第十二章 复数

吞1友数的概念与表示形式 一、选择惬 1.下列关系式在复数范围内恒成立的是() (^)}:}.二护(B)卜}): (C)卜!》}刻(D)云)卜} 2.下列命题正确的是() (人)实数集与复数集的交集是空集 (B)映射了:,‘(。任R)是实数集R到纯虚数集上的一一映射 (C)若::、勺是一对共扼虚数,则片、那(。任N)仍为一对共扼虚数 (D)一个负数的,次方根(。=Zk 1、k任N)不一定是负数 ,.右图中对应于点尸的复数是:,则复数一专所对应的点是() (A)万(B)N (C)P(D)口协。.。~一擎.e~ 石aroin(eosa),则复数:=.e一自in(一。)的辐角主值是() (A)一a(B)口(C)一8(D)2, 0 二、…     

一道复数轨迹题的解法种种

雀尺一O两点对应的复数分别为乙,2z:+3一4l’若尸点阅才对,2的圆上移动,求。点的轨迹. 娜一:设2::+3一4‘=二+y‘,则2::二(二一s)十(y十幻宕 2.!z:l,=(x一s)全+(少+4).而!z:1=2 .?.(x一3)盔+(z+4):=16 故O点的轨迹是(3,一4)为圆心,4为半径的圆. 梦利用复数模的意义,代换求解. 娜二;设2二:十3一4‘二二十y红z:。。十bl’ 、则多。十Zbi+3一4了二x+yi,由复数相等的充要条件落一二禅忱父芍今{絮抓卜nJ 工J任﹃工︸心‘J.一勺‘X︷y一{吞 平方后,相加得(x+3),+(夕+4)2二:4“ 注利用复数的代数形式,转化为x:.夕的参数方程,消参后即得. 解三:设…     

直线

一、选择题C_少跑了川1.只1.厂若点刀分长针泛方亡你了j-,:这l{勺).则点B卜比分线段一抓所成的:.匕为(l2 、,夕A 了.、!二妇‘点(B)(O,2.((一’)2.(l))一a.1)到点(3,“)的淤离是5.则a .勺了、2﹄、为 位 儿训」 六︺“(A)士5.(B)3.:住线冬十刃 aO土3.(C=l(a>)3:戈一5.(D)5,戈一3、,b>。)的倾粼角。等于().。rC,g全.一a retgb.(,”)汀一。·,g:·(D,井 一“:· 礴.已矢{}l丙点(o,o)、(、,一1)j‘I},’:线。、 。“夕 6二。的即离相等,刀移么,nl丁妹(的仁同实数他的个数力(). (A)1.(B)2.(C)3.(D)4.5.己知直线11与几的外率足方程6劣’ …     

共轭复数性质的应用

两边取共扼复数,得:兰_里一牙一Zu艺封(2)(1)+(2)得:二(l 之 1于二 Z=Z+2 复数z=a+bl’(a,b‘R)和它的共扼复数牙=a一bi,具有下面的性质: 1在复平面中表示z和万的两点关于实轴对称. 22+f二Za为实数; 3:·:一!:}’一lzl’; 4若z二元则2 eR;反之,亦然; 5复数的和、差、积、商的共轨复数,等于共扼复数的和、差、积、商. 解题中充分利用这些性质,不仅迅速简捷,而且巧妙新颖. :’X=2.牙二(一)一(2)得二(工- Zl:1’里)+2=8.2夕 份(z一习+4u :.夕=可:一习十2扩=一琶 例4.设p笋。,实系数方程:’+Zp二十q=o有两个虚数根:,和:2·若以:,和:2为直径…     

