函数y=(Aa~x B)/(Ca~x D)对称中心的探索

笔者发现并证明了函数y=Aax BCax D(AD-BC≠0,CD≠0)图像的对称中心为(loga|DC|,AD BC2CD),现将探究的全过程表述如下.1问题的起源高中数学中有二个常见的例题:例1证明函数f(x)=2x 12x-1为奇函数.例2已知f(x)=12x 2,求f(-4) f(-3) … f(5) f(6)的值.从例1可以得出函数f(x)=2x 1     

三次函数零点个数问题的分类讨论标准

<正>形如f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)的函数称为三次函数.高中阶段需掌握三次函数性质如下:性质1 f(x)恒过定点(0,d).性质2若a>0,当x→+∞时,f(x)=+∞;当x→-∞时,f(x)=-∞.若a<0,当x→+∞时,f(x)=-∞;当x→-∞时,f(x)=+∞.说明:性质1虽然显而易见,却往往是学生画图时经常忽略的前提条件.性质2则是三次函数的无穷大性质,要求图像始终穿过x轴     

导函数与原函数对称性的联系

文[1]对三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d对称中心的研究中,同时也涉及到了它的导函数f′(x)=3ax2 2bx c的对称性.但是没有对一般的导函数与原函数的对称关系展开讨论,本文将对此展开进一步的探究.首先,我们来探究,原函数对称时,导函数的对称性如何?若函数f(x)关于x=a对称且可导,则f(x)=f(2a-x).根据复合函数导数的性质易得:f′(x)=-f′(2a-x),所以导函数f(′x)关于点(a,0)对称.同理可得:若函数f(x)关于点(h,k)对称且可导,则导函数f′(x)关于直线x=h对称.因此,我们得到如下结论.定理1若函数f(x)关于x=a对称且可导,则导函数f′(x)关于点(a,0)对称.…     

不动点的性质及应用

本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略,权当对教材的补充.一、函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解(1)代数意义:若方程f(x)=x有实根x0,则y=f(x)有不动点x0.(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根据情况进行讨论,同时结合图形来求解有关不动点的问题.二、函数不动点的性质性质1:函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),-1不动点.证明:由f(x0)=x0,可得f-1(x0)=x0,所以x0是y=f-1(x)的不动点.性质2:定义在R的…     

一次与三次函数对称性及其应用

<正>初等函数的性质及其应用在高考命题中占有重要地位,研究并拓展其性质对提高学生认知函数能力适应新高考具有重要意义.1.一元一次函数f(x)=ax+b(a≠0)的拓展性质性质1一元一次函数f(x)=ax+b(a≠0)图像上任一点都是其对称中心.性质2与一元一次函数f(x)=ax+b(a≠0)图像垂直的直线都是其对称轴.例1定义在R上的函数f(x)的图像关     

抽象函数不“抽象”

<正>在高一函数教学中,经常会遇到令学生头疼的抽象函数的性质探究问题,如"函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(3)成立,判断f(x)的奇偶性".高一学生以前很少接触到未知解析式的"抽象函数",他们首先会想:这是哪个函数?它的解析式是什么?学生可能会猜f(x)是初中学的正比例函数,更有学生设f(x)=kx,但"你怎么知道这个函数就是f(x)=kx?"其实这个问题本来就不容易,更何况对于高一刚接触抽象函数的学生呢!这个"抽象函数"的解涉及到高等数学.在近年的一些大学自主招生考试中频繁出现这种"抽象函     

单调函数的一个性质及应用

由单调函数的定义,我发现单调函数有如下性质:若函数f(x)在区间D上是增函数(减函数),则对于任意x1、x2∈D,恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))≥0(≤0),或x1f(x1)+x2f(x2)≥(≤)x1f(x2)+x2f(x1).其中当且仅当x1=x2时取等号.这一性质在学习中往往被忽视.我发现,通过构造单调函数,利用此性质可巧妙解决许多问题,且解法简     

关于周期函数的几个重要性质

近几年的高考中函数性质是考查的重点内容之一,而对周期函数的考查则是与其他性质结合起来考查的,但在平时的教学中我发现同学们对这一类题目的解决有一定的困难,为克服这一困难,下面给出周期函数的几个重要性质,希望能给同学们解题带来帮助.性质1设f(x)是定义在R上的函数,且图象关于直线x=a及x=b(a≠b)对称,则函数f(x)是以2b-2a为周期的函数.特别地,若f(x)是定义在R上的偶函数,图象关于直线x=a(a≠0)对称,则函数f(x)是以2a为周期的周期函数.证明∵f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称,∴f(2a-x)=f(x),f(2b-x)=f(x),∴f(2b-2a x)=f(2b-(2a-…     

探究促生成,老题出新意

在解题教学中,对于很多熟悉的问题,教师囿于个人的教学经验,往往没有充分发挥问题的价值,实在可惜!如果能在教学中深入思考问题的其它解法,探索问题的背景,并对问题进行探究、拓展,不仅有利于培养思维的深刻性,而且能激发学生探究问题的乐趣,以下结合两个案例来说明.案例1一道二次函数问题的探究.已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)对于x∈R恒成立,求f(x)的表达     

我为高考设计题目

题55已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在实数x_0,使得f(x_0+1)=f(x_0)+f(1)成立.(1)函数f(x)=1/x是否属于集合M?说明理由;(2)证明:函数f(x)=2~x+x~2∈M;(3)设函数f(x)=1g a/(x~2+1)∈M,求a的取值范围.解(1)假设f(x)∈M,则存在x_0,使得     

用具体函数思考抽象性质

函数是中学数学的重要内容.没有给出具体解析式的函数,由于它将具体函数的性质高度抽象化,因此使不少同学望而生畏,束手无策.解这类题要求我们思维灵活,通过联想具体函数的有关性质,探索解题方法. 一、线性函数 例1 已知函数f(x)的定义域是R,对任意x1,x2∈R都有f(x1十x2)=f(x1) f(x2),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=a,试判断在区间[-3,3]上,f(x)是否有最大值或最小值,如果有,求出最大值或最小值,如果没有,说明理由. 分析虽然求函数最值方法很多,但本题是函数的抽象,只能利用函数的单调性求解,由条件易联想教材中的函数f(x)=kx,进而证明f(x)在R上是递减求解.     

