椭圆焦点弦中的新结论

1·引言文[1]介绍了椭圆x2a2 by22=1焦点三角形的若干性质,读后很受启发,笔者研究了焦点弦的若干性质·2·几个结论定理1设P是椭圆x2a2 by22=1上任意一点,F1、F2是两个焦点,弦PP1、PP2分别过焦点F1、F2,过P1、P2的切线交于P′,则P′点的轨迹方程为:x2a2 (ab22 y2c2)=1·证明设P(acosθ,bsinθ),F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2,P1(图x1,1y1),P2(x2,y2)·直线PP1方程为y=acbossiθnθ c(x c),b2x2 a2y2=a2b2,b2(acosθ c)2x2 a2b2sin2θ(x c)2=a2b2(acosθ c)2,x2项的系数为b2(a2sin2θ a2cos2θ 2accosθ c2)=b2(a2 c2 2accosθ)·x项的…     

辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

关于椭圆的弦被定点所分之比的范围

文 [1 ]探讨了椭圆的弦被定点所分之比的范围问题 ,本文给出此问题的明确结论 .定理　设点 P(x0 ,y0 )不在椭圆 x2a2 y2b2= 1上 ,即 m =x20a2 y20b2 ≠ 1 ,过 P引直线与椭圆相交于 A、B两点 ,则λ=APPB的取值范围是X ={ 1 }　　　　　　　　 m =0 ;[1 - m1 m,1 m1 - m],　 0 1 .证明　设 A(acosθ,bsinθ)为椭圆上任一点 (0≤θ <2π) ,直线 AP与椭圆的另一交点为 B(x′,y′) (仅当 AP与椭圆相切时 B与 A重合 ) ,则λ =APPB=x0 - acosθx′- x0=y0 - bsinθy′- y0(1 )显然λ≠…     

椭圆面积的一种求法

椭圆面积通常是用定积分来计算的,本文介绍一种方法,只要掌握中学的极限知识就能看懂。设椭圆的方程为 x=acosθ y=bsiuθ (0 ≤θ<2π)参数θ称为离心角。(如下图) 把椭圆周分为n份,其分点B=A_0,A_1,A_2,…,A_n=B的离心角θ_k成等差数列0,2π/n,4π/n,…,2π。其公差为d=2π/n。那么三角形OA_kA_(k+1)的面积为     

椭圆、双曲线焦点与切线的一个关联结论

定理椭圆(或双曲线)两焦点到其任意一条切线的距离的乘积为定值.图1证明不妨设椭圆方程为x2a2 y2b2=1(a>b>0),如图1,左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),点P(acosθ,bsinθ)(其中0≤θ<2π)为椭圆上任意一点,则过点P的切线l的方程为cosθax sinθby=1,即bcosθ.x asinθ.y-ab=0     

圆锥曲线间的一种轨迹相关性及其几何特征

读罢《数学通报》1997· 2期廉万朝先生《椭圆、双曲线的一个性质及其相关性》一文 ,颇受启发 .笔者另辟蹊径 ,对共顶点的圆锥曲线探讨出另一种特殊的相关性及其“轨迹互变”的几何特征 .定理 1　若 A1 A2 是圆x2 y2 =a2 ( a>0 )在 x轴上的直径 ,P1 P2 是与 A1 A2 垂直的弦 ,则直线 A1 P1 与A2 P2 的交点 P的轨迹为 :x2 -y2 =a2 .证明　如图 ( 1) ,设 P1 ( acosθ,asinθ) ,则 P2 ( acosθ,-asinθ)直线 A1 P1 :y=asinθacosθ a( x a) 1直线 A2 P2 :y=-asinθacosθ-a( x-a) 21× 2消去 θ得 P点的轨迹方程为x2 -y2 =a2 .可见 ,P…     

对一道例题的更正

本刊 2 0 0 4年第 6期《利用单位圆解三角函数问题》中例 3如下 :设θ∈ [0 ,2π) ,若cotθ 相似文献   

“求复平面上点的轨迹”初探

我们将处理复平面上的点轨迹问题,归纳其解法如下,供参考。一、定义法。所谓定义法就是应用实数、复数相等等概念处理点的轨迹问题。例1 已知复数z_1=cosθ isinθ(0≤θ<π),z_2=1 4cos2θ i4sin2θ,若复数z=z_2·z_1~(-1),试求复数z所对应的动点轨迹的普通方程。解:∵z=z_2·z_1~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)·(cosθ isinθ)~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)[cos(-θ) isin(-θ)]=5cosθ i·3sinθ, 设复数z=x yi(x,y∈R),根据复数相等的     