一道IMO题的优解及推广

众所周知,柯西不等式为:对非零实数组I‘及实数组,‘(‘”],2,…,。)有 8一1 .1L“)式“尸刀’万气而十兀·全:,全,:、(全一;、,’其中等号成立条件是存在实数k使得,:二七,(￡一1,2,…,。).其证明曾在许多书刊上出现,这里不再重复.由柯西不等式中令:‘二l(‘~l,2,一”)得: 也就是:81):I,2(D(D. l):).将(3)代入知欲证(2)只须证:SD:D,((p. 刀,), (p: 。,)(丝z)t 上。,) 梦一少2(‘,】 DZ,‘1,2(会一金,’·即只需证:补针‘名。.),‘,、n/,n,、、,.,,、.,、、,少2,、.少一n、马L,l上,2二牡火I,I一LIZ户,.气L,l,一王,2产、—L,1飞呻—t…     

轨迹选择题四道

1。平而上动点尸到两定l从刀;、厂:的距离之和为定仇}F‘尸:},则尸点的轨迹足: (A)椭圆,(B)直线F,F:, (C)线段F,F:;(D)FIF:的中垂线. 2.若变复数对茜足{二 J}2一}二一1{’=1,则汽Z’在复、l;-面上友示的曲线是:(:\)双曲线;(·]3)!,〔线;(C)无;.(「))椭}lr)飞1. 3.若变复数对茜足{:一2{一}: 2J泛2、‘3则点Z价复平面_l几表示的曲线是: (‘\)双曲线;(I宝)直线; (乞)双l!!}线右义;(l))双11!i线艺支. 4.“。抛物线夕2=ZP城P>0)的开日反向,.轴及旅以相1司的抛物线j七有几条: (了\)无数;(]3)2;(C)1;(1))要.附:本期“一望而解”答案: 又1…     

巧证一则

求证:方程Zj“·3一普没有实数解.证明在x蕊0时，2’2·3一‘)20·30一‘>普，在二>O时，2二2·3-j一212·(万)一2·>2工2·2一“·一2’2一“’)告>普.方程2x’·3一鲁没有实数解. (责审余炯沛) .，_，_令_~_~_~_，_，_~_~_，_，_，_今_，_~_~_~.洲巧证一则@彭先焰$湖北省广水     

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…     

九、复数

A组 一、选择题(有且仅有一个答案正确): 飞.满足方程广一Zx一3+(9犷一6,+1)!二0的实数对(x.g)表示的点的个数是(). (A)1;(B)2;(C)3声(D)4; 2.复数一5一i的共扼复数的辐角主值是( \ (A)二一aretg去;(B)“+aret只5; (C)二一arctgs;(D)厅+aretg去; 3 .eos夕+污in6二eos(arcsinx)+招in,(aresinx)(口〔R,!x}(l,则份与aresinx的关系是().(A)(B)双曲线子一爷一l的““;双曲线月兴一爷一1的左支;(C)双曲线(x+.q)’ 4(D)双曲线.(x+5)’ 4一爷一;的右支;一扮一,.1。.。知复数二满足(R(z)})l之}石3则复平面上对应的Z点集合构成的图形是((A)(C)…     

“求复平面上点的轨迹”初探

我们将处理复平面上的点轨迹问题,归纳其解法如下,供参考。一、定义法。所谓定义法就是应用实数、复数相等等概念处理点的轨迹问题。例1 已知复数z_1=cosθ isinθ(0≤θ<π),z_2=1 4cos2θ i4sin2θ,若复数z=z_2·z_1~(-1),试求复数z所对应的动点轨迹的普通方程。解:∵z=z_2·z_1~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)·(cosθ isinθ)~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)[cos(-θ) isin(-θ)]=5cosθ i·3sinθ, 设复数z=x yi(x,y∈R),根据复数相等的     

三、数列、数列极限、数学归纳法

一、选择肠1.在等比数列中,若. :二尹十q(,。,:,尹,q任万),公式是((B(D则下列等式成立的是()(A)a。,。一~a,,a.(C)‘一a.=a,一a’(B)“. a.=a, a-(D)。八二‘a-(^);一去一(一,)或;(e)刁 音(一,)或月; 合(一1)‘一音(一,,7.若。.二‘,一合)(l一专)一(1一工),则lim、等于( )(A)。(B)l(e)冬(D)不能确定 乙 8.用数学归纳法证明:(、十l)(,十2卜二(、 ,‘’、2二]·3·5·一(2,一1).(,任N)时,从’“,应增添的因式是()(Zk l)(Zk 2)k十l2无十2k十1、户,BD了、了、、户r、,矛AC了、了百、 2.某工厂在1986年底制定计划,要使2000年的总产值在原…     