函数f(x)=k~ax pa~(-x) q的对称中心

文[1]给出了函数f(x)=Cax DAax B对称中心,文[2]又给出了函数g(x)=lgcx dax b的对称中心,这两个函数同时具备中心对称的性质,是孤立的还是有某种联系呢?以它们最特殊的两个函数f(x)=ax 1ax-1,g(x)=lgx 1x-1为例,容易发现这两个互为反函数,可见f(x)=Cax DAax B的反函数的形如g(x     

再探函数f(a+x)与f(a-x)的图像性质

文[1]研究了两种不同情况:一种是函数f(a+x)与函数f(a-x)的图像关于直线对称的问题;另一种是函数f(x)对一切x∈R满足f(a+x)=f(a-x)都成立,函数f(x)图像关于直线对称的问题.那么它们是不是也存在着关于某点坐标对称呢?经过一番的思考与探究,得到如下的性质.     

一道习题的探究性学习

题目:设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意x1、x2∈D且x1+x2=2a,恒有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图像的对称中心.研究并利用函数f(x)=x3-3x2-sin(πx)对称中心,求f(1/2012)+f(2/2012)+…+f(4022/2012)+f(4023/2012)的值. 本题属于“学习迁移型”试题,高三复习课后学习、思考与研究的一次探究作业题,其关键要求出函数y=f(x)图像的对称中心.在展示研究成果时,有些学生独特的解法与探究精神让笔者惊讶不已,也使笔者对函数图像的对称中心探求方法有了新认识和新思考,经整理、修改展示如下.     

导数问题常见错误辨析

导数是高中数学的基础知识,是高中考查的重点内容之一,以导数为工具研究函数的性质又是高考中的热点,由于对导数的概念、性质认识不清而导致的错误也时有发生,由于导数公式比较多,学生也容易运用不当,故学生在解决一些函数的导数问题时经常出现一些错误,现在将学生出错误的原因辨析如下:1.由于导数的概念缺乏理解致错例1(2003年黄冈)若f′(x0)=2,limk→0f(x0-k)-f(x0)2k等于()A.-1B.-2C.1D.21错误解法:f′(x0)=lki→m0f(x0-k2)k-f(x0)=-2,故选B.辨析:上述错误解法未能正确理解导数的概念中的Δy应该是相应于Δx的增量进行求值.正确解法:∵…     

对两种观点正误的分析

1　问题的提出在复合函数的有关问题中,对一类问题的解法经常有两种不同的观点.下面先看一些数学读物中的有关问题的解法.例1　已知函数f(x2-3)=lgx2x2-4,求f(x)的定义域(文[1])解　先求f(x)的表达式令x2-3=t,∵x2x2-4>0,∴x<-2或x>2.则x2=t 3,此时由抛物线的性质知t>1.∴f(t)=lgt 3t-1,即f(x)=lgx 3x-1此时f(x)的定义域就是t的取值范围.故f(x)的定义域为{x|x>1}例2　已知函数y=f(1x 1)的定义域为〔-23,-12〕,求函数f(x)的定义域(文〔2〕)解　∵-23≤x≤-12∴13≤x 1≤12∴3≥1x 1≥2∴函数f(x)的定义域为〔2,3〕例3　(1986年广东省高考题)…     

求函数解析式的几种方法

已知一个函数适合某种性质或某种关系,求这个函数的解析式,对这个问题学生感到困难。现就这个问题介绍几种求函数解析式的方法: 一、定义法例1 已知f(1+x/x)=1+x~2/x+1/x,求f(x)。解:∵f(1+x/x)=1+x~2/x~2+1/x=(x~2+2x+1)-2x/x~2+1/x=(x+1/x)~2-x+1/x+1     

介绍一个函数方程

定义二元函数f(x,y)=xy 1,容易验证它满足性质: (1)f(x,0)=1; (2)f(f(x,y),z)=f(z,xy) z. 事实上,f(f(x,y),z)=f(x,y)·z 1=(xy 1)z 1=(z·xy 1) z=f(z,xy) z.     

一道导数压轴题的解法探究与拓展

<正>题目已知函数f(x)=e~x+ax~2,g(x)=x+blnx.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线相交于点(0,1).(1)求a,b的值;(2)求函数g(x)的最小值;(3)证明:当x>0时,f(x)+xg(x)≥(e-1)x+1.这是本市期中考试的导数压轴题,第(3)问是一个函数不等式证明问题,难度较大.经过一番探究,笔者发现两种重构函数的简单解法,现整理成文,与大家分享.     

构造函数证明平面几何问题

众所周知,单调函数的一个最基本性质:若f(z)是区间I上的单调函数X1,X2∈I,且f(x1)=f(x2),则x1=x2.下面我们利用这个性质来证明<数学通报>2007年8期数学问题第1687题,进而再证明著名的施泰纳-莱默斯定理.