涉及凸n边形内部一点的一个不等式

设 P是凸 n边形 A1A2 … An 内一点 ,ri 为P至边 Ai Ai+ 1的距离 ,wi是∠ Ai PAi+ 1=2αi的角平分线 ,Ri=PAi,ti =Ri Ri+ 1cosαi,i=1 ,2 ,… ,n,An+ 1=A1.文献 [1 ]中 ,H.C.L enhard证明了不等式 :　　　　∑ni=1Ri ≥ secπn .∑ni=1ti ( 1 )文献 [2 ]中 ,笔者建立了 (其中 s为凸 n边形的半周长 )∑ni=1Ri2 - ∑ni=1ti2 ≥ s2 ( 2 )并且根据不等式 ( 1 ) ,( 2 )证明了 ,当 secπn ≥ k≥ cosπn 时 ,有∑ni=1Ri - k∑ni=1ti ≥1 - kcosπnsin πns ( 3)本文应用不等式 ( 1 ) ,( 2 )建立类似于不等式( 3)的一个结论 .定理　设 P…     

关于凸n边形的两个不等式

设P为凸n边形A1A2 …An内一点 ,ri为P至边AiAi+1的距离 ,wi是∠AiPAi+1=2αi的角平分线 ,Ri=PAi,ti=RiRi+1cosαi,i= 1,2 ,… ,n ,An+1=A1.1953年 ,L .FejesT幃ｔｈ曾猜测有不等式　　 ∑ni=1Ri≥secπn· ∑ni=1ri (1)对n =3 ,(1)式化为Erd¨os-Mordell不等式 .1961年 ,H .C .Lenhard对每个自然数n≥ 3证明 (1)式 ,并推出较强的不等式∑ni=1Ri ≥secπn· ∑ni=1wi (2 )对n =3 ,(2 )式化为Barrow不等式 .其实文献 [1]中 ,H .C .Lenhard建立了更强的不等式　　　∑ni=1Ri ≥sec πn· ∑ni=1ti (3 )显然ti≥wi≥ri,所以 (3 )强…     

联系三个n维单形体积的不等式

设∑_A,∑_B,∑_C是n维欧氏空间E~n(n≥3)中三个n维单形,它们的棱长分别是a_i,b_i,c_i(i=1,2,…,c~2_(n+1)),体积分别是V_A,V_B,V_C。本文证明了下列定理。设实数α≥0,β≤an(n≥3)且α,β不全为零。(1)如果θ_1,θ_2,θ_3∈[0,1],那末(1)并且(1)中等号成立当且仅当Σ_A,Σ_B,Σ_C都是正则单形,(2)当θ_1∈(1,2],θ_2,θ_3∈(0,1]且Σ_A的的每一个三角形侧面都是锐角三角形时,不等式(1)仍成立。     

数学问题解答

20 0 4年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 1 6　正方形A1 A2 A3A4的中心为O ,边长为 2a ,在以O为圆心 ,半径为R的圆上任取一点P ,设P到A1 A2 ,A2 A3,A3A4,A4A1 的距离分别为d1 ,d2 ,d3,d4,求证 :dn1 +dn2 +dn3+dn4≤ 2 [(a+ R2 ) n+ (a- R2 ) n](n∈N)当且仅当n=1 ,2 ,3时取等号证明　建立如图所示的直角坐标系 ,并设P(Rcosθ,Rsinθ) ,则有d1 =a +Rsinθ ,d3=a-Rsinθ,d2 =a -Rcosθ,d4=a+Rcosθ若用 [n2 ]表示 n2 的整数部分 ,则由二项式定理得dn1 +dn2 +dn3 +dn4 =(a+Rsinθ) n + (a-Rsinθ) n + (a +Rcosθ) n …     

空间n边形中的射影定理和余弦定理

三角形中的射影定理、余弦定理和正弦定理,文[1]已(于1954年)推证到凸n边形。文[2]则应用不同的方法(复数方法)对文[1]的结论进行了再论证。文[3]将前两个定理推证到n面体。本文拟应用向量代数中的一个最基本的等式推证,较易得到空间n边形中的射影定理和余弦定理。     

2002年全国普通高校招生统一考试(新教材)数学(理工农医类)试题及参考解答

一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1)曲线 x =cosθy =sinθ(θ为参数 )上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 (　　 ) .　 (A) 12 　　 (B) 22 　　 (C) 1　　 (D) 2(2 )复数 (12 32 i) 3的值是 (　　 ) .　 (A) - i　　 (B) i (C) - 1(D) 1(3)已知 m,n为异面直线 ,m 平面α,n 平面β,α∩β =l,则 l(　　 ) .　 (A)与 m,n都相交　 (B)与 m,n中至少一条相交　 (C)与 m,n都不相交　 (D)至多与 m,n中的一条相交(4)不等式 (1 x) (1- | x| ) >0的解集是(…     