复数

一、选择肠1.设:为任一虚数,则((A)一要(B)擎(e)粤(o)琴 乙乙乙乙 (A){尸l、卜!2、:2互不相等 (B)卜2}=}:12并:2 (e)}扩{护}:}’=“, (D)!:,}=1:!2三:2 2.集合M~仁日;十l}二l,:任引,入二{:!】: 。}=}:一。},:任C},则M门.\’是()。 (A)(0,一2云}(B)哎0,2} (C){0,2落}(D){0,一2} 3.复数:,二l一2‘,:2~l 。,;3=一1 3。的辐角主值分别为0:,0:,03,则0,十0,十口3的值为()。 4.若。任万,且(: l)2.十(:一l)’一O,则;为()。 (A)恒为纯虚数(B)恒为实数 (C)任意复数(D)纯虚数或0 5.若:,与:,互为共扼虚数,则满足条件};一:.}2一1;一;2!’=}:,一;2}…     

没有理由的取值范围

题:实数q在什么范围内,方程cosZ二+sin、=q有实数解? 解:原方程可化为Zsin’x一sin二+(q一1)二0,则设方程有两解二工、x:,且=5 In万x .Sln生2,又一1《5 in工,·sin工:(1, ,,q一1/,一1/_/。 一1盗之一万二一之溉上一一二/一上又女叹,Q之之Q. 乙一,‘_,二、\‘、,9又乙二1一8(q一1)>0一乡q《共, 一-·孟一’-一‘、8‘·、“的取位范围为一1‘q‘}, 然而,我们不难发现q二一洲、「, 方程251,、2,一siox一3二o二二>有实解51:1.:=一1,即此时笙在上解巾遗漏r!继而,1丁以发现当一2镇。(;日寸,原题L户方‘呈者。有实解,但;、个结果却是没有上述推…     

上海1991年一道高考试题之我见

1991年上海高考数学试题的第25题(1)是: 设复数:的幅角为O(0成e<们,且满足等式}z一云卜1.求复数砂一八的幅角(用含O的式子表示)其中‘为虚数单位;+‘9‘·(2“一百一)故,A·;(一‘,一2”一夸幸Zk二(k任:).从而A,g(:2一:i)二A,g;+A:g一“+““一晋一+2‘“一3“一署+“‘“ 试题解答者只给了此题一种解法,且运算最大.笔者结合命题的几何意义,给出一个较为简便的解法.另外,笔者以为,命题在:=O时失误.·(名一坛)(k任名) 若:二0,则扩一:￡一o,而复数o之幅角为任意实数,故Arg(扩一成)无法用含z(此时为0)的幅角(此时按已知为印,,)内任意实数)O…     

1991年上海市初三数学竞赛试题及解答

一、坡空题1.实数:使二 1尸,」一一~勺,纵lJ 1x--t-一- 2.若。、b是二次方程护一:十g~0的两个根,则a3 b, 3(a3b ab,) 6(a3b, a,b,)的值是 3.设,为实数,方程护一5x ,~0有一个根的相反数是方程护 二 5一0的一个根,则二- 4.用「。〕表示不超过实数。的最大整数·(。}~。一〔。〕表示。的小数部分,则方程〔护」十「护〕十〔‘〕~{:}一l的解是_· 5.某班级有50位学生,共订解放日报28份,文汇报23份,青年报20份,每人最多订两份报纸,且是不相同的,则至多有_人订 一43一中学数学(湖北)1992.4两份报纸. 二如图,月刀‘。与川哈万是两个全等的矩形,对应…     

