3)一O二f(一3)-一f(3)一0. f(川<。的解集为{川一33}. N={m】f[g(夕)〕3}.…     

两三年来三角级数论在国内的情况

总靛及言已号这里专讲三角级数万A。(幻,A。(·)一合一‘·(·)-·一+”一‘n一a。和‘。是名汉。(二)的系数.假如f(二+2二),f(:)〔乙(0,2,),艺A。(:)是f(:)的富理埃级数,那末我们写6[f,二]~艺A,(:).又记刀.(:)~一。,sin,x+西,。o,。x,称色[j,二]~艺刀。(二)是6[f,二]的共扼级数,6‘(f,x)~万nB。(二)是6[f,xl的导级数.一般地说,6[f,x]的r次导数是。·rr,二1一艺(约r,。(二). 、JX/对于周期函数了(劝以及定点x,作‘的偶函数币x(,)一李{f(二+:)+f(二一‘)一:sx} Z和奇函数必二(r)一生{z(二+,)一l(二一,)}(o毛,<,),s二与,无关,又作函数 2 …     

一元多项式的根

对于1’>O,如果了(劣)~‘扩+‘一:扩一’十…十al劣+a0是复系数一元:次多项式,那么方程f(:)二。,即 a·‘,+‘一、‘,一‘+…+a,:+a。=0②①叫做复系数一元二次方程.方程②的根,也称多项式① 的根. 一27一中学数学(湖北)1992.12 类似地,如果j(,)是实系数(或有理系数、整系数等)一元:(、>0)次多项式,那么方程j(幻二O叫做实系数(或有理系数、整系数等)一元:次方程. 关于多项式的根的个数有以下重要定理: l代数墓本定理一元:次多项式在复数集中至少有一个根. :799年伟大的数学家高斯证明了这一重要定理· 2根的个数定理一元二次多项式有且仅有…     

(2n—1)次插值样条的误差分析

县1.函数在两点的插值多项式及其导数的余项满足条件P盆乏己,:(a‘)二F(”,)(a‘),i二o,1;j二o,1,2,…,n一1}一均多月!人(1 .1)其中h=al一a。,v二一1(x)二艺〔F(“,)(a。)f:,+1(v)+F(“’)(a,)夕:,一卜1(v)]hZ’, 7二0兰二粤,xc〔a。,。1],称为尸(二)在两点a。及a,的(2。一‘) h’一’~‘一“’一二J”‘’/J‘、一z‘一’“、、一“人“一火卜“、一”次插值多项式.这里f:,*:(。)及夕:,十,(v)是Zj+1次多项式,它们的定义及系数的算法见〔2〕及〔3〕. 定理1设F(x)任CZ“〔a。,al〕,则存在雪〔(a。,al),使得F(二)=艺[F(2’)(a。)f:,十1(…     

问题与解答

一、本期问题 1求不等式82a昌+65乙,十82:,十4d:+1(加+18a乙+144右c+4cd的解。 2求方程粼牙丁铸翻十万互筋「不二10的实根。 浙江象山岳浦中学顾海润提供 3证明方程(忿召丁co:250一1)tg苦。二(2训万:认舫。一1)tg3扩的所有解是整数。 4证明对任仁n)2,数“二了r军汤不污下六蓄厂是无理数。S已知点P(x,砂在曲线劣,+沪=t上运幼,求便才.+忍了丁x夕一,.的值最小的点。 6设O《t《万,把关于x的方程,一l:东称t+eos:!x+s::z‘o:t=o的较大的根表示成,的函数,并作出图象。 盆庆五中张正贵提供, 二、上期问肠解答 1若f(x+1)=l二一1!,求f(1987)- 解令x+…     

曲线的对称性

本文将讨论曲线的轴对称和中心对称。 一、曲线F(x,妇的对称性 定理1(关于已知点的对称点)已知点尸(x,鲜于,则它(1)关于直线x=n.的对称点为p;(Zm一丫,妇; (2)关于直线ax+占刀+‘=。(乙寺。)的对称点 为P:(a,刀),其中a,口满足方程组摆:_”}一又二义 l瓜‘改卜j{之习一口)/(x一a)·(一a/b)=1;a[(x+a),2〕+西[(夕+夕),2」+‘=0. 图3称点为尸‘(一x,夕); :.a二2口一,, 刀=2/)一刃. 于是点刃3的坐标为P抓二a一芳,2凡一对). 推论已知点尸(x,妇,则它 (1)关于之轴的对 (3)关于点(a,b)的对称点为尸:(Za一x’2乡一夕). 证(1)如图1,过点P作直线x=m的…     

极(最)值问题的若干错解分析

一、忽视条件的相互制约导致错解例lx、夕、二任R+、x+夕+二=1。求3成‘蕊5。 .’.4成9a一‘(15。.,.4落八3)攫15。令十十+令的最小值·分析:不难找到函数广(x)=130(义2一34)错解:,.’二、,、:任R:.’.:+生》2使f(1)==一1 .1。f(2)=一1而f(3)= 5一万.,+达一)2 y 1~.刃-t-—台多乙.相加有(x+升+约+(令十令+令)》6·十十专+誉李5.由x十升十:=1。得故令+令十令的最小值是5这一反例(厂(劝三一1也行)驳斥了上面的解法.此解“病”在当同时取得f(1)、厂(幻制约条件的右端值一1和5时未必是a取得最大和c取得最小(左端也如此).即给定的条件与方程组(…     

三项式xn-x-a的二次不可约因式

设n是正整数,f(x)=xn-x-a,其中a是非零整数. 证明了当n>5时,如果f(x)有首项系数为1的二次整系数不可约因式g(x),则必有n≡2(mod6),a=-1,g(x)=x2-x+1或者n=7,a=±280,g(x)=x2t(±)x+5.     

含有三角函数的一个积分公式

定理:设f(x)在La,a十ZT〕上可积(T>0)甲(x)在〔a,a十T〕上可积,且满足条件:了(Za+一{f(t)己‘+2,一)一,(二)+,(二),贝。有{f(二)‘:- O}T{叫‘)dr{:‘T,“’“’证明:J了(·)‘一{:‘’,(·)‘·十{口+2个f(x)‘:.在右端第二个积分中,令‘=2a+ZT一‘,‘任〔a,a+TJ一则当:二a+T时,t=a+T;二二a+2少时,t=a;又由条件:f(2。+ZT一t)=一f(t)+p(t),因此{:‘’r了(·)‘一{:‘r,‘·,‘二 实用中验证函数满足条件f(Za+ZT一劝二一f(x)+中(x)井不困难,因为我们总可取p(x)二f(Za+ZT一:)+f仁).问题在于甲(:)是否容易积分.而当甲(:)为零,常数或…     

2005年高考数学重庆卷

一、选择题 (l)圆(x+2)2+尹二5关于原点(0,0)对称的 圆的方程为 (A)(x一2)2+尹二5 (B)x2+(夕一2)2=5 (C)(x+2)2+(夕+2)2~5 (D)护+(y+2)2=5 m//a,m//尽 其中,可以判定a与尹平行的条件有 (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 (2) 卫土三 1一i (A)汇 (C)22005 (B)一汇 (D)一22005 (8)若(2x一匀”展开式中含乡项的系数与含 乡项的系数之比为一5,则·等于 (A)4(B)6(C)8(D)10 (9)若动点(二,,)在曲线琴十雾一1(。>。)上变 任口. 化,则护十2夕的最大值为 (3)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在 (一co,。〕上是减函数,且f(2)=O,则使得 f(x)<。的x的取值…