一道试题的背景研究及其推广

定理如果一个虚数的三次方是实数,那么,这个虚数必有形式Aw或Aw2,其中,w是1的立方虚根,A∈R且A≠0.证法1设z=r(cosθ isinθ),r∈R且r≠0,sinθ≠0,ω=-12 32i=cos23π i sin2π3,则z3=r3(cos3θ i sin3θ)∈R,∴sin3θ=0.3θ=kπ,θ=kπ3,k∈Z.1)当k=6n(n∈Z,下同)时,θ=2nπ,     

争鸣

问题　　问题6 7　　设实数m ,n ,x ,y满足m2+n2 =a ,x2 +y2 =b ,求mx +ny的最大值.观点1　∵mx +ny≤m2 +x22 + n2 +y22=(m2 +n2 ) + (x2 +y2 )2 =a +b2 ,∴(mx +ny) max=a +b2 .观点2　由已知,设m =acosθ,n =asinθ,θ∈[0 ,2π) ,x =bcosφ,y =bsinφ,φ∈[0 ,2π) ,则mx +ny =abcosθcosφ+absinθsinφ=abcos(θ- φ)≤ab ,当且仅当θ=φ时取等号.∴(mx +ny) max=ab .观点3　由观点2 ,得mx +ny≤ab ,又ab≤a +b2 ,∴mx +ny≤a +b2 ,当且仅当θ=φ且a =b时取等号.∴(mx +ny) max=a +b2 .到底谁对谁错,还是题目本身就有错?问题6 8　人教…     

对新题征展(31)第3题的订正

题　已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 - i|的最大值 .解法 1　设 z =cosθ isinθ,其中θ∈[0 ,2π) ,| z - i| =| cosθ i( sinθ - 1 ) |= cos2 θ ( sinθ - 1 ) 2 =2 ( 1 - sinθ)= 2 [1 - cos( π2 -θ) ]=2 | sin( π4 - θ2 ) || z - 12 32 i|= | ( cosθ - 12 ) i( sinθ 32 ) |= ( cosθ - 12 ) 2 ( sinθ 32 ) 2= 2 2 sin(θ - π6 )=2 [1 cos( 2π3-θ) ]=2 .2 cos2 ( π3- θ2 )=2 | cos( π3- θ2 ) | .则　 | z - i| .| z - 12 32 i|=4 | sin( π4 - θ2 ) .cos( π3- θ2 ) |=…     

巧解直角型的过道问题

在（人教版）浙江省普通高中新课程数学作业本中有这样一个问题：如图1，宽为a的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，问另一走廊的宽度至少是多少？     

利用二直线重合的条件解三角题

二直线重合的条件在解几中已有广泛的应用,下面举几个三角方面的例子: 例1 消去θ acosθ+bsinθ=c, acos3θ+bsin3θ=c. 解:设直线ax+by-c=0 ①显然,点(cosθ,sinθ)、(coc3θ,sin3θ)在此直线上,又过这二点的直线方程可写成 (y-sinθ)/(x-cosθ)=(sinθ-sin3θ)/(cosθ-cos3θ),即cos2θ·x+sin2θ·y-cosθ=0 ②由于①、②为同一直线故可得a/cos2θ=b/sin2θ=c/cosθ,∴a~2/cos~22θ=b~/sin~22θ=c~2/cos~2θ,∴(a~2+b~2-2c~2)~2=a~2(a~2+b~2).     

圆锥曲线上四点共圆的充要条件的行列式证明

本文是[1]的继续.在[1]中,我们利用四阶行列式的特征证明了下面的定理. 定理 设Ai(acosθi,bsinθi)(i=1,2,3,4;0≤θi<2π)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(其中a≠b)上互异四点,则四点共圆的充要条件是θ1+θ2+θ3+θ4=2π,4π,6π.     