用判别式判定两曲线相交

.目。为何实数时,曲线(x一。):+沙,=9与曲线替+专一,有“点’ 捧设两曲线有交点。方程组(I,){(x一a)“+少,‘9二l有实数解<=》5二,一zsax+901一45‘o①有实根消y楼卜令二4二(2 sa):一咬xs(90,一45))0 德今3。。,》一225② 因不等式②恒成立.故方程①恒有实报,从而方程组(I)恒有实数解.所f!石论a为何实数,两曲线恒汀交点. 以上结论对吗?设a=7时,作出[\1形发现:两曲线不交!解答错了,错在哪里? (答案在本期找).’‘错任哪里刀跳答案:.方程①有实根是方程组(I)有实数解的必要条件,解答者误作充分条件. 正确解答如下,由了十芍一‘纬一、“ 二-…     

复数(选择题五道)

1.设:一a(l+落),其。>1.令。;一:+三,,‘~:·三,则有 (A),),(B)二>。 (C),(、(D),<: 2.0〔(O,的,则复数1一coso+妞n0的辐角主值是(A)晋+号(c)誓+号(B)晋一号(”,誓一号3.复数:一。os晋+“in晋经·次乘方后得三=cOS万一双n号,则·的最小正整数值为(A)13(B)7(C)5(D)24.复数:满足关系式:十卜!~2十卜则名为 3LA少一下~十名 任3丁一‘(B(D(C) 3一万一‘3一石一十忿〕 5.正三角形月脚中,顶点B和c分另」对应复数一2i和2,且三角形的中心在原点,则顶点月对应的复数为 (A)一2十2‘(B)2一2茜 (C)l一‘(D)一l+i附:本期“望”与“答”二次曲线 …     

勾股数的一种新的构成方法

法是I打两fI1已知的勾股数产生与复数尸胆i仑密切相关的. 一组新的勾股数的方例如,考虑勾股数护户 :了+42二矛和5十一l公二l汉另夕11独竹lKj手J股数即,盛丁11羚凌11卜: ({肠一4】少一十(3,l艺一卡!·几卜一5止十1才, 招十从矛二65 勾股数为:门3,56,65). 价末说、若口丰厂二‘和d“+尸’二fZ ,厂了、栩了均加‘件数)则 认牛/,、飞甲一十、)‘_厂 或‘,止了牛片,1十‘,‘,+l))沪二。丫、又‘了d之一几2“b法】十l.川十(“云十Zab价十扩d梦)=厂户,(“d一I,衬红+(。】十寿动’=叮才则组勾股数为(舀l)一加*一卜b‘.f). 麟芳7’琦,二一25和8,十…     

初三数学竞赛训练题(四)

一、坡空皿 1.使2’ 1能被3整除的自然数:为 :.、二(了6十;万一丫6一刁万)- 5.设月,、月:、…、A.是凸,边形浅灰…A.的内角,且1叨nAI 睡in月2十…十I,inA.二O,那么二~ 二设,一1961;3是整数,且合<·<2,则·-一 ‘.设D是等腰△月刀‘底边配延长线上一点,朋=淞=3,AD~5,那么BD·cD= :已知O月的圆心A在00上,00半径R二5,OA半径,=2,00的弦玲切OA于T,则AP·叼的值是 二、进择题 1.不等式护一2>!二}的解集是() (^)一2<:<2(B)二<一2或x>2 (c)全体实数 (D)某条长为2了万的线段(不包括端点). 2.若一og:〔109:(log.a)〕二一093[109.(1082乙)〕=…     

关于Macintyre猜测

声t.去, 71日设间隙幂级数f(劝二习。.扩·为一整函数,这里a.(n=1,2…)为复数,{入,}为一递增的非负整数序列.P6行a川得到:如果f(劝具有有穷级且不为常数,满足间隙条件:丛,co(n二向,则f闭无渐近路径.当f(z)的级为无穷时,该结论不再成立. ,二1一__._二,事实上,当{从}满足乙京=OO时,Maci“tyre【“,构造了整函数f(力二乙‘砂’以正实、为渐近路径·但是M二‘。t:二〔“,猜测,当‘(Z,满足‘Fej“r’!句隙条件:艺六n(109”)2十’(1)(。为某乙正数)之下…