巧用三边比,求直角三角形的边长

<正>"在直角三角形中,已知一条边和一个角,求另外两条边长"是一个常见的问题,主要考查同学们对三角函数这一知识点的熟练程度,当然也有一些同学会先利用三角函数求出另一条边长再用勾股定理来求第三条边长.笔者在教学过程中,常使用"三边比例"来解答,现     

一种求解直角三角形边长问题的公式

<正>众所周知,根据勾股定理,在已知直角三角形两条边的情况下,很容易求解出第三条边.那么如果只知道直角三角形一条边的长度(通常为最短边),且该直角三角形的三条边均为自然数,应如何求解另外两条边的长度呢?我介绍一种很有效的求解公式,设已知的最短边为a,未知的     

关于等比数列定义的商榷

高中数学课程标准教材[1]仍沿用过去教材[2]中关于等比数列的定义:"如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)."笔者建议把该概念定义改为:如果一个数列从第2项起,每一项都是其前一项的同一常数倍,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.……     

关于等比数列定义的探讨

本文将讨论有关等比数列的几个关系式的等价性,从而深入地探讨等比数列的种种定义,同时兼论一些数学书籍和资料中关于等比数列问题解答上的失误。(一) 在不少数学书籍、刊物和资料中,常见到有这样的结论:     

边长成等差数列的三角形的性质及应用

边长成等差数列的三角形有很强的边角关系,本文将给出它的一系列性质,并举例说明其应用。设△ABC的三边a、b、c成等差数列,则有     

关于等比数列一个结论的商榷

全日制普通高级中学教材 (试验修订本 (必修 ) ,人民教育出版社编 ,以下简称新教材 )《数学》第一册(上 )Ｐ133练习第 4题 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证Ｓ7,Ｓ14 -Ｓ7,Ｓ2 1-Ｓ14 成等比数列 .设ｋ∈Ｎ+,Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ成等比数列吗 ?由等比数列前ｎ项和的定义及通项公式 ,很容易证明Ｓ7,Ｓ14 -Ｓ7,Ｓ2 1-Ｓ14 成等比数列 .教学参考书上指出 :可类似地证明Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ成等比数列 .我们认为 ,对等比数列而言 ,Ｓ7,Ｓ14 -Ｓ7,Ｓ2 1-Ｓ14 成等比数列 ,但Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ不…     

关于三角形边长的几个不等式

涉及三角形常见几何元素的不等式,一般都可化为关于边长ａ、ｂ、ｃ的不等式　ｆ（ａ,ｂ,ｃ）≥０．（）关于三角形边长的不等式是三角形不等式中最基本、最常见的．本文将建立仅含三角形边长的若干不等式．以“∑”表示循环和,以ｆ（１,１,１）、ｆ（０,１,１）及ｆ（２,１,１）分别表示正三角形及两种退化三角形．另外文中省略诸不等式等号成立条件的讨论．以下的证明均采用比较法．文［１］中,我们证明了在锐角三角形中有　　∑１（ｂ＋ｃ）（ｂ２＋ｃ２）≤３４ａｂｃ．（１）从文［１］中的证明过程中可看出,三角形中的最…     

等比数列中等距离三项成等差数列的充要条件

普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》第61页A组第6题： 已知S n是公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6是等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.由这道习题,可以得到等比数列{a n}中三项成等差数列的一个性质：     

等比数列中等距离三项成等差数列的充要条件

<正>普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》第61页A组第6题:已知S n是公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6是等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.由这道习题,可以得到等比数列{a n}中三项成等差数列的一个性质:设等比数列{a n}的公比q≠1,其前n项     

关于圆锥曲线与等比数列的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线与等差数列的一个性质,本文给出圆锥曲线与等比数列的一个性质.图1定理1图定理1设椭圆C1:xa22 yb22=1(a>b>0),双曲线C2:mx22-ny22=1(m>0,n>0),过原点O引射线分别交C1,C2于A,B两点,P为线段AB上的一点,则|OA|,|OP|,|OB|成等比数列的充要条件是P点的轨迹为C3:(ax22 yb22)(mx22-ny22)=1.证设直线AB的参数方程为:x=tcosθ,y=tsinθ,其中θ(0≤θ<π)为直线AB的倾斜角,t为参数,|t|的几何意义为原点O到直线上相应点的距离.设A,B,P三点的坐标分别为:A(t1cosθ,t1sinθ),B(t2cosθ,t2sinθ),P(tcosθ,tsinθ).因A点在…     