也谈椭圆外切n边形面积的最小值

文 [1]通过引理 1、引理 2虽然给出了椭圆外切n边形面积的最小值 ,但没有给出取到最小值时 ,外切n边形的几何性质及作图方法 .本文通过对圆外切n边形面积最小值的探讨 ,回答了上述问题 .引理　外切于圆的所有n边形中 ,正n边形的面积最小 ,且最小值为rntan πn(n≥ 3) .图 1　圆外切n边形证　如图 1,设n边形P1P2 …Pn 为半径为r的外切n边形 ,A1,A2 ,… ,An 为切点 ,则由圆的切线性质可知 ,n边形P1P2 …Pn 的面积为S =2S△A1OP1+ 2S△A2 OP2+… + 2S△AnOPn=r·tan∠A1OP1+r·tan∠A2 OP2 +… +r·tan∠AnOPn.因为n≥ 3,所以∠Ai…     

参数曲线所围图形的面积

众所周知,直角坐标曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围曲边梯形的面积A=integral from n=a to b(f(x)dx),其中a≤b,f(x)在[a,b]上连续,f(x)≥0;极坐标曲线γ=γ(θ)与射线θ=a,θ=β所围扇形的面积A=(1/2)integral from n=αto β(γ~2(θ)dθ),其中α≤β,γ(θ)在[α,β]上连续.     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷)数学(理工农医类)

一、本大题共8小题,共40分.1.已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角2.函数f(x)=3x(0相似文献   

Hermite-Fejer Interpolation With Moved End Points

Let Z_n={z_(kn)=cosθ_(kn):θ_(kn)=(2k-1)/(2n)π,k=1,2…,n}be the zeros of T_n(x)=cosnθ(x=cosθ,θ∈[0,π]).For 0≤ε≤1,let α_n=:α_n(ε)=:cos(1-ε)/(2n)π,β_n=:β_n(ε)=:cos(2n-1+ε)/(2n)π=-α_n,X_n~(1)=(Z_n-{z_(1z)})∪{α_n},X_n~(2)=(Zn-{z_(nn)})∪{β_n},X_n~(3)=(Z_n-{z_(1n),z_(nn)})∪{α_n,β_n},Y_n~(1)=Z_n∪{α_n},Y_n~(2)=Z_n∪{β_n},Y_n~(3)=Z_n∪{α_nβ_n}.     

地球上两地距离的求法

设A、B为地球表面上两点,点A的纬度数和经度数分别为a1和θ1,点B的纬度数和经度数分别为a2和θ2,地球的半径为R,则A、B两点的球面距离为Rarccos { cosα1cosα2[θ1-(-1)mθ2] (-1)nsinα1sinα2}. 当A、B两点都在东半球或都在西半球时,m=0,当A、B两点中一个点在东半球,另一个点在西半球时,m=1.当A、B两点都在南半球或都在北半球时,n=0,当A、B两点中一个点在南半球,另一个点在北半球时,n=1.     

一道试题的背景研究及其推广

定理如果一个虚数的三次方是实数,那么,这个虚数必有形式Aw或Aw2,其中,w是1的立方虚根,A∈R且A≠0.证法1设z=r(cosθ isinθ),r∈R且r≠0,sinθ≠0,ω=-12 32i=cos23π i sin2π3,则z3=r3(cos3θ i sin3θ)∈R,∴sin3θ=0.3θ=kπ,θ=kπ3,k∈Z.1)当k=6n(n∈Z,下同)时,θ=2nπ,     

由一道解三角形问题想到的

一、问题的提出 问题 是否存在三边长为连续自然数的三角形,使得最大角是最小角的两倍? 这是解三角形中的一道常规问题,学生普遍利用下列解法中的一种. 二、问题的求解 解法一:设三边长分别为n,n+1,n+2,分别对应角A,B,C,(其中n∈N*), 由余弦定理得cosA=(n+2)2+(n+2)2-n2/2(n+1)(n+2)=n+5/2(n+2),cosC=n2+(n+1)2-(n+2)2/2(n+1)n=n-3/2n, 若存在最大角是最小角的两倍,即C=2A,得cosC=cos2A=2cos2 A-1,代入整理得2n3-n2-25n-12=0,即(n-4)(2n2 +7n+3)=0,解得n=4. 但是,有的学生在得到方程2n3-n2-25n-12=0之后,由于这是关于n的三次方程,无法求解.     

