Eisenstein判别法的应用（2）

本文把我在数学通报1988年第2期Eisenstein判别法的应用(1)(原文将(1)误印成※)中的定理Ⅱ加以推广。     

“Eisenstein判别法的应用”一文的注记

文[1]对Eisenstein判别法的应用范围进行了讨论,对二次不可约多项式得到了非常完整的结果。对一般的n次整系数不可约多项式f(x)作变换x=y+k后能否用Eisenstein判别法来判定也作了一些有益的探讨. 文[1]同时提出了疑问,“是否对任何有理     

整系数多项式在整数环上不可约性的探讨

本文在艾森斯坦因判别法的基础上，对整系数多项式的次高项系数进行了讨论，得到了整系数多项式在整数环上不可约的一个新的判别法。     

一类整系数多项式在整数环上不可约性的判定

本文通过对整系数多项式系数的讨论，得到了关于一类次数大于五的整系数多项式在整数环上是否可约的一个判别法。     

Eisenstein判别法一种新的推广及应用

着力推广Eisenstein判别法,得到有关整系数多项式不可约的几个新的判别法,并应用这些新的判别法有效地判定一些不能用Eisenstein判别法判定的有理数域上的不可约多项式,及其有理根的存在性.     

对“Eisenstein判别法的应用（2）”一文中所承认的一个结论的商榷

在整系数不可约多项式中,有一类不可约多项式f_1(x),它们不能直接应用Eisenstein判别法来判别;一般教科书中都指出,这时可适当选取整数α、β,令x=αy+β,使g(y)=f_1(αy+β)能用Eisenstein判别法来判别。也有另一类不可约多项式(用S来表示这一类多项式)     

关于多项式不可约性的定理

本给出两个定理及两个推论，将在有理数域上判别一个整系数多项式的不可约性的Eisenstein定理及[2]中给出的另一个定理统一起来，使之可以互相转化。     

再论整数环上多项式的不可约性的判别法

本研究整系数多项式的不可约因式，给出了低次不可约多项式的判别的一种方法和一些不可约问题的处理方法。     

再谈Eisenstein判别法的推广

文 [1 ]对Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法作出了有益的推广 ,并给出了如下定理 :设 ｆ(ｘ) =ａｎｘｎ ａｎ -1ｘｎ -1 … ａ1ｘ ａ0 是一个整系数多项式 ,ｋ为某一自然数 ,且 1≤ｋ≤ｎ ,若存在素数 ｐ ,使得 :1 ) ｐ ａｎ;2 ) ｐ |ａｋ -1,ｐ |ａｋ -2 ,… ,ｐ|ａ0 ;3) ｐ2 ａ0 ,那么 ｆ(ｘ)在有理数域上有一个次数不小于ｋ的不可约因式 .该定理有效地解决了一些多项式在有理数域上的可约性判别 .但有较大的局限性 .本文将这一结论作进一步推广 .命题 1　设 ｆ(ｘ) =ａｎｘｎ ａｎ -1ｘｎ -1 … ａ1ｘ ａ0 是一个整系数多项式 ,ｍ <ｋ≤…     

关于有理数域Q上多项式f（x）与f（x^m）的Galois群的阶

摘要：确定有理数域Q上多项式f(x)的Galois群的阶是一件非常有意义的事情．本文把文献[1]中当m为奇数，多项式_厂(x)的Galois群的阶确定f(x^m)的Galois群的阶的方法，推广到了m为偶时，对f(x^m)的条件作进一步限制后，得到相同的结论．同时给出了m=2时，对f(x^2)的条件削弱后的相应结论．     

On a Class of Number Fields of Eisenstein Type

In this paper the author determine the factorization of p and the number of p-th subfields of the splitting field K of the irreducible binomial xp ?m(m is p-th powerfree and p | m) and obtain that all p-th subfields of K have power integral bases and the same discriminant.     

The Kernel of the Eisenstein Ideal

Let N be a prime number, and let J₀(N) be the Jacobian of the modular curve X₀(N). Let T denote the endomorphism ring of J₀(N). In a seminal 1977 article, B. Mazur introduced and studied an important ideal I⊆T, the Eisenstein ideal. In this paper we give an explicit construction of the kernel J₀(N)[I] of this ideal (the set of points in J₀(N) that are annihilated by all elements of I). We use this construction to determine the action of the group Gal(Q/Q) on J₀(N)[I]. Our results were previously known in the special case where N−1 is not divisible by 16.     

素数p在Q（6√u）中的素理想分解问题

利用局部域的方法,研究素数p在有理数域的6次根扩张中的素理想分解问题,并完全确定了素数p在Q（6√u）中分解所可能有的形式（pα︱︱u）.为进一步研究素数p在Q（2l√u）中（l为素数）的分解提供了途径.     

实数若干性质的证明及其应用

本文介绍实数的阿基米德性、稠密性等性质的证明及其应用,同时也推广了已有文献的相关结论.     

三次矩阵方程的解的判定

给定A∈Mn(F),g(x)=x3+ax2+bx+c∈F[x],本文讨论矩阵方程g(X)=A的解的存在性问题.在Li′s研究的基础上,当f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)时,我们给出g(X)=A有解的充要条件为对每一个pi(x),pi(g(x))在F[x]中存在ni次因式,ni=degpi(x).     

求MLE的间接方法

介绍了计算极大似然估计的间接方法.     

Riordan阵的差分性质及其应用

本文考虑了Riordan阵的差分性质, 并给出一些涉及经典组合序列的差分恒等式, 包括广义Stirling数, 第一类和第二类Stirling数, 第一类和第二类B型Stirling数以及Gegenbauer-Humbert型多项式.     

关于完全三角和估计的华罗庚方法

完全有理三角和就是如下形式的和式 Ｓ（ψ，ｑ）＝Σ＾ｑｘ＝１ｅｑ（ψ（ｘ））， 其中ψ（ｘ）是整系数的多项式。许多作者得到了关于Ｓ（ψ，ｑ）的估计的结果。本文发展了华罗庚方法并研究了如下形式的完全有理三角和 Ｓ（Ｒ，ｑ）＝Σ＾ｑｘ＝１ｅｑ（Ｒ（ｘ）），     

A Curious Identity on Multiple Sums over Fields with Applications

Let F be a field,and let e,k be integers such that 1≤e≤|F\{0}| and k≥0.We show that for any subset{a1,…,ae}C F\{0},the curious identity∑(i1,…,ie)∈Ze≥0,i1+…+ie=k...     

整系数多项式有理根的一个新求法

求整系数多项式的有理根 ,现行的高等数学书中只有一个经典的方法 ,本文给出了第二个有趣的简捷方法 ,这种方法的主要过程只需进行简单的算术运算