关于正项等比数列方幂的不等式

文[1 ]给出了正项等差数列方幂的若干不等式,本文将建立正项等比数列方幂一些类似的不等式.为简便起见,以下约定数列{an}是正项等比数列,公比为q (q >0 ) ,前n项和为Sn,m ,p ,n ,k均为正整数,且m

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关于圆锥曲线与等比数列的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线与等差数列的一个性质，本文给出圆锥曲线与等比数列的一个性质。     

直角三角形

直角三角形四川师范大学邓安邦一、基础知识有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。直角三角形除具有一般三角形的性质外，还有以下特殊性质：１、在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２２、在△ＡＢＣ中，若∠Ｃ＝９０°，则∠Ａ＝３０°ＡＢ＝２ＢＣ３...     

关于等比数列求和方法与公式的推导

一个有趣的故事传说。古印度宰相达依尔发明了国际象棋。国王舍罕下令要奖赏他。舍罕对达依尔说:“金银财宝一切随你挑,你需要什么呢?”达依尔回答说:“我别的什么都不要,亲爱的国王陛下,您只要在我发明的棋盘上,第一个格子放一粒麦子,第二个格子放二粒麦子,第三个格子放四粒,以后按这个比例每一格增加一倍,     

直角三角形的最小内接定形直角三角形

本文的起源是《数学通报》问题栏问题1526.问题1526△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,D、E、F分别是AB、AC、BC上的点,若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期刊出了问题提供者利用三角法给出的解答,但该解答未给出△DEF面积最小时     

关于三角形角平分线与边长的一个不等式

关于三角形角平分线与边长的一个不等式３３１１１３华东交通大学刘健１引言１９９４年，杨学校“’与王振、陈计”’先后用不同的方法证明了涉及三角形内角平分线的不等式：Ｗ。ＷａＷｃ＿３Ｈ——＋Ｍ＋＝３ＭＭ，（ｌ）其中。、ｂ、ｃ与Ｗ．、Ｗａ、Ｗｅ分别为任意面Ａ...     

关于圆锥曲线与等比数列的一个性质的补充

文[1]给出了圆锥曲线与等比数列的一个性质.作为文[1]的补充,本文再给出三个类似的结论.定理1设椭圆C1:x2a2 2yb2=1和椭圆C2:x2m2 2yn2=1,过原点O引射线分别交C1,C2于A,B两点,P为线段AB上的一点,则|OA|,|OP|,|OB|成等比数列的充要条件是P点的轨迹方程C3为:(x2a2 2yb2)(2xm2 2yn     

关于圆锥曲线与等比数列的一个性质的补充

文[1]给出了圆锥曲线与等比数列的一个性质． 作为文[1]的补充，本文再给出三个类似的结论．     

关于三角形边长与内切圆半径的两个不等式

安振平老师在文[1]中将Carulan不等式加强为: 设a,b,c和r分别是三角形的三边长与内切圆半径,则 a2b(a-6)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥8r2(a-b)2读后深受启发,我们对该不等式进行了研究,又得到两个结果,现整理如下:     

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定理1　设非常数数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=Aa2n Ban C,则数列{an}是等差数列的充要条件是:A≠0,AC≤116,B=12.证明　(1)充分性:∵　Sn=Aa2n Ban C,∴　Sn-1=Aa2n-1 Ban-1 C(n≥2),∴　an=A(a2n-a2n-1) B(an-an-1).又　　　　B=12,Aa2n-12an-(Aa2n-1 12an-1)=0,∴　Δ=14 4A(Aa2n-1 12an-1)=(2Aan-1 12)2,∴　an=12±(2Aan-1 12)22A=12±(2Aan-1 12)2A,∴　an=an-1 12A,或an=-an-1.若an=-an-1,则　an=(-1)n 1a1,Sn=a1[1-(-1)n]1-(-1)=an(-1)-n-1[1-(-1)n]1-(-1)=an.(-1)-n-1 12.此时A=0,B=(-1)-n-1 12,C=0与已知矛盾.所以an…