2005年春季高考数学北京卷及参考答案

一、选择题:(1)i-2的共轭复数是A.2+i B.2-iC.-2+iD.-2-i(2)函数f(x)=|log2x|的图象是(3)有如下三个命题:①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线;②垂直于同一平面的两条直线是平行直线;③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直.其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.3(4)如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么A.T=2,θ=2πB.T=1,θ=πC.T=2,θ=πD.T=1,θ=2π(5)设abc≠0,“ac>0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件(6)…     

抛物线的切点多边形和切线多边形重心的一个定理及应用

过抛物线上任意三点 A1 ,A2 ,A3 ,分别作切线 ,三条切线围成一个△ B1 B2 B3 叫做切线三角形 ,而△ A1 A2 A3 叫切点三角形 .同样过抛物线上任意四点 A1 ,A2 ,A3 ,A4,分别作切线 ,四条切线围成一个凸四边形叫切线四边形 ,同样 A1 A2 A3 A4叫切点四边形 .不难发现 ,过抛物线上任意五点作五条切线 ,它们相交成 10个点 ,已不能围成凸五边形 ,看来 n≥ 5时 ,切点 n边形已不再有切线 n边形了 .本文将研究切点 n( =3 ,4 )边形与此时切线 n边形的重心的性质 ,然后给出一个应用 .定理 1　如图 1,设 A1 与 A2 是抛物线 y2= 2 px上任意两点 ,…     

一种方式分组随机模型中估计方差分量的最小风险设计

§1.引言一种方式分组随机模型:y_(ij)=β α_i ε_(ij),i=1,…,n,j=1,…,m_i,(1.1)其中 ε_(ij)(i=1,…,n,j=1,…,m_i)是相互独立的随机误差,α_i(i=1,…,n)是独立的随机变量.Eα_i=Eε_(ij)=0,varε_(ij)=θ_1>0,varα_i=θ_2≥0,cov(α_i,ε_(ij))=0.β、θ_1、θ_2是未知参数,β∈R~1,(θ_1,θ_2)~T∈Θ(?){θ_1>0,θ_2≥0}.     

小区间上的素变数三角和估计

设A(n)为von Mangoldt函数且实数θ=95-83~(1/2)/121.当xθ+ε≤y≤x时,本文对于所有的α∈[0,1]给出了指数和S2(x,y;α)=∑x0,估计式∑x相似文献   

关于积的三个三角恒等式的推广

一易证下列三个恒等式成立: (1)sinθsin(θ+π/ 3)sin(θ+2π/ 3) =sin3θ/4; (2)cosθcos(θ+π/3)cos(θ+2π/3) =-1/4cos3θ; (3)tgθtg(θ+π/3)tg(θ+2π/3) =-tg3θ。本文把上述三个恒等式予以推广,其一般形式为: (Ⅰ) multiply form j=1 to n sin(θ+(j-1)/nπ)=sinnθ/2~(n-1); (Ⅱ) multiply form j=1 to n cos(θ+(j-1)/nπ) =(-1)~(n-2) sinnθ/2~(n/1) (n为偶数), (-1)~(n-1)~2 cosnθ/2~(n-1)(n为奇数);     

一类离心率范围问题的统一结论

1　题目已知椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,F1,F2 是焦点 ,如果C上存在一点P ,使∠F1PF2 =α(0° <α<180°) ,则椭圆离心率的范围是sin α2 ≤e <1.证明　方法 1:设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,∠PF2 F1=θ,则∠PF1F2 =180° - (α +θ) .在△F1PF2 中 ,根据正弦定理得 :msinθ=nsin[180° - (α +θ) ]=2csinα,根据比例性质及诱导公式得m +nsinθ +sin(α +θ) =2csinα.因m +n =2a ,故 2asinθ +sin(α +θ) =2csinα,所以e =ca =sinαsinθ +sin(α +θ)=2sinα·cos α22sin α2 +θcos α2=sin α2sin(α2 +θ)≥sin α2 ,当…     

由一道高考题得出的一个结论及其应用

高考题是值得研究的,它往往可以代表一类题,也可以提炼出实用的结论.2009年江西省数学高考中有这样一道值得深入研究的好题.1.一道高考题题目(2009年江西理科卷填空压轴题)设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1,对于下列四个命题:A:M中所有直线均过一个定点;B:存在定点P不在M中的任意一条直线上;C:对于任意的整数n(n≥3),存在正n边形,