新题征展(26)

A　题组新编1 .已知函数 f ( x) =3ax 1 - 2 a,( 1 )若在区间 [- 1 ,1 ]上存在 x0 使得f ( x0 ) =0 ,则 a∈ ;( 2 )若在区间 [- 1 ,1 )上 f( x)的图象在x轴的下方 ,则 a∈ ;( 3)若 f ( x)的图象与椭圆 x29 y24 =1恒有公共点 ,则 a∈ .2 .已知函数 f ( x) =2 sin( 3x 4θ) .( 1 )若 f ( x)的图象关于点 ( 2 ,0 )对称 ,则θ = ;( 2 )若 f ( x)的图象关于直线 x =2对称 ,则θ = ;( 3)若 f ( x)在区间 [π6 ,π4 ]上单调递增 ,则θ的取值范围是 .3.已知△ ABC,给出下列条件 :1 cos2 A cos2 B cos2 C =34;2 tan ( A - B) .cos C =0 …     

例谈用三角代换解题

在数学解题中 ,妙用m2 =m2 ( sin2θ cos2θ)巧作代换 ,可使复杂问题简单化 ,获得简捷优美的解法 ,从而提高学生解题的灵活性 ,培养学生思维的创造性 .下面兹举几例供参考 .1　解不等式例 1　解不等式3- x - x 1 >12 .(第四届 IMO试题 )简解　因为( 3- x) 2 ( x 1 ) 2 =4 ,可令　 3- x =2 sinθ,x 1 =2 cosθ,　θ∈ [0 ,π2 ].则原不等式化为　 2 sinθ - 2 cosθ >12 ,∴　 2 sinθ >2 cosθ 12 ( * )由　θ∈ [0 ,π2 ]可知 2 cosθ 12 >0 ,( * )式两边平方并整理可得32 cos2θ 8cosθ - 1 5<0 ,解得 0≤ cosθ <31 - …     

利用单位圆解三角函数问题

有些三角函数问题 ,若借助单位圆求解 ,往往使问题得到巧妙解决 .下面举例说明 .1　比较大小例 1　设θ为第二象限角 ,则必有(　　 )(A)tan θ2 >cotθ2 .(B)tan θ2 cos θ2 .(D)sin θ2 cot θ2 ,故选 (A) .图 1　例 1图2　求值例 2　设θ ,β∈ [0 ,2π) ,若sinθ +sinβ =14 ,c…     

一道高考复数试题的变式研究

1999年全国高考第20题:设复数ｚ=3ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ.求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ值.下面以本题为原型进行变式研究.变式1　设复数ｚ=ａｃｏｓθ ｉｂｓｉｎθ(ａｂ为常数且ａ>ｂ>0).求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ的值.解　?..     

直线与椭圆位置关系的一个性质定理及其应用

定理　若直线l:Ax +By +C =0 (A2 +B2 ≠ 0 )与椭圆C :(x -x0 ) 2a2 + ( y - y0 ) 2b2 =1有公共点 ,则有(Aa) 2 + (Bb) 2 ≥ (Ax0 +By0 +C) 2 .证　由(x -x0 ) 2a2 + ( y - y0 ) 2b2 =1 ,可令x =x0 +acosθ,y =y0 +bsinθ ,代入Ax +By +C =0 (A2 +B2 ≠ 0 ) ,得A(x0 +acosθ) +B( y0 +bsinθ) +C =0 .整理得Aacosθ +Bbsinθ =- (Ax0 +By0 +C) .即 (Aa) 2 + (Bb) 2 sin(θ + φ) =- (Ax0 +By0 +C) (其中 φ为辅助角 ) .又 |sin(θ+ φ) |≤ 1 ,∴| - (Ax0 +By0 +C) |(Aa) 2 + (Bb) 2 ≤ 1 .即 (Aa) 2 + (Bb) 2 ≥ (Ax0 +By0…     

对一道"新题征展"题的再思考及推广

笔者仔细的研读了文[1],不禁为杜老师的巧夺天工惊叹不已!更为“新题征展”栏目猜中高考题而喝彩!此题目与07年安徽省高考数学文科18题相互辉映,促使笔者顿生灵感,给出以下两个定理供读者参考.定理1如果抛物线y2=2px(p>0)及定点,P(a,0)(a>0)、两弦AC、BD垂直相交于P点,如图,那么(SADPCB)min=4pa,(SADPCB)max不存在.证明设∠APx=θ,0<θ<π2,则直线lAC的参数方程为x=a tcosθ,y=tsinθ.代入y2=2px(p>0),得到,t2sin2θ-2ptcosθ-2pa=0.解得t1=pcosθ p2scinos22θθ 2pasin2θ,t2=pcosθ-p2scinos22θθ 2pasin2θ,(其中t1、t2分别表…