求函数f(x,y)的二重极限的常用方法

在多元函数微分学的学习中,求函数f(x,y)的二重极限是学生普遍感到困难的问题之一.原因在于二重极限定义中动点p(x,y)趋向于点p_0(x_(?)un 1/un=0,y_0)的方式是任意的,因而平面上点p趋向于p_0的方式有无穷多,比起一元函数的极限只有左、右两个单侧极限来说,要复杂得多.     

关于复变函数的微分中值定理及其证明

<正> 复变函数论是数学分析在复数域中的进一步发展和推广,它的许多概念和定理与数学分析中的理论相类似.复变函数的极限、连续以及导数与微分的定义.形式上和数学分析中一元函数的相应定义一致.比如,在数学分析的微分学中,对一元函数的导数是这样定义的:设函数y=f(x)在点x_0的某一邻域内有定义(包括x_0点),当自变量x在x_0处有增量(?)时,相应地函数有增量△y=f(x_0+△x)-f(z),当△x→0时,比值的极限存在,称此极限为函数y=f(x)在x_0处的导数.记为f’(x).复变函数的导数定义为:设函数w=f(z)在     

p—函数的最大值问题

以■记全体标准p-函数,设固定p_0∈■且0相似文献   

也谈求导次序的可交换问题

摆脱限制,力求更灵活的运算,从来就是数学上的大问题。对二元函数f(x,y)来说,如果等式成立,则意味着:在求函数f(x,y)在点p_0(x_0,y_0)的二阶偏导数时,不受求导次序的限制;或     

关于复变函数的微分中值定理及其证明

<正> 复变函数论是数学分析在复数域中的进一步发展和推广,它的许多概念和定理与数学分析中的理论相类似。复变函数的极限、连续以及导数与微分的定义,形式上和数学分析中一元函数的相应定义一致。比如,在数学分析的微分学中,对一元函数的导数是这样定义的:设函数y=f(x)在点x_0的某一邻域内有定义(包括x_0点),当自变量x在x_0处有增量Δ_x时,相应地函数有增量Δ_y=f(x_0+Δx)-f(x),当Δ_x→0时,比值的极限     

关于三角函数週期的求法

一、週期函数的定义有一个不为0的实数p对于函数f(x)使得等式f(x)=f(x+p)成立,则函数f(x)称为週期函数,而常数p称为此函数的週期。由週期函数的定义可以直接推得:若p是函数f(x)的週期,則数2p,3p,…,—p,     

北京师范大学1983年攻读硕士学位研究生入学考试试题

<正> 一、P_0(x_0,y_0)是右半平面(x>0)内任意一点,试证方程组(?)能在 P_(?)的(充分小的)邻域内确定连续可微的反函数.二、设 f(x)在(0,1)内有定义,且函数 e~xf(x)与 e~(-f(x))在(0,1)内都是单调不减的.试证:f(x)在(0,1)内连续.三、若每个函数 u_n(x)(n=1,2,…)都在[a,b]连续,(?)u_n(x)在(a,b)一致收敛.求证:sum from n=1 to ∞ u_n(x)在[a,b]一致连续.     

高中数学综合训练六 直线与圆锥曲线

1 已知两点P_1(-2, -2)、P_2(2,0),(1)在直线p_1p_2上找一点p,使|pp_1|为|p_1p_2|的1/4(2)在p_1p_2的延长线上找一点Q,使得有|P_2Q|:|p_1Q|=1:2 2 已知平行四边形ABCD中,三顶点坐标分别是(-2,-1)、(0,2)、(2,-1),求第四顶点坐标。 3 已知直角三角形ABC,斜边BC两端点坐标为B(m,a)、C(m,b),求此三角重心的轨迹。 4 试求到两坐标轴距离之差恒为2的点的轨迹方程,并作出轨迹图形。     

广义Cantor函数的不可微点集的维数

设K■R为由满足强分离条件的相似压缩映射族{h_k(x)=a_kx+b_k,k=1,…,N}所生成的自相似集,此处N≥2.对一个概率向量p=(p_1,…p_N),设γ_p为对应的支撑在K上的自相似测度.在单位线段上定义广义Cantor函数f(x)=γ_p([0,x]∩K),这里假设.设数ξ和q+β(q)分别由■和■,β'(q)=-1所确定.本文研究集合K中使得函数f(x)的导数不存在的点集,使得函数f(x)的导数为零的点集,及使得函数f(x)的导数为无穷的点集的维数,本文结果表明上述定义的两个数可以给出这些维数的一个很好的刻画.     

“1984”趣题

在1984年新年之际,我们列举几道和1984这个数值有关的趣味数学题为中学师生和数学爱好者春节期间助兴。 1.某四位数m,它一共有14个正约数,其中质数约数的总和等于33,求m。解:设m=P_1~(a1)、P_2~(a2)…P_k~(ak),其中p_1,P_2,…,P_k是m的质数约数,a1、a2、…、a_k是自然数。由于m的正约数的个数是14,即 (a_1+1)(a_2+1)…(a_k+1)=14=2×7。∴k=1或2。又因P_1+P_2+…+P_k=33=2+31=2+3+5+23=…,故k≥2。∴k=2。从而p_1=2,P_2=31。a_1=1或6;a_2=6或1。但由于m是一个四位数,∴m=26·31=1984。 2.在自然数集合上定义函数f(n),设f(1)=     

对高中数学极值一节教学的建议

人民教育出版社中学数学室编著的《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 )数学》第三册选修Ⅱ (以下简称 (选修Ⅱ )有 3.8函数的极值一节 ,此节分极大值和极小值的定义、判别方法与求可导函数极值的步骤 (以下简称定义、判别、步骤 )三层叙述 .细读教科书 ,可以体会到 :极值定义的前提是“函数f(x)在点x0 处及其附近有定义” ;判别的前提是“函数f(x)在点x0 处及其附近有定义且连续 ,在点x0 附近可导” ;而步骤的前提是“函数f(x)在点x0 处及其附近有定义、连续且可导” .定义、判别、步骤所指对象的集合之间有图 1的包含关系 :图 1　　　…     

一类特殊的有限循环环

证明了一类n阶(n=P_1P_2…p_m,p_i(i=1,2,…,m)互异为素数)环是有限循环环,并讨论了他们的结构及相关性质,最后给出了这类n阶环有零因子或有子域的充要条件.主要结果:P_1P_2…P_m阶环共有2^m个,它们是(p_(1m个,它们是(p_(1^k_1) p_(2k_1) p_(2^k_2)…p_(mk_2)…p_(m^k_m)Z)/(p_(1k_m)Z)/(p_(1^k_1+1)p_(2k_1+1)p_(2^k_2+1)…p_(mk_2+1)…p_(m^k_m+1)Z),其中k_i=0或1,1≤i≤m;阶是n=P_1P_2…p_m的环R可唯一分解为m个素数阶理想的直和,即R=〈α〉=(?);含pi(1≤i≤m)阶子域的P_1P_2…P_m阶环共有2k_m+1)Z),其中k_i=0或1,1≤i≤m;阶是n=P_1P_2…p_m的环R可唯一分解为m个素数阶理想的直和,即R=〈α〉=(?);含pi(1≤i≤m)阶子域的P_1P_2…P_m阶环共有2^(m-1)个,它们是p_(1(m-1)个,它们是p_(1^k_1) p_(2k_1) p_(2^k_2)…p_(mk_2)…p_(m^k_m)Z)/(p_(1k_m)Z)/(p_(1^k_1+1)p_(2k_1+1)p_(2^k_2+1)…p_(mk_2+1)…p_(m^k_m+1)Z),其.中k_i=0,k_j=0或1,1≤j≤m,j≠i.     

一类利用函数偶的最佳逼近

设X(?)[a,b]及K(?)C(X)为n维线性子空间,固定一个f∈C(X),记K~+={p∈K:p≥f},K~-={p∈K:p≤f}及F={(p_1,p_2):p_1∈K~+,p_2∈K~-}。在C(X)中引进一种范数‖·‖,我们可以提出如下的极小问题:寻找(p_1,p_2)∈F,使它满足条件     

一类亚纯星形函数充要条件和若干性质

定义1.f∈S(p)当且仅当f在D内除在z=p(0相似文献   

富里埃级数及其共轭级数的|N,p_n|求和

<正> 1.设 f(x)是[—π,π]上的 L 可积函数,具有周期2π,它的富里埃级数是■(1.1)的共轭级数是■又设{P_n}是一数列,P_n≡P_0+p_1+…+p_n;P-1≡p-1≡0.(1.3)写着     

拟凸条件下变分问题解的正则性

本文研究变分问题(1)■(u:Ω)=∫_Ωf(x,u,Du)dx的极小函数的正则性,其中Ω■R~n是有界开域,u:Ω→R-~N,Du:Ω→R(nN),f: ×R~N×R(nN)→R。定义称函数f满足严格拟凸条件,是指存在常数v>0,使得对任意的(x_0,u_0,p_0)∈Ω×R~N×R(nN)和φ∈C~∞_0(Ω,R~N),都有■(2)其中|Ω|是Ω的Lebesgue测度。定理设u∈H~(1,2)(Ω,R~N)是泛函f的极小函数,即对任意的φ∈H_0~(1,2)(Ω,R~N),都有■而f(x,u,p)满足下列假设 (H1) f满足严格拟凸性,即(2)成立, (H2) f关于p的二阶导数存在,且存在常数L>0,使得■对任意的(x,u,p)∈Ω×R~N×R~(nN),都有■ (3)|f_(pp)(x,u,p)|≤L_0 (H3) 存在[0,∞]上的连续、有界、凹的函数∞(t),使得(4)■(5)■(6)■且ω(t)≤At~α,其中A,α是正常数。那么存在常数δ∈(0,1)和开集Ω_0Ω,使得|Ω-Ω_0|=0,Du∈C~6(Ω_0,R(nN))。     

关于函数在一点附近单调的条件问题

讨论函数f(x)的单调性是导数应用的重要部分,我们现有的微积分教材皆有如下定理: 定理1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导,且f′(x)>0(或f′(x)<0),则f(x)在(a,b)内为增加函数(或减少函数)。利用拉格朗日中值定理来证明定理1是显然的,人人能懂,但是若问,f′(x_0)>0(或f′(x_0)<0)时,f(x)在点x_0处是否单调函数,人们理解就不一致了。为了回答这一问题,看下边定理: 定理2.设函数f(x)在区间(a,b)内一点x_0处可导,且f′(x_0)>0(或f′(x_0)<0),则f(x)在点x_0处为增加函数(或减少函数)。证明:因f(x)在点x_0处可导,即极限     

方向导数与偏导数

<正> 方向导数有其重要的实际应用。本文仅以二元函数z=f(x,y)为例,论述方向导数与偏导数的一些关系问题.需要说明的是,文中用到的符号(?z/?x~+)_(P_0)、(?Z/?x)_(P_0)、依次表示Z=f(x,y)在点     

分段函数的求导方法

分段函数f(x)的求导步骤可归结为:一、如果函数在各段开区间内可导,则可求出它在各开区间内的导数.二、判断分界点x_0处的可导性:1.若函数在x_0点不连续,则它在x_0点不可导.2.若函数在x_0点连续,且在x_0的邻域内(x_0除外)可导,则(1)当(?)f′(x)存在,设为A时,函数f(x)在x_0点可导,且f′(x_0)=A;     

Fourier级数及其导级数的逼近

设p_m≥0↓,sum from k=0 to n(p_n)=P_m,n=0,l,…,p_0=P_0=1,P_n→∞(n→∞)若N_n=1/P_n sum from k=0 ton(p_(n,k)S_k→S(n t。0→∞)),则说{S_k}关于算子(N,p_n)收敛于S.设f(x)∈L_(?),S_n(f